高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)重难点专题01：直线与椭圆的位置关系(原卷版+解析)

重难点专题01：直线与椭圆的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；2.考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与椭圆的位置关系判定；椭圆的弦长；椭圆的焦点弦；椭圆的中点弦；椭圆中的定点、定值问题；椭圆的定直线；椭圆中的向量问题

3.课堂知识小结4.考点巩固提升知识归纳1.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l与C相离的Δ<0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ>0.2.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=（k为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。)3.中点弦问题关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))由①－②得a2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＋b2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0).考点讲解这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决考点讲解考点1：直线与椭圆的位置关系判定例1．椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为（

）A． B．3 C． D．【方法技巧】求出的坐标，进而求出直线的方程，联立椭圆方程后，求出点坐标，代入斜率公式，可得答案.【变式训练】【变式1】．（多选）下列曲线中与直线有交点的是（

）A． B． C． D．【变式2】．直线和曲线的位置关系为_____.【变式3】．椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.考点2：椭圆的弦长例2．椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.【方法技巧】（1）先设出椭圆方程，然后由题意可得，从而可得椭圆方程，（2）由题意可得直线的方程为，代入椭圆方程中，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果.【变式训练】【变式1】．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．【变式2】．斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．考点3：椭圆的焦点弦例3：（2019·浙江·高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是____.【方法技巧】1.明确概念2.利用焦半径公式把比值表示为的式子，然后由得出范围．【变式训练】【变式1】．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.【变式2】．如果椭圆的一个焦点坐标为，过此焦点且垂直于轴的弦的长等于，则这个椭圆的标准方程为_______.【变式3】．设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________．考点4：椭圆的中点弦例4．已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______.【方法技巧】(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.(2)利用“点差法”求解【变式训练】【变式1】．已知椭圆()与直线交于A、B两点，，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为________．【变式2】．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．考点5：椭圆中参数的范围及最值例5．（2021·全国·高考真题（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【方法技巧】1.找到各种量之间的关系。2.理解基本要求【变式训练】【变式1】（2017·全国·高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A． B．C． D．【变式2】．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为，．若椭圆的离心率为，则的最小值为______．考点6：椭圆中的定点、定值问题例6：（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【方法技巧】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【变式训练】已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．(1)求椭圆的方程；(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．考点7：椭圆的定直线例7：（2022·河北沧州·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【方法技巧】（1）设，表示出，结合点在椭圆上，代入即可得出答案.（2）设直线为，与椭圆联立消去得到关于的一元二次方程，列出韦达定理，写出直线，的方程，联立这两条直线的方程，求出点的纵坐标，即可得出答案.【变式训练】【变式1】．已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.(1)设的斜率分别为，求的值;(2)求证：点在定直线上.考点8：椭圆中的向量问题例8．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【方法技巧】根据平面垂直向量的数量积表示可得，利用平面向量的线性运算将变形为，设()，利用两点坐标求出，结合二次函数的性质即可求出最小值.【变式训练】【变式1】．椭圆的左焦点关于直线：的对称点是，连接FM并延长交椭圆C于点P．若，则椭圆C的离心率是（

）A． B． C． D．【变式2】．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（

）A． B． C． D．知识小结知识小结1.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l与C相离的Δ<0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ>0.2.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=（k为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。)3.中点弦问题关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))由①－②得a2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＋b2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0).这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决巩固提升巩固提升一、单选题1．直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定2．已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（

）A．15 B．12 C．6 D．33．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点(如图所示)，若的面积为，则椭圆的方程为(

)A． B．C． D．4．过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（

）A． B．2 C． D．45．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，其结构图如图2所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，且内层与外层的椭圆的长轴之比为，已知外层椭圆的方程为，若由外层椭圆长轴的一个端点向内层椭圆引切线，则切线的斜率为（

）A． B． C． D．6．直线与椭圆的交点个数为（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（

）A．3 B．9 C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且异于长轴端点．点在所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（

