高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)重难点专题03：直线与抛物线的位置关系(原卷版+解析)

重难点专题03：直线与抛物线的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与抛物线的位置关系；抛物线的焦点弦；抛物线的中点弦；抛物线中的参数范围与最值；抛物线的定点、定值问题；抛物线中的定直线；抛物线中的向量运算；抛物线的应用课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一、焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点(1)若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。(2)若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。(3)已知直线AB是过抛物线焦点F,(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5)两个相切：eq\o\ac(○,1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.eq\o\ac(○,2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。二、切线方程图象xxyOlFxyxyOlFllFxyOxxyOlF切线方程三．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）四、相交弦AB的弦长或五．点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得，在涉及斜率问题时，在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有考点讲解考点讲解考点讲解考点讲解考点讲解考点讲解考点1：直线与抛物线的位置关系例1．过点与抛物线只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【方法技巧】由已知，根据题意，过点分别从与轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出满足题意的直线，然后即可做出判断.【变式训练】1（多选）．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（

）A．点P的轨迹是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”2．设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是______．4．已知抛物线，，是C上两个不同的点．(1)求证：直线与C相切；(2)若O为坐标原点，，点满足均与C相切，求的值．考点2：抛物线的弦长例2．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（

）A．1 B．3 C．6 D．8【方法技巧】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.【变式训练】1．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，若，则(为坐标原点)的面积是（

）A． B．1 C．2 D．43．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.3．设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，．(1)求直线l的方程；(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．考点3：抛物线的焦点弦例3．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．【方法技巧】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.【变式训练】1．已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．92．抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（

）A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定3．已知直线与抛物线交于A、两点，为抛物线的准线上一点，且，过且垂直轴的直线交抛物线于点，交直线于点，若，则__________．4．已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．考点4：抛物线的中点弦例4．已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．3 C． D．－3【方法技巧】利用点差法计算可得；【变式训练】1．已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点，若弦的中点为，则直线的方程为______．2．若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.3．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；(2)过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及．考点5：抛物线中的参数范围与最值例5．已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧】根据题意可以求出，再利用两点间的距离公式表示出，整理得到关于的一个一元二次方程，利用根的判别式列出关于的不等式，解不等式即可【变式训练】1．抛物线上的点到直线的距离最小值是________.2．过抛物线焦点F作斜率分别为、的两条直线、，其中交抛物线C于A、B两点，交抛物线C于D、E两点，若，则的最小值为______．3．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是_______.4．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．考点6：抛物线的定点、定值问题例6．如图，已知抛物线的焦点为F，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于A，B两点，且.(1)求抛物线方程；(2)连接AF，BF并延长交抛物线于C，D两点，求证：直线CD过定点【方法技巧】（1）设直线的方程为，联立方程组得到，结合，列出方程求得的值，即可求得抛物线的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组求得，同理得到，由（1）求得，设直线的方程为，联立方程组，根据，求得的值，即可求解.【变式训练】1．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，点，若直线的斜率分别为，则______．2．如图，为抛物线上的一点，抛物线的焦点为，垂直于直线，垂足为，直线垂直于，分别交轴、轴于点A，．(1)求使为等边三角形的点的坐标．(2)是否存在点，使平分线段？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．考点7：抛物线中的定直线例7．如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．【方法技巧】涉及用过定点的直线l解决问题，若直线l不垂直于x轴，可设其方程为：；若直线l不垂直于y轴，可设其方程为：.【变式训练】如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.考点8：抛物线中的向量运算（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【方法技巧】轨迹方程+基本不等式法轨迹方程+数形结合法轨迹方程+换元求最值法参数+基本不等式法【变式训练】1．已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．122．已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则（

）A．5 B． C．10 D．15考点9：抛物线的应用例9．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．【方法技巧】首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.【变式训练】1．抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则（

）A． B．13 C． D．142．一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为_____米（精确到0.01米）.3．已知抛物线的准线交轴于点，过点作斜率为的直线交于两点，且，则直线的斜率是__________.重难点专题03：直线与抛物线的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与抛物线的位置关系；抛物线的焦点弦；抛物线的中点弦；抛物线中的参数范围与最值；抛物线的定点、定值问题；抛物线中的定直线；抛物线中的向量运算；抛物线的应用课堂知识小结考点巩固提升知识归纳一、焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点(1)若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。(2)若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。(3)已知直线AB是过抛物线焦点F,(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5)两个相切：eq\o\ac(○,1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.eq\o\ac(○,2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。二、切线方程图象xxyOlFxyxyOlFllFxyOxxyOlF切线方程三．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）四、相交弦AB的弦长或五．点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得，在涉及斜率问题时，在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有考点讲解考点讲解考点讲解考点讲解考点讲解考点讲解考点1：直线与抛物线的位置关系例1．过点与抛物线只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【答案】C【详解】由已知，可得①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，，，解得，故直线方程.所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.故选：C.【方法技巧】由已知，根据题意，过点分别从与轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出满足题意的直线，然后即可做出判断.【变式训练】1（多选）．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（

