高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)2.5.2圆与圆的位置关系(原卷版+解析)

2.5.2圆与圆的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断圆与圆的位置关系;求两圆交点的坐标；由圆的位置关系确定确定参数或范围；圆的公共弦；圆的公切线课堂知识小结考点巩固提升知识归纳两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；外离外切相交内切内含考点讲解考点讲解考点1：判断圆与圆的位置关系例1．已知圆和，则两圆的位置关系是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【方法技巧】由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【变式训练】【变式1】．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【变式2】．已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【变式3】．（多选）已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（

）A．外离 B．外切 C．内含 D．内切考点2：求两圆的交点坐标例2．圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【方法技巧】求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．【变式训练】【变式1】．圆与圆的交点坐标为___________.【变式2】．若一个圆经过点及圆与圆的交点，求此圆的方程．考点3：由圆的位置关系确定确定参数或范围例3．（多选）若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（

）A．7 B． C．－2 D．1【方法技巧】首先求出两圆的圆心和半径，然后由条件可得两圆相离或内含，由此可建立不等式求解.【变式训练】【变式1】．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】．“a＝3”是“圆与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】．一个动圆Q与圆外切，与圆内切，试判断圆心Q的轨迹，并说明理由．考点4：圆的公共弦例4．已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（

）A． B． C． D．【方法技巧】求解圆，的公共弦方程，再计算圆中的公共弦长即可得圆C的直径，进而求得面积即可【变式训练】【变式1】．若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（

）A．B．C．中点的轨迹方程为D．中点的轨迹方程为【变式2】．已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则的值为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【变式3】．已知圆和圆交于两点，直线与直线平行，且与圆相切，与圆交于点，则__________．考点5：圆的公切线例5．设圆，圆，则圆，的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【方法技巧】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．【变式训练】【变式1】（多选）．已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（

）A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．【变式2】（多选）．已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（

）A．若两圆内切，则r＝9B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3D．若两圆有三条公切线，则r＝2【变式3】．已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.知识小结知识小结两圆的位置关系圆，圆，两圆圆心距离(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：（4）两圆相内切，则（5）两圆内含，则特别地，当时，两圆为同心圆巩固提升巩固提升一、单选题1．圆与圆的位置关系为（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离2．两圆与的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条3．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（

）A． B．C． D．4．若圆与圆有3条公切线，则正数（

）A．3 B．3 C．5 D．3或35．已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离6．已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7．若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.【详解】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆的方程为，根据题意，圆与圆有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．又圆，所以圆与圆的圆心距为，所以只需，解得．故B，C，D错误.故选：A.8．直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（

）条A．10 B．9C．8 D．7二、多选题9．已知圆A、圆B相切，圆心距为10cm，其中圆A的半径为4cm，则圆B的半径为（

）A．6cm B．10cm C．14cm D．16cm10．已知，圆，，则（

）A．当时，两圆相交 B．两圆可能外离C．两圆可能内含 D．圆可能平分圆的周长三、填空题11．若点，分别圆：与圆：上一点，则的最小值为______.12．已知圆和圆，垂直平分两圆的公共弦的直线的一般式方程为___________.13．若圆与圆相切，则实数a的值为___________.14．若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线恒过定点M的坐标为__________．四、解答题15．已知圆和圆．（1）当时，判断圆和圆的位置关系；（2）是否存在实数m，使得圆和圆内含？16．已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4，圆O2的圆心为O2(2，1).（1）若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；（2）若圆O1与圆O2交于A，B两点，且︱AB︱=2求圆O2的方程.2.5.2圆与圆的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断圆与圆的位置关系;求两圆交点的坐标；由圆的位置关系确定确定参数或范围；圆的公共弦；圆的公切线课堂知识小结考点巩固提升知识归纳两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；外离外切相交内切内含考点讲解考点讲解考点1：判断圆与圆的位置关系例1．已知圆和，则两圆的位置关系是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】C【详解】由题意，知圆的圆心，半径.圆的方程可化为，则其圆心，半径.因为两圆的圆心距，故两圆外切.故选：C.【方法技巧】由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【变式训练】【变式1】．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】B【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．因为圆的圆心为，半径为，所以，故，所以圆与圆的位置关系是相交．故选：B．【变式2】．已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】B【分析】先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.【详解】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.【变式3】．（多选）已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（

