高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)7.1条件概率与全概率公式-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析)

7.1条件概率与全概率公式备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：计算条件概率；条件概率的应用；利用全概率公式求概率；利用贝叶斯公式求概率课堂知识小结考点巩固提升知识归纳1．条件概率（一）定义一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率．注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．（3）如果与互斥，则．注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．（三）计算方法（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则．2．相互独立与条件概率的关系（一）相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．（二）事件的独立性（1）事件与相互独立的充要条件是．（2）当时，与独立的充要条件是．（3）如果，与独立，则成立．3．全概率公式（一）全概率公式（由因求果）（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意事件，都有，且.证明：如下图所示，因为事件中有且只有一个与事件B同时发生，其中互斥，即，显然也互不相容.所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：即得到全概率公式：注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为，而导致事件发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断.（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.合理选择，易求.（二）贝叶斯公式（执果求因）(1)一般地，当且时，有(2)定理若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意概率非零的事件，都有，且注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．考点讲解考点讲解考点1：计算条件概率例1：（1）．已知A,B是两个随机事件,,,则下列命题中错误的是（

）A．若A包含于B,则B．若A,B是对立事件,则C．若A,B是互斥事件,则D．若A,B相互独立,则（2）．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个数，事件“有一个数是奇数”，“另一个数也是奇数”，则（

）A． B． C． D．（3）．一个盒子中有4个白球,个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则________.【方法技巧】（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．【变式训练】1．已知，，则（

）A． B． C． D．2．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件表示“第k只飞出笼的是苍蝇”，，则为（

）A． B． C． D．3．现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则（

）A． B． C． D．3．有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（

）A． B． C． D．4．某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检验；已知某批芯片智能自动检测显示合格率为90%，最终的检测结果的次品率为，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为_________.5．在一个盒子中有大小质地相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两个人依次不放回地摸一个球，在第一个人摸出1个红球的条件下，第2个人摸出1个白球的概率是_________.6．将一颗公正六面骰子抛掷1次，记事件为“掷得的点数为2”，事件为“掷得的点数为偶数”.则_________.（结果用最简分数表示）7．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．考点2：条件概率的应用例2：（1）．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8（2）．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是A． B． C． D．【方法技巧】（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则．【变式训练】1．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（

）A． B． C． D．2．下列说法中正确的是（

）A． B．是可能的C． D．3．已知，，则等于（

）A． B． C． D．4．2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（

）A．0.99% B．99% C．49.5%. D．36.5%考点3：利用全概率公式求概率例3：（1）．制造业直接体现了一个国家的生产力水平，中国制造业作为国家的支柱产业，一直保持较好的发展态势.通过人口普查发现，A，B两市从事制造业的人分别占全市人口的，，这两市的人口数之比为.现从这两市随机选取一个人，则此人恰好从事制造业的概率为___________.（2）．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是_________．【方法技巧】（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意事件，都有，且.【变式训练】考点4：利用贝叶斯公式求概率例4．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分、、．现从这三个地区任抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．【方法技巧】(1)一般地，当且时，有(2)定理若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意概率非零的事件，都有，且【变式训练】1．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为__．2．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？3．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．知识小结知识小结条件概率一般地，设A,B为两个事件,且,称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.如果B和C互斥，那么全概率公式（一）全概率公式（由因求果）（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意事件，都有，且.巩固提升巩固提升一、单选题1．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅，人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（

）A． B． C． D．2．学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（

）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.653．某铅笔工厂有甲，乙两个车间，甲车间的产量是乙车间产量的1.5倍，现在客户定制生产同一种铅笔产品，由甲，乙两个车间负责生产，甲车间产品的次品率为10%，乙车间的产品次品率为5%，现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为（）A．0.08 B．0.06 C．0.04 D．0.024．某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（

）A．0.46 B．0.046 C．0.68 D．0.0685．采购员要购买某种电器元件一包（10个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，其余包中各含1个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为（

）A．0.46 B．0.49 C．0.51 D．0.546．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）A． B． C． D．二、多选题7．下面几种概率不是条件概率的是（

）A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率8．设A，B是两个事件，若B发生时A必定发生，且，，给出下列各式，其中错误的是（

）A． B．C． D．9．2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，审议《关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》并指出，为进一步优化生育政策，积极应对人口老龄化，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施.假定生男生女是等可能的，现随机选择一个有3个孩子的家庭，则（