）A．点P的轨迹是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”【答案】BCD【分析】根据题意可以判断点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，然后求出其方程判断AB，进而根据直线与曲线的位置关系判断CD.【详解】由点P到点M的距离比到直线l的距离小1，可得点P到点M的距离等于到直线：的距离，故点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误．由上述可知点P的轨迹与直线没有交点，即两者是没有交汇的轨迹，故B正确．易知“最远距离直线”与抛物线有交点，把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确．把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD．2．设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是______．【答案】相切【分析】通过比较圆心到准线的距离与圆的半径的大小判断以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系.【详解】过点作垂直与准线，垂足为，过点作垂直与准线，垂足为，设的中点为，点作垂直与准线，垂足为，所以，由抛物线定义可得，，所以，又，所以，即圆心到准线的距离为圆的半径，所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.故答案为：相切.4．已知抛物线，，是C上两个不同的点．(1)求证：直线与C相切；(2)若O为坐标原点，，点满足均与C相切，求的值．（1）证明：联立得，因为在C上，则，所以因此直线与C相切．（2）解：由（1）知，切线的方程为，切线的方程为联立，得：，因为，所以．又因为，所以，解得：，所以．考点2：抛物线的弦长例2．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（

）A．1 B．3 C．6 D．8【答案】D【详解】解：由题意可知，所以直线与的方程为，联立直线方程和抛物线方程，可得，设则，所以.故选：D.【方法技巧】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.【变式训练】1．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，若，则(为坐标原点)的面积是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得，【详解】由题可得，因为，所以，，所以为坐标原点)的面积是.故选：A.3．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.【答案】4【分析】根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，得到，结合抛物线的定义和，得出关于的方程，即可求解.【详解】由题意，抛物线，可得，则直线的方程为，联立方程组，整理得，设，则，因为且，所以，即，所以，可得，因为，所以.故答案为：.3．设抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，．(1)求直线l的方程；(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得，直线的方程为，设，由，得，，，所以，因为，所以，解得（舍去），或，所以直线l的方程为，（2）由（1）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即，设所求圆的圆心坐标为，则由题意得，解得，或，当时，圆的圆心为，半径为4，当时，圆的圆心为，半径为12，所以所求圆的方程为或.考点3：抛物线的焦点弦例3．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．【答案】B【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，代入抛物线方程得，可得，根据抛物线的定义可知直线AB的长为．故选：B．【方法技巧】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.【变式训练】1．已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】设直线的倾斜角为，用表示出，再应用基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】抛物线，焦点，设直线的倾斜角为，得：，则，.当且仅当时等号成立.故选：D2．抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（