）A．外离 B．外切 C．内含 D．内切【答案】ABD【分析】根据圆心距与半径的关系，二次函数的性质即可解出．【详解】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，则，所以两圆不可能内含．故选：ABD．考点2：求两圆的交点坐标例2．圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【答案】A【详解】由解得两圆交点为与因为，所以线段的垂直平分线斜率；MN中点P坐标为（1，1）所以垂直平分线为y＝﹣x+2由解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）所以r所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0故选：A【方法技巧】求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．【变式训练】【变式1】．圆与圆的交点坐标为___________.【答案】【分析】将两个圆的方程联立，解方程组求解即可.【详解】联立两个圆的方程：，方程带入，先得到，在联立，得到，解得或，对应的值为或，于是得到两圆交点：.故答案为：.【变式2】．若一个圆经过点及圆与圆的交点，求此圆的方程．【答案】【分析】先求出圆与圆的交点坐标，进而设出圆的一般方程，代入点的坐标，用待定系数法进行求解.【详解】联立与，解得：或，即两圆交点坐标为与，设圆的方程为：，将点坐标代入得：，解得：，所以此圆的方程为：.考点3：由圆的位置关系确定确定参数或范围例3．（多选）若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（

）A．7 B． C．－2 D．1【答案】AD【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径．因为两圆没有公共点，所以两圆相离或内含，所以或，所以或，解得或或0＜a＜2．故选：AD【方法技巧】首先求出两圆的圆心和半径，然后由条件可得两圆相离或内含，由此可建立不等式求解.【变式训练】【变式1】．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.【详解】到点的距离为2的点在圆上，所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，即两圆相交，故，解得或，所以实数a的取值范围为，故选：A．【变式2】．“a＝3”是“圆与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】解：若圆与圆相切，当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3；当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1．当时，圆与圆相切，所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件．当圆与圆相切时，不一定成立，所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件．所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件．故选：A【变式3】．一个动圆Q与圆外切，与圆内切，试判断圆心Q的轨迹，并说明理由．【详解】设动圆的圆心为Q（x，y），半径为R，圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为9，因为，所以圆在圆内，因为动圆Q与圆外切，与圆内切，所以动圆Q在圆内，，，所以，所以圆心Q的轨迹为以，为焦点，焦距为6，长轴为10的椭圆．考点4：圆的公共弦例4．已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为故选：B【方法技巧】求解圆，的公共弦方程，再计算圆中的公共弦长即可得圆C的直径，进而求得面积即可【变式训练】【变式1】．若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（

）A．B．C．中点的轨迹方程为D．中点的轨迹方程为【答案】C【分析】两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得，即可判断A、B选项；由圆的性质可知直线垂直平分线段，进而可得到直线的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C、D选项；【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为，即，因为圆的圆心为，半径为1，且公共弦AB的长为1，则到直线的距离为，所以，解得，故A、B错误；由圆的性质可知直线垂直平分线段，所以到直线的距离即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，因此，即，故C正确，D错误；故选：C【变式2】．已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则的值为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】由题知，弦所在直线方程为，且在弦所在直线上，进而得.【详解】解：因为圆与圆交于A、B两点，所以弦所在直线方程为，因为圆的圆心为，平分圆的周长，所以，在弦所在直线上，即，所以.故选：C【变式3】．已知圆和圆交于两点，直线与直线平行，且与圆相切，与圆交于点，则__________．【答案】4【分析】由题可得，利用点到直线的距离公式可得，然后利用弦长公式即得.【详解】由圆，可知圆心，半径为2，圆，可知圆心，半径为，又，，所以可得直线，设，直线与圆相切，则。解得，或，当时，，∴，当时，，，故不合题意.故答案为：4.考点5：圆的公切线例5．设圆，圆，则圆，的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．故选：B．【方法技巧】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．【变式训练】【变式1】（多选）．已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（

