高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题57二倍角的正弦、余弦、正切公式(原卷版+解析)

专题57二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)2.余弦的二倍角公式的变形3．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式(1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).(2)降幂公式：sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).4．要牢记二倍角公式的几种变形(1)sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；(2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；(3)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)).(4)1±sin2α＝(sinα±cosα)2.5．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).题型一给角求值1．下列各式中，值为eq\f(\r(3),2)的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215° D．sin215°＋cos215°2．求下列各式的值：(1)cos415°－sin415°；(2)1－2sin275°；(3)eq\f(1－tan275°,tan75°)；(4)cos72°cos36°；(5)eq\f(2tan150°,1－tan2150°)；3．求下列各式的值．(1)sineq\f(π,8)sineq\f(3π,8)＝________；(2)eq\f(1,2)－cos215°＝________；(3)eq\f(1－tan215°,tan15°)＝________.4．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于5．sin4eq\f(π,12)－cos4eq\f(π,12)等于6．eq\f(sin20°cos20°,cos2155°－sin2155°)的值是7．求下列各式的值：(1)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)；(2)eq\f(1,sin50°)＋eq\f(\r(3),cos50°).8．eq\f(sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan222.5°,2tan22.5°)＝9．cos20°cos40°cos80°值为.10．coseq\f(π,7)coseq\f(3π,7)coseq\f(5π,7)的值为11．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.题型二给值求值1．设α是第四象限角，已知sinα＝－eq\f(3,5)，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为()A．－eq\f(24,25)，eq\f(7,25)，－eq\f(24,7)B.eq\f(24,25)，eq\f(7,25)，eq\f(24,7)C．－eq\f(24,25)，－eq\f(7,25)，eq\f(24,7)D.eq\f(24,25)，－eq\f(7,25)，－eq\f(24,7)2．已知α是第三象限角，cosα＝－eq\f(5,13)，则sin2α等于3．若tanθ＝2则tan2θ＝________.4．已知sinα－cosα＝eq\f(4,3)，则sin2α＝5．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α＝6．设sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tan2α的值是________．7．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝8．已知等腰三角形底角的正弦值为eq\f(\r(5),3)，则顶角的正弦值是9．已知eq\f(π,2)＜α＜π，cosα＝－eq\f(4,5).(1)求tanα的值；(2)求sin2α＋cos2α的值．10．已知eq\f(π,2)<α<π，sinα＝eq\f(4,5).(1)求tan2α的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4)))的值．11．已知角α在第一象限且cosα＝eq\f(3,5)，求eq\f(1＋\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))的值．12．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，则sin2x＝__________.13．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，则sin2α等于14．已知sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.15．已知tanα＝－eq\f(1,3)，则eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝________.16．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－eq\f(4,3)，则tanα＝________.17．已知eq\f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\f(2,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值是________．18．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，则sin2α的值为19．若tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＋2coseq\f(π,4)cos2α＝________.20．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3)，则sin(－3π＋2α)＝21．若eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2019，则eq\f(1,cos2α)＋tan2α＝________.22．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝eq\f(3,5)，则cos(2θ－15°)＝________.23．已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝2eq\r(2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝________．24．已知cosx＝eq\f(\r(10),10)，且x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，求eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x的值．25．已知sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0.(1)求tanx的值；(2)求eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)的值．26．已知0<x<eq\f(π,2)，sin2eq\f(x,2)＋eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(x,2)))＝－eq\f(1,10)，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的值．27．已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x－cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx.(1)化简f(x)；(2)若f(α)＝eq\f(1,7)，2α是第一象限角，求sin2α.28．已知sin2θ＝eq\f(3,4)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.29．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，eq\f(π,2)≤α＜eq\f(3π,2)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值；30．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))的值等于31．设sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＝eq\f(\r(2),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))＝32．已知α，β为锐角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．33．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，且α∈(0，π)．(1)求tan2α的值；(2)求2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))).34．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10eq\r(3)m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．题型三给值求角1．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，则锐角α＝________.2．已知α，β均为锐角，且3sinα＝2sinβ，3cosα＋2cosβ＝3，则α＋2β的值为3．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sin2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))，则α=.4．