）A．三个孩子都是男孩的概率为B．这个家庭有女孩的概率为C．第一孩是男孩的条件下，第二三孩也是男孩的概率为D．这个家庭有女孩的条件下，该家庭也有男孩的概率为10．甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙袋子中有3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，分别用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，分别用事件，表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题11．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黄，蓝，绿四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂红色的条件下，4号格子也涂红色的概率是______.423112．已知A，B是某随机试验中的两个随机事件，，，____________.13．每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%，现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为__________.14．已知，且．若，，则______．四、解答题15．10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：(1)甲抽到难签的概率；(2)甲、乙两人有人抽到难签的概率；(3)在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率；16．甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．7.1条件概率与全概率公式备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：计算条件概率；条件概率的应用；利用全概率公式求概率；利用贝叶斯公式求概率课堂知识小结考点巩固提升知识归纳1．条件概率（一）定义一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率．注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．（3）如果与互斥，则．注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．（三）计算方法（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则．2．相互独立与条件概率的关系（一）相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．（二）事件的独立性（1）事件与相互独立的充要条件是．（2）当时，与独立的充要条件是．（3）如果，与独立，则成立．3．全概率公式（一）全概率公式（由因求果）（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意事件，都有，且.证明：如下图所示，因为事件中有且只有一个与事件B同时发生，其中互斥，即，显然也互不相容.所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：即得到全概率公式：注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为，而导致事件发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断.（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.合理选择，易求.（二）贝叶斯公式（执果求因）(1)一般地，当且时，有(2)定理若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意概率非零的事件，都有，且注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．考点讲解考点讲解考点1：计算条件概率例1：（1）．已知A,B是两个随机事件,,,则下列命题中错误的是（

）A．若A包含于B,则B．若A,B是对立事件,则C．若A,B是互斥事件,则D．若A,B相互独立,则【答案】B【分析】根据互斥事件和对立事件的概念,判断之间的关系，进而判断选项的正误.【详解】解:关于选项A,因为A包含于B,所以,则,故选项A正确,关于选项B,因为A,B是对立事件,所以所以,故选项B错误,关于选项C,因为A,B是互斥事件,所以所以,故选项C正确,关于选项D,因为A,B相互独立,所以所以,故选项D正确.故选:B（2）．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个数，事件“有一个数是奇数”，“另一个数也是奇数”，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件概率的定义，可分别求解,即可用条件概率的公式运用个数之比求解.【详解】任取两个数，则一奇一偶共有种取法，两个都是奇数共有，所以事件包含所取两个数要么为一奇一偶，要么为两个奇数，故,则事件为所取两个数均为奇数，故,故,故选：A（3）．一个盒子中有4个白球,个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则________.【答案】6【分析】根据条件概率的公式计算出结果即可.【详解】解:由题知,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,,,,或(舍).故答案为:6【方法技巧】（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．【变式训练】1．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件概率的计算公式直接求得.【详解】由乘法公式，得.故选：C．2．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件表示“第k只飞出笼的是苍蝇”，，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件概率的计算公式以及排列数、组合数进行计算求解.【详解】由题得，，则，故A，B，D错误.故选：C.3．现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，根据条件概率的公式，结合古典概型的概率计算公式，可得答案.【详解】由题意，4人去4个不同的景点，总事件数为，事件的情况数为，则事件发生的概率为，事件与事件的交事件为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点”事件的情况数为，则事件发生的概率为，即.故选：C.3．有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】利用条件概率公式即可得到结果.【解答】解：设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B，则，，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．故选：C4．某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检验；已知某批芯片智能自动检测显示合格率为90%，最终的检测结果的次品率为，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为_________.【答案】【分析】根据已知条件，结合条件概率的公式，即可求解.【详解】设该芯片智能自动监测合格为事件A,人工监测一枚芯片恰好合格为事件B，，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率.故答案为：5．在一个盒子中有大小质地相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两个人依次不放回地摸一个球，在第一个人摸出1个红球的条件下，第2个人摸出1个白球的概率是_________.【答案】【分析】根据概率的定义计算．【详解】在第一个人摸出1个红球的条件下，盒子中还有5个红球，4个白球，第2个人摸出1个白球的概率为．故答案为：．6．将一颗公正六面骰子抛掷1次，记事件为“掷得的点数为2”，事件为“掷得的点数为偶数”.则_________.（结果用最简分数表示）【答案】【分析】根据题意，计算与，利用条件概率公式求解即可.【详解】由题，，，则，故答案为：7．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．【答案】【分析】由条件概率公式计算．【详解】记第一次闭合后出现红灯为事件，则第一次出现绿灯为事件，第二次闭合后出现红灯为事件，出现绿灯为，，，，所以．故答案为：．考点2：条件概率的应用例2：（1）．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8【答案】C【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是，利用条件概率公式能求出结果．【详解】一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选C．【点睛】本题考查条件概率，属于基础题．（2）．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是A． B． C． D．【答案】B【详解】记事件“用满小时不坏”，记事件“用满小时不坏，则故答案选【方法技巧】（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则．【变式训练】1．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.2．下列说法中正确的是（

）A． B．是可能的C． D．【答案】B【分析】根据条件概率公式计算判断即可.【详解】，故A错误；当时，，可能成立，故B正确；当且仅当与相互独立时成立，故C错误；，故D错误.故选：B.3．已知，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据条件概率公式计算．【详解】由，可得.故选：C.4．2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（