）A．离心率B．△面积的最大值为1C．以线段为直径的圆与直线相切D．为定值10．已知椭圆：，则下列关于椭圆的结论正确的是（

）A．焦点坐标为， B．长轴长为C．离心率为 D．直线与无交点三、填空题11．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为___________．12．若椭圆的两焦点分别为，，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．13．椭圆：上的点到直线的距离的最小值为_____.14．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.四、解答题15．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.16．已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，.(1)求椭圆C的离心率和焦点坐标；(2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度.重难点专题01：直线与椭圆的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；2.考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与椭圆的位置关系判定；椭圆的弦长；椭圆的焦点弦；椭圆的中点弦；椭圆中的定点、定值问题；椭圆的定直线；椭圆中的向量问题

3.课堂知识小结4.考点巩固提升知识归纳1.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l与C相离的Δ<0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ>0.2.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=（k为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。)3.中点弦问题关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))由①－②得a2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＋b2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0).考点讲解这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决考点讲解考点1：直线与椭圆的位置关系判定例1．椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为（

）A． B．3 C． D．【答案】B【详解】椭圆的左、右顶点分别为、，点坐标为，点坐标为，又直线的斜率为，直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，设点坐标为，则，解得，，故直线斜率，故选:B．【方法技巧】求出的坐标，进而求出直线的方程，联立椭圆方程后，求出点坐标，代入斜率公式，可得答案.【变式训练】【变式1】．（多选）下列曲线中与直线有交点的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据直线与曲线联立方程，通过判断的正负，即可判断方程根的情况，进而可得交点情况.【详解】对于A,直线和的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点．对于B,由，得，，所以直线与B中的曲线有交点．对于C,由，得，，所以直线与C中的曲线有交点．对于D,由，得，，所以直线与D中的曲线有交点．故选：BCD【变式2】．直线和曲线的位置关系为_____.【答案】相交【分析】根据直线过点且在椭圆内部可得出结论.【详解】曲线为：可得直线恒过，由知定点在椭圆内部，所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交.【变式3】．椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.【答案】【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切，由得，由得，，解得设直线与直线的距离为，当时，直线为，则，当时，直线为，则，因为，所以椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.故答案为：考点2：椭圆的弦长例2．椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.解：（1）由题意设椭圆的方程为，因为椭圆经过点且长轴长为，所以，所以椭圆方程为，（2）因为直线过点且斜率为1，所以直线的方程为，设，将代入，得，整理得，所以，所以【方法技巧】（1）先设出椭圆方程，然后由题意可得，从而可得椭圆方程，（2）由题意可得直线的方程为，代入椭圆方程中，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果.【变式训练】【变式1】．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弦长公式求解即可.【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程整理可得：，设，则，，根据弦长公式有：=．故B，C，D错误.故选：A.【变式2】．斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值.【详解】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为，由消去y得，则，.∴，∴当时，取得最大值，故选:D.考点3：椭圆的焦点弦例3：（2019·浙江·高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是____.【答案】【详解】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.【方法技巧】1.明确概念2.利用焦半径公式把比值表示为的式子，然后由得出范围．【变式训练】【变式1】．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.【答案】【详解】设，，且得：.故答案为：.【变式2】．如果椭圆的一个焦点坐标为，过此焦点且垂直于轴的弦的长等于，则这个椭圆的标准方程为_______.【答案】【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可.【详解】设椭圆的标准方程为，由题知：，所求椭圆的标准方程为.故答案为：.【变式3】．设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________．【答案】【详解】椭圆C：,所以.因为M在椭圆上,.因为M在第一象限,故.