已知角α，β为锐角，且1－cos2α＝sinαcosα，tan(β－α)＝eq\f(1,3)，则β＝________.5．已知tanα＝eq\f(1,7)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值．6．已知tanα＝eq\f(1,3)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．题型四化简问题1．eq\f(2sin2α,1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α)等于2．化简：eq\f(sin235°－\f(1,2),sin10°cos10°)＝________.3．化简eq\f(2cos2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))=.4．化简：eq\f(1,tanθ＋1)＋eq\f(1,tanθ－1)＝________.5．化简：tan70°cos10°(eq\r(3)tan20°－1)＝________.6．化简eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,\r(1－cos80°))＝________；7．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，则△ABC是()A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．eq\r(1＋cos100°)－eq\r(1－cos100°)＝()A．－2cos5° B．2cos5°C．－2sin5° D．2sin5°9．若α为第三象限角，则eq\f(\r(1＋cos2α),cosα)－eq\f(\r(1－cos2α),sinα)＝________．10．设－3π<α<－eq\f(5π,2)，化简eq\r(\f(1－cos（α－π）,2))的结果是()A．sineq\f(α,2) B．coseq\f(α,2)C．－coseq\f(α,2) D．－sineq\f(α,2)11．化简eq\f(tan14°,1－tan214°)·cos28°的结果为()A.eq\f(sin28°,2) B．sin28°C．2sin28° D．sin14°cos28°12．eq\f(\r(1－2sin20°cos20°),2cos210°－\r(1－cos2160°)－1)＝________．13．化简：(1)eq\r(1＋sin20°)＋eq\r(1－sin20°)；(2)eq\f(1＋sin4α＋cos4α,1＋sin4α－cos4α).14．求值：eq\f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cos20°,cos80°\r(1－cos20°)).题型五证明问题1．证明：eq\f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cos212°－2)＝－4eq\r(3).2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.3．求证：eq\f(1－cosθ＋sinθ,1＋cosθ＋sinθ)＝taneq\f(θ,2).4．求证：eq\f(sin2x＋cos2x－1sin2x－cos2x＋1,sin4x)＝tanx.专题57二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)2.余弦的二倍角公式的变形3．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式(1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).(2)降幂公式：sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).4．要牢记二倍角公式的几种变形(1)sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；(2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；(3)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)).(4)1±sin2α＝(sinα±cosα)2.5．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).题型一给角求值1．下列各式中，值为eq\f(\r(3),2)的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215° D．sin215°＋cos215°[解析]2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)；cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)；2sin215°＝1－cos30°＝1－eq\f(\r(3),2)；sin215°＋cos215°＝1，故选B.2．求下列各式的值：(1)cos415°－sin415°；(2)1－2sin275°；(3)eq\f(1－tan275°,tan75°)；(4)cos72°cos36°；(5)eq\f(2tan150°,1－tan2150°)；[解析](1)cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(2)1－2sin275°＝1－(1－cos150°)＝cos150°＝－cos30°＝－eq\f(\r(3),2).(3)eq\f(1－tan275°,tan75°)＝2×eq\f(1－tan275°,2tan75°)＝2×eq\f(1,tan150°)＝－2eq\r(3).(4)cos36°cos72°＝eq\f(2sin36°cos36°cos72°,2sin36°)＝eq\f(2sin72°cos72°,4sin36°)＝eq\f(sin144°,4sin36°)＝eq\f(1,4).(5)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq\r(3).3．求下列各式的值．(1)sineq\f(π,8)sineq\f(3π,8)＝________；(2)eq\f(1,2)－cos215°＝________；(3)eq\f(1－tan215°,tan15°)＝________.[解析](1)∵sineq\f(3π,8)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,8)))＝coseq\f(π,8)，∴sineq\f(π,8)sineq\f(3π,8)＝sineq\f(π,8)coseq\f(π,8)＝eq\f(1,2)·2sineq\f(π,8)coseq\f(π,8)＝eq\f(1,2)sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),4).(2)原式＝eq\f(1,2)(1－2cos215°)＝－eq\f(1,2)cos30°＝－eq\f(\r(3),4).(3)原式＝eq\f(2,tan30°)＝2eq\r(3).4．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于[解析]原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1,2)sin30°＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).5．sin4eq\f(π,12)－cos4eq\f(π,12)等于[解析]原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(π,12)＋cos2\f(π,12)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(π,12)－cos2\f(π,12)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2)6．eq\f(sin20°cos20°,cos2155°－sin2155°)的值是[解析]原式＝eq\f(\f(1,2)sin40°,cos310°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).7．求下列各式的值：(1)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)；(2)eq\f(1,sin50°)＋eq\f(\r(3),cos50°).[解析](1)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin20°,sin20°)＝4.(2)原式＝eq\f(cos50°＋\r(3)sin50°,sin50°cos50°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos50°＋\f(\r(3),2)sin50°)),\f(1,2)×2sin50°cos50°)＝eq\f(2sin80°,\f(1,2)sin100°)＝eq\f(2sin80°,\f(1,2)sin80°)＝4.8．eq\f(sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan222.5°,2tan22.5°)＝[解析]原式＝eq\f(sin90°－tan222.5°,2tan22.5°)＝eq\f(1－tan222.5°,2tan22.5°)＝eq\f(1,tan45°)＝1.9．cos20°cos40°cos80°值为.[解析]原式＝eq\f(2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°,2sin20°)＝eq\f(2sin40°·cos40°·cos80°,4sin20°)＝eq\f(2sin80°·cos80°,8sin20°)＝eq\f(sin160°,8sin20°)＝eq\f(1,8).10．