）A．0.99% B．99% C．49.5%. D．36.5%【答案】C【分析】利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率.【详解】设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，又，故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率.考点3：利用全概率公式求概率例3：（1）．制造业直接体现了一个国家的生产力水平，中国制造业作为国家的支柱产业，一直保持较好的发展态势.通过人口普查发现，A，B两市从事制造业的人分别占全市人口的，，这两市的人口数之比为.现从这两市随机选取一个人，则此人恰好从事制造业的概率为___________.【答案】##【分析】利用条件概率即可求得从这两市随机选取一个人，则此人恰好从事制造业的概率【详解】由题设可知，选取A市的人概率为，选取B市的人概率为，所以A市中选到从事制造业的人概率为；B市中选到从事制造业的人概率为；综上，现从这两市随机选取一个人，则此人恰好从事制造业的概率为.故答案为：（2）．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是_________．【答案】##【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝，P(B)＝，从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，则由题可知P(C)＝，P(D)＝，由题可知A、B、C、D互相独立，故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝．故答案为：．【方法技巧】（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意事件，都有，且.【变式训练】考点4：利用贝叶斯公式求概率例4．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分、、．现从这三个地区任抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．【答案】(1)0.198(2)0.337【分析】（1）由全概率公式求解（2）由贝叶斯公式求解（1）设事件表示“来自第i个地区，”；事件B表示“感染此病”．所以，，，所以，，．；（2）．【方法技巧】(1)一般地，当且时，有(2)定理若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意概率非零的事件，都有，且【变式训练】1．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为__．【答案】【分析】由条件概率的性质和全概率公式计算即可.【详解】设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2，显然A1，A2为样本空间的一个完备事件组，且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）．由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）（1+p）．由贝叶斯公式得，P（A1|A2）．故答案为：．2．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？【答案】(1)(2)此次品由甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.（1）取到次品的概率为（2）若取到的是次品，则：此次品由甲车间生产的概率为：.此次品由乙车间生产的概率为：.此次品由丙车间生产的概率为：.3．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．【答案】(1)(2)0.25【分析】（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再根据概率的公式求解即可；（2）同（1），结合条件概率的公式求解即可.（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．．（2）．知识小结知识小结条件概率一般地，设A,B为两个事件,且,称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.如果B和C互斥，那么全概率公式（一）全概率公式（由因求果）（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意事件，都有，且.巩固提升巩固提升一、单选题1．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅，人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由全概率公式求解【详解】由题意得运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为故选：C2．学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（

）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65【答案】D【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”；则,,,由全概率公式可知,故选：D.3．某铅笔工厂有甲，乙两个车间，甲车间的产量是乙车间产量的1.5倍，现在客户定制生产同一种铅笔产品，由甲，乙两个车间负责生产，甲车间产品的次品率为10%，乙车间的产品次品率为5%，现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为（）A．0.08 B．0.06 C．0.04 D．0.02【答案】A【分析】先根据产量计算抽到甲车间产品和乙车间产品的概率，再由次品率分别计算抽到甲车间次品和乙车间次品的概率，最后相加即可.【详解】从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为0.6，抽到乙的概率是0.4，抽到甲车间次品的概率P1＝0.6×0.1＝0.06，抽到乙车间次品的概率P2＝0.4×0.05＝0.02，任取一件抽到次品的概率P＝P1+P2＝0.06+0.02＝0.08．故选：A．4．某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（

）A．0.46 B．0.046 C．0.68 D．0.068【答案】D【分析】根据全概率公式可得结果.【详解】由题意得：，故选：．5．采购员要购买某种电器元件一包（10个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，其余包中各含1个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为（

）A．0.46 B．0.49 C．0.51 D．0.54【答案】A【分析】分两种情况，抽到含有1个次品，且抽到的3个元件中含有这一个次品的概率加上抽到含有4个次品，且随机抽查的3个元件中含有次品的概率，即为答案.【详解】抽到含有1个次品，且抽到的3个元件中含有这一个次品的概率为，抽到含有4个次品，且随机抽查的3个元件中含有次品，则拒绝购买，故概率为，所以采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为.故选：A6．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件，其概率为，设女生乙被选中为事件，则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.故选：B.二、多选题7．下面几种概率不是条件概率的是（

）A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率【答案】ACD【分析】利用条件概率的定义求解.【详解】由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A，C，D中的不是条件概率．故选：ACD．8．设A，B是两个事件，若B发生时A必定发生，且，，给出下列各式，其中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．【详解】解：发生必定发生，，，故A，D错误，，故B错误，，故C正确．故选：ABD．9．2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，审议《关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》并指出，为进一步优化生育政策，积极应对人口老龄化，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施.假定生男生女是等可能的，现随机选择一个有3个孩子的家庭，则（

）A．三个孩子都是男孩的概率为B．这个家庭有女孩的概率为C．第一孩是男孩的条件下，第二三孩也是男孩的概率为D．这个家庭有女孩的条件下，该家庭也有男孩的概率为【答案】CD【分析】由古典概型计算公式计算即可得出答案.【详解】由题意知：这个家庭3个孩子的全部可能为：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）、（男男男），共8种;则三个孩子都是男孩的有（男男男）共1种，所以其概率为，A错误；这个家庭有女孩的有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）共7种，其概率为，B错误；第一孩是男孩的条件下有（男女女）、（男女男）、（男男女）、（男男男）共4种，第二三孩也是男孩的有（男男男）共1种，其概率为，C正确；这个家庭有女孩的有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、