）A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定【答案】A【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦，，联立过焦点的直线方程和抛物线方程，根据韦达定理即可求解.【详解】抛物线的焦点，准线x＝－1，设，把它代入得，设，，则，由抛物线定义可得，，∴，，∴m＋n＝mn．故选:A3．已知直线与抛物线交于A、两点，为抛物线的准线上一点，且，过且垂直轴的直线交抛物线于点，交直线于点，若，则__________．【答案】【分析】设，，，联立l和抛物线方程，根据韦达定理得、、、的值，根据抛物线焦点弦长公式求出k，由可求，从而可求M和N的纵坐标，由此可求．【详解】设，，，由得：，∵，，，∴，，，，，，则取时，，，，，，，，即，即，即故，将x＝2代入l方程得，将代入抛物线方程得，故，根据抛物线的对称性可知，当k＝－1时，．综上，．故答案为：24．已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．【答案】【分析】分别过点作准线的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，设，进而结合抛物线的性质求解即可.【详解】解：如图，分别过点作准线的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，设，易得，则，由抛物线的性质可得，，所以，，解得，故．故答案为：考点4：抛物线的中点弦例4．已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．3 C． D．－3【答案】C【详解】解：设，，则，所以，整理得．因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．故选：C【方法技巧】利用点差法计算可得；【变式训练】1．已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点，若弦的中点为，则直线的方程为______．【答案】【分析】设，，利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程.【详解】设，，弦中点为，，，由得：，，即直线的斜率，，即.故答案为：.2．若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.【答案】8【分析】求出焦点坐标，设出直线方程为，并设，直线方程代入抛物线方程，由韦达定理得，由中点纵坐标求得值，由弦长公式得结论．【详解】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，设的方程为，，则由得，，，又，所以，即，，所以．故答案为：8．3．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；(2)过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及．【分析】（1）将点代入抛物线方程，可得方程解析式，根据抛物线性质，可得答案；（2）利用点差法，求得直线的斜率，代入中点，解得答案.（1）将点代入抛物线C，得，∴∴，∴，准线方程为；（2）设，，∴，∴∴直线l的斜率为∴直线l的方程：，∴，考点5：抛物线中的参数范围与最值例5．已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，设点，则即有非负实根解得故选：A【方法技巧】根据题意可以求出，再利用两点间的距离公式表示出，整理得到关于的一个一元二次方程，利用根的判别式列出关于的不等式，解不等式即可【变式训练】1．抛物线上的点到直线的距离最小值是________.【答案】【分析】设出抛物线上动点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可得结果.【详解】设抛物线一点为，该点到直线的距离为，当，即时，取得最小值为，故答案为：.2．过抛物线焦点F作斜率分别为、的两条直线、，其中交抛物线C于A、B两点，交抛物线C于D、E两点，若，则的最小值为______．【答案】24【分析】先表达出焦点弦长的和，再利用基本不等式进行求解.【详解】由题意得：，则直线为：，与联立得：，设，则，，，则，同理可求得：，所以，当且仅当时，等号成立，故答案为：243．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是_______.【答案】3【分析】由抛物线的定义将原式转化后求解即可.【详解】，由抛物线的定义知等于到准线的距离，记直线与准线的夹角为，可得，①若斜率不存在，则原式，②若斜率存在，当PA与抛物线相切时，最小，设的直线方程为，联立得，由得，即，故，此时故答案为：34．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的定义与方程求解；（2）利用向量处理，结合韦达定理代换整理，注意讨论直线l斜率是否存在．（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．由得，因为，所以，即，所以，因为，所以；因为，所以，即，所以，所以因为，所以①．（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．由得，所以，且，所以（*），因为，所以，即，所以，所以，得，因为，所以，即，所以，所以则所以，得，所以②，代入（*）得，，所以③，由②得，所以④，所以，所以，⑤由④，⑤知，综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．考点6：抛物线的定点、定值问题例6．如图，已知抛物线的焦点为F，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于A，B两点，且.(1)求抛物线方程；(2)连接AF，BF并延长交抛物线于C，D两点，求证：直线CD过定点（1）解：设直线的方程为，直线与抛物线的交点分别为，联立方程组，整理得，所以，因为，可得，即，所以，即，即，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：设点的纵坐标分别为，设直线的方程为，联立方程组，整理得，所以，同理可得：，由（1）知，所以，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则有，解得，即直线的方程为，所以直线恒过点.【方法技巧】（1）设直线的方程为，联立方程组得到，结合，列出方程求得的值，即可求得抛物线的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组求得，同理得到，由（1）求得，设直线的方程为，联立方程组，根据，求得的值，即可求解.【变式训练】1．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，点，若直线的斜率分别为，则______．【答案】【详解】由抛物线方程知：，则可设，，，由得：，；.故答案为：.2．如图，为抛物线上的一点，抛物线的焦点为，垂直于直线，垂足为，直线垂直于，分别交轴、轴于点A，．(1)求使为等边三角形的点的坐标．(2)是否存在点，使平分线段？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可知,设点的坐标为，满足,则点的坐标为，．由抛物线的定义知．因为，且为等边三角形，所以，又，所以，，所以点的坐标为．（2）假设存在点，使，连接，则点A的坐标为，点的坐标为，．又，所以，即，又，所以，．所以存在满足条件的点，且点的坐标为．考点7：抛物线中的定直线例7．如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．解：（1）抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，由消去x并整理得，，设点，，则，，矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，所以．（2）由（1）得，，，，于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，由消去y并整理得：，而，因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.所以线MN与直线CD交点在定直线上.【方法技巧】涉及用过定点的直线l解决问题，若直线l不垂直于x轴，可设其方程为：；若直线l不垂直于y轴，可设其方程为：.【变式训练】如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.解：(1)设直线l的方程为，，.由得.所以，.由抛物线定义，得.当直线l的倾斜角为30°时，，.所以，即抛物线C的标准方程为.(2)由（1），得，.因为的垂心为原点O，所以，.因为，所以.所以直线AP的方程为，即.同理可得，直线BP的方程为.联立方程解得即.所以点P在定直线上.考点8：抛物线中的向量运算（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【详解】（1）设直线方程为：，，由抛物线焦半径公式可知：

联立得：则

，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则

，

，

则【方法技巧】轨迹方程+基本不等式法轨迹方程+数形结合法轨迹方程+换元求最值法参数+基本不等式法【变式训练】1．已知的三个顶点都