coseq\f(π,7)coseq\f(3π,7)coseq\f(5π,7)的值为[解析]∵coseq\f(3π,7)＝－coseq\f(4π,7)，coseq\f(5π,7)＝－coseq\f(2π,7)，∴coseq\f(π,7)coseq\f(3π,7)coseq\f(5π,7)＝coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(4π,7)＝eq\f(8sin\f(π,7)cos\f(π,7)cos\f(2π,7)cos\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq\f(4sin\f(2π,7)cos\f(2π,7)cos\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq\f(2sin\f(4π,7)cos\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq\f(sin\f(8π,7),8sin\f(π,7))＝－eq\f(1,8).11．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.[解析]原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝eq\f(sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°,cos6°)＝eq\f(\f(1,2)sin12°cos12°cos24°cos48°,cos6°)＝eq\f(\f(1,4)sin24°cos24°cos48°,cos6°)＝eq\f(\f(1,8)sin48°cos48°,cos6°)＝eq\f(\f(1,16)sin96°,cos6°)＝eq\f(\f(1,16)cos6°,cos6°)＝eq\f(1,16)题型二给值求值1．设α是第四象限角，已知sinα＝－eq\f(3,5)，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为()A．－eq\f(24,25)，eq\f(7,25)，－eq\f(24,7)B.eq\f(24,25)，eq\f(7,25)，eq\f(24,7)C．－eq\f(24,25)，－eq\f(7,25)，eq\f(24,7)D.eq\f(24,25)，－eq\f(7,25)，－eq\f(24,7)[解析]因为α是第四象限角，且sinα＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\f(4,5)，所以sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(7,25)，tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(24,7).2．已知α是第三象限角，cosα＝－eq\f(5,13)，则sin2α等于[解析]∵cosα＝－eq\f(5,13)，α是第三象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(12,13)(舍正)因此，sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＝eq\f(120,169).3．若tanθ＝2则tan2θ＝________.[解析]tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).4．已知sinα－cosα＝eq\f(4,3)，则sin2α＝[解析]∵sinα－cosα＝eq\f(4,3)，∴1－2sinαcosα＝eq\f(16,9)，即1－sin2α＝eq\f(16,9)，∴sin2α＝－eq\f(7,9).5．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α＝[解析]因为eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，整理得tanα＝－3，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×－3,1－－32)＝eq\f(3,4).6．设sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tan2α的值是________．[解析]∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))知sinα≠0，∴cosα＝－eq\f(1,2)，∴α＝eq\f(2π,3)，∴tan2α＝taneq\f(4π,3)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).7．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝[解析]∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sinα·cosα＝2cos2α.∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosα>0，sinα>0，∴2sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝eq\f(1,5)，又sinα>0，∴sinα＝eq\f(\r(5),5)8．已知等腰三角形底角的正弦值为eq\f(\r(5),3)，则顶角的正弦值是[解析]设底角为θ，则θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，顶角为180°－2θ.∵sinθ＝eq\f(\r(5),3)，∴cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(2,3)，∴sin(180°－2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×eq\f(\r(5),3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4\r(5),9).9．已知eq\f(π,2)＜α＜π，cosα＝－eq\f(4,5).(1)求tanα的值；(2)求sin2α＋cos2α的值．[解析](1)因为cosα＝－eq\f(4,5)，eq\f(π,2)＜α＜π，所以sinα＝eq\f(3,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).(2)因为sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(7,25)，所以sin2α＋cos2α＝－eq\f(24,25)＋eq\f(7,25)＝－eq\f(17,25).10．已知eq\f(π,2)<α<π，sinα＝eq\f(4,5).(1)求tan2α的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4)))的值．[解析](1)由题意得cosα＝－eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－\f(8,3),1－\f(16,9))＝eq\f(24,7).(2)因为sinα＝eq\f(4,5)，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(7,25)，sin2α＝2sinα·cosα＝2×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(24,25).所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4)))＝cos2α·coseq\f(π,4)＋sin2α·sineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,25)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,25)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(31\r(2),50).11．已知角α在第一象限且cosα＝eq\f(3,5)，求eq\f(1＋\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))的值．[解析]∵cosα＝eq\f(3,5)且α在第一象限，∴sinα＝eq\f(4,5).∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－eq\f(7,25)，sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25)，∴原式＝eq\f(1＋\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2αcos\f(π,4)＋sin2αsin\f(π,4))),cosα)＝eq\f(1＋cos2α＋sin2α,cosα)＝eq\f(14,5).12．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，则sin2x＝__________.[解析]∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，∴sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(98,100)而sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(2,100)－eq\f(98,100)＝－eq\f(96,100)＝－eq\f(24,25).13．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，则sin2α等于[解析]因为sin2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－1，又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，所以sin2α＝2×eq\f(9,25)－1＝－eq\f(7,25)14．已知sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.[解析]cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1－\f(2,3),2)＝eq\f(1,6).15．已知tanα＝－eq\f(1,3)，则eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝________.[解析]eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,1＋2cos2α－1)＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,2cos2α)＝tanα－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,6).16．