）A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．【答案】ACD【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点O对称，即可知有两条公切线过原点O，另两条公切线与直线MN平行，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出直线方程，从而解出．【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．故选：ACD．【变式2】（多选）．已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（

）A．若两圆内切，则r＝9B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3D．若两圆有三条公切线，则r＝2【答案】ABC【分析】根据两圆内，外切切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.【详解】圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距．对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确；对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，（圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心）分别设两圆的圆心为,则如图，所以，解得r＝3，故C正确；对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误．故选：ABC【变式3】．已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.【答案】【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.【详解】由，得，所以圆的圆心为，半径为，因为圆，所以圆的圆心为，半径为，因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，即，解得，所以的值为.故答案为：.知识小结知识小结两圆的位置关系圆，圆，两圆圆心距离(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：（4）两圆相内切，则（5）两圆内含，则特别地，当时，两圆为同心圆巩固提升巩固提升一、单选题1．圆与圆的位置关系为（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【答案】A【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】由与圆，可得圆心，半径，则，且，所以，所以两圆相交.故选：A.2．两圆与的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【分析】求得圆心坐标分别为，半径分别为，根据圆圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意，圆与圆，可得圆心坐标分别为，半径分别为，则，所以，可得圆外离，所以两圆共有4条切线.故选：D.3．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减得：，即.故选：B4．若圆与圆有3条公切线，则正数（

）A．3 B．3 C．5 D．3或3【答案】B【分析】由题可知两圆外切，然后利用两点间的距离公式即得.【详解】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，，∴，又，∴.故选：B.5．已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【答案】B【分析】根据垂径定理可得参数的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】由，即，故圆心，半径，所以点到直线的距离，故，即，解得：；所以，；又，圆心，，所以，且，即圆与圆相交，故选：B.6．已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意圆、相离，则，分别求圆心和半径代入计算．【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径根据题意可得，圆、相离，则，即∴m∈（-∞，-1）∪（1，+∞）故选：A．7．若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.【详解】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆的方程为，根据题意，圆与圆有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．又圆，所以圆与圆的圆心距为，所以只需，解得．故B，C，D错误.故选：A.8．直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（

）条A．10 B．9C．8 D．7【答案】C【分析】求出过定点的直线与圆的最短弦长为，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案.【详解】直线过定点，圆半径为5，最短弦长为，恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；最长的弦长为直径10，也恰有1条；弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条，故选：C．二、多选题9．已知圆A、圆B相切，圆心距为10cm，其中圆A的半径为4cm，则圆B的半径为（

）A．6cm B．10cm C．14cm D．16cm【答案】AC【分析】根据两圆外切或内切求得圆的半径.【详解】因为圆A与圆B相切包括内切与外切，设圆B的半径为rcm，所以或，即或．故选：AC10．已知，圆，，则（

）A．当时，两圆相交 B．两圆可能外离C．两圆可能内含 D．圆可能平分圆的周长【答案】AB【分析】首先得出两圆的圆心和半径，然后将圆心距与半径之和、之差作比较，即可判断ABC，若圆平分圆的周长，则两圆的公共弦所在直线过点，然后通过计算可判断D.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，，当时，，所以两圆相交，故A正确；因为，所以两圆可能外离，不能内含，故B正确C错误；圆的一般方程为，所以两圆的公共弦所在直线方程为，若圆平分圆的周长，则直线过点，所以，此方程无解，所以圆不能平分圆的周长，故D错误；故选：AB三、填空题11．若点，分别圆：与圆：上一点，则的最小值为______.【答案】4【分析】由几何关系求解【详解】因为，所以两圆相离，所以的最小值为故答案为：412．已知圆和圆，垂直平分两圆