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－eq\f(4,3)，则tanα＝________.[解析]∵tan(π＋2α)＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3)，∴tanα＝－eq\f(1,2)或tanα＝2.∵α在第二象限，∴tanα＝－eq\f(1,2).17．已知eq\f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\f(2,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值是________．[解析]由eq\f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(tanα,\f(tanα＋1,1－tanα))＝eq\f(tanα1－tanα,tanα＋1)＝－eq\f(2,3)，得3tan2α－5tanα－2＝0，解得tanα＝2，或tanα＝－eq\f(1,3).sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝sin2αcoseq\f(π,4)＋cos2αsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)(sin2α＋cos2α)＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinαcosα＋cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2tanα＋1－tan2α,tan2α＋1)))，当tanα＝2时，上式＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2×2＋1－22,22＋1)))＝eq\f(\r(2),10)；当tanα＝－eq\f(1,3)时，上式＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2＋1)))＝eq\f(\r(2),10).综上，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10).18．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，则sin2α的值为[解析]cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，代入原式，得6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，所以sin2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－1＝－eq\f(17,18).19．若tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＋2coseq\f(π,4)cos2α＝________.[解析]由tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，得tanα＝eq\f(1,3)或tanα＝3.又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tanα＝3.∴sinα＝eq\f(3,\r(10))，cosα＝eq\f(1,\r(10)).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＋2coseq\f(π,4)cos2α＝sin2αcoseq\f(π,4)＋cos2αsineq\f(π,4)＋2coseq\f(π,4)cos2α＝eq\f(\r(2),2)×2sinαcosα＋eq\f(\r(2),2)(2cos2α－1)＋eq\r(2)cos2α＝eq\r(2)sinαcosα＋2eq\r(2)cos2α－eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)×eq\f(3,\r(10))×eq\f(1,\r(10))＋2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(10))))2－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(5\r(2),10)－eq\f(\r(2),2)＝0.20．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3)，则sin(－3π＋2α)＝[解析]易得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(7,9).又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝sin2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin2α＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))＝eq\f(7,9).21．若eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2019，则eq\f(1,cos2α)＋tan2α＝________.[解析]eq\f(1,cos2α)＋tan2α＝eq\f(1,cos2α)＋eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(1＋sin2α,cos2α)＝eq\f(cosα＋sinα2,cos2α－sin2α)＝eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2019.22．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝eq\f(3,5)，则cos(2θ－15°)＝________.[解析]∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝eq\f(3,5)，∴sin(θ＋15°)＝eq\f(4,5)，∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝eq\f(24,25)，cos(2θ＋30°)＝2cos2(θ＋15°)－1＝2×eq\f(9,25)－1＝－eq\f(7,25).∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－eq\f(7,25)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(24,25)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(17\r(2),50).23．已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝2eq\r(2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝________．[解析]eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝2eq\r(2)⇒eq\f(sinθ＋cosθ,sinθcosθ)＝2eq\r(2)⇒sinθ＋cosθ＝2eq\r(2)sinθcosθ⇒1＋sin2θ＝2sin22θ，因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以2θ∈(π，2π)，所以sin2θ＝－eq\f(1,2)，所以sinθ＋cosθ<0，所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，所以cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝sin2θ·coseq\f(π,3)＋sineq\f(π,3)cos2θ＝eq\f(1,2).24．已知cosx＝eq\f(\r(10),10)，且x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，求eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x的值．[解析]∵cosx＝eq\f(\r(10),10)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinx＝－eq\r(1－cos2x)＝－eq\f(3\r(10),10)，∴sin2x＝2sinxcosx＝－eq\f(3,5)，∴eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2xcos\f(π,4)－sin2xsin\f(π,4)))＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq\f(4,5).25．已知sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0.(1)求tanx的值；(2)求eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)的值．[解析](1)由sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0，知coseq\f(x,2)≠0，∴taneq\f(x,2)＝2，∴tanx＝eq\f(2tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).(2)由(1)，知tanx＝－eq\f(4,3)，∴eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)＝eq\f(cos2x,－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－sinx)＝eq\f(cos2x－sin2x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosx－\f(\r(2),2)sinx))sinx)＝eq\f(cosx－sinxcosx＋sinx,\f(\r(2),2)cosx－sinxsinx)＝eq\r(2)×eq\f(cosx＋sinx,sinx)＝eq\r(2)×eq\f(1＋tanx,tanx)＝eq\f(\r(2),4).26．已知0<x<eq\f(π,2)，sin2eq\f(x,2)＋eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(x,2)))＝－eq\f(1,10)，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的值．[解析]∵sin2eq\f(x,2)＋eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(x,2)))＝eq\f(1－cosx,2)－eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))＝eq\f(1,2)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，∴由已知得eq\f(1,2)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝－eq\f(1,10)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).∵0<x<eq\f(π,2)，结合sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)<eq\f(\r(3),2)，易知eq\f(π,6)<x＋eq\f(π,6)<eq\f(π,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(3,4).∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\f(2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))),1－tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))＝eq\f(2×\f(3,4),1－\f(9,16))＝eq\f(24,7).27．已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x－cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx.(1)化简f(x)；(2)若f(α)＝eq\f(1,7)，2α是第一象限角，求sin2α.[解析](1)f(x)＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(\r(3),2)sin2x－cos2x＋eq\r(3)sin2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(2)f(α)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝eq\f(1,7)，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴2kπ－eq\f(π,6)＜2α－eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝eq\f(4\r(3),7)，∴sin2α＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)＝eq\f(5\r(3),14).28．已知sin2θ＝eq\f(3,4)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.[解析]cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))),2)＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,2))),2)＝eq\f(1＋sin2θ,2)，∵sin2θ＝eq\f(3,4)，∴cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(1＋\f(3,4),2)＝eq\f(7,8).29．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，eq\f(π,2)≤α＜eq\f(3π,2)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值；[解析]∵eq\f(π,2)≤α＜eq\f(3π,2)，∴eq\f(3π,4)≤α＋eq\f(π,4)＜eq\f(7π,4).∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＞0，∴eq\f(3π,2)＜α＋eq\f(π,4)＜eq\f(7π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5)，∴cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(3,5)＝－eq\f(24,25)，sin2α＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝1－2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(7,25)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)cos2α－eq\f(\r(2),2)sin2α＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,25)))－eq\f(\r(2),2)×eq\f(7,25)＝－eq\f(31\r(2),50).30．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))的值等于[解析]因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2－1＝－eq\f(7,9).31．设sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＝eq\f(\r(2),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))＝[解析]因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＝eq\f(\r(2),3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))－\f(π,2)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))))＝－eq\f(5,9).32．已知α，β为锐角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解析](1)因为tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，所以sinα＝eq\f(4,3)cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(9,25)，所以cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25).(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(2\r(5),5)，所以tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(24,7).所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq\f(tan2α－tanα＋β,1＋tan2αtanα＋β)＝－eq\f(2,11).33．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，且α∈(0，π)．(1)求tan2α的值；(2)求2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))).[解析](1)由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，得sinαcosα＝－eq\f(12,25)，因为α∈(0，π)，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinα－cosα＝eq\r(2－sinα＋cosα2)＝eq\f(7,5)，解得sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，故tanα＝－eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(24,7).(2)2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα－eq\f(\r(3),2)sinα－eq\f(1,2)cosα＝1－cosα＝eq\f(8,5).34．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10eq\r(3)m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．[解析]∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30m.又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，∴AD＝CD＝10eq\r(3)m.∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin4θ＝10eq\r(3)sin4θ(m)，在Rt△ACE中，AE＝AC·sin2θ＝30sin2θ(m)，∴10eq\r(3)sin4θ＝30sin2θ，即20eq\r(3)sin2θcos2θ＝30sin2θ，∴cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，又2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2θ＝eq\f(π,6)，∴θ＝eq\f(π,12)，∴AE＝30sineq\f(π,6)＝15(m)，∴θ＝eq\f(π,12)，建筑物AE的高为15m.题型三给值求角1．已知sin22α＋sin2αcosα－c