为等腰三角形,则,所以,由余弦定理可得.过M作MA⊥x轴于A,则所以,即M的横坐标为.因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，所以，解得：所以M的坐标为.故答案为：考点4：椭圆的中点弦例4．已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______.【答案】##【分析】运用“点差法”即可求得答案.【详解】由题意，设，因为的中点为，所以.又.于是，即所求直线的斜率为.故答案为：.【方法技巧】(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.(2)利用“点差法”求解【变式训练】【变式1】．已知椭圆()与直线交于A、B两点，，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为________．【答案】【详解】由于的中点坐标为且满足直线方程，即有，解得，则的中点坐标为．设，，由得，则，∵的中点坐标为，∴，即，则，即，故，又，解得，故．∴椭圆方程为．故答案为：．【变式2】．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．（1）解：因为椭圆的离心率为，长轴长为，解得，则，所以椭圆的标准方程是；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为：，，AB中点的坐标为，则，两式相减得，即，又，解得，因为线段AB的中点在椭圆内部，所以，即，解得，所以直线斜率的取值范围考点5：椭圆中参数的范围及最值例5．（2021·全国·高考真题（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【详解】点，因为，，所以，而，所以当时，的最大值为．故选：A．【方法技巧】1.找到各种量之间的关系。2.理解基本要求【变式训练】【变式1】（2017·全国·高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．【变式2】．已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为，．若椭圆的离心率为，则的最小值为______．【答案】1【分析】令，．设，，表示出，，对于，再由均值不等式即可求出答案.【详解】令，．设，，，．又椭圆的离心率为，所以，所以，（当且仅当，即时等号成立）．故答案为：1.考点6：椭圆中的定点、定值问题例6：（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．(1)解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.(2)，所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点【方法技巧】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【变式训练】已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．(1)求椭圆的方程；(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．解：（1）依题意，又，解得，所以椭圆的方程为.（2）设点，而，且，，当时，直线AP：，点，，直线BP：，点，，，当时，，，，所以所以是定值.考点7：椭圆的定直线例7：（2022·河北沧州·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【解析】(1)由题意得，解得，所以椭圆的方程是.(2)点是在定直线上，理由如下，由（1）知，设，，将的方程与联立消，得，则，得且，且，因为，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，联立直线与直线的方程，得，得，所以所以点在定直线上.【方法技巧】（1）设，表示出，结合点在椭圆上，代入即可得出答案.（2）设直线为，与椭圆联立消去得到关于的一元二次方程，列出韦达定理，写出直线，的方程，联立这两条直线的方程，求出点的纵坐标，即可得出答案.【变式训练】【变式1】．已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.(1)设的斜率分别为，求的值;(2)求证：点在定直线上.解：（1）设，，，，所以.（2）设，得到，，，直线，直线，联立得:，法一：，解得.法二：由韦达定理得，.解得，所以点在定直线上.考点8：椭圆中的向量问题例8．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，由,得，则,设()，由，得，则，又，由二次函数的性质可知，，所以的最小值为.故选：C.【方法技巧】根据平面垂直向量的数量积表示可得，利用平面向量的线性运算将变形为，设()，利用两点坐标求出，结合二次函数的性质即可求出最小值.【变式训练】【变式1】．椭圆的左焦点关于直线：的对称点是，连接FM并延长交椭圆C于点P．若，则椭圆C的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，，由题意得：，解得：，所以，又，故的中点为，故，将其代入椭圆方程中，，则，解得：，所以椭圆的离心率为.故选：A【变式2】．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，可得，即，所以左焦点，且直线斜率为，所以直线的方程为，设，，由可得，可得，，，，所以，故选：C.知识小结知识小结1.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l与C相离的Δ<0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ>0.2.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=（k为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。)3.中点弦问题关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))由①－②得a2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＋b2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0).这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决巩固提升巩固提升一、单选题1．直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】根据直线恒过，且在椭圆内可直接得到结论.【详解】，在椭圆内，恒过点，直线与椭圆相交.故选：A.2．已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（

）A．15 B．12 C．6 D．3【答案】B【分析】由三角形面积公式可知△的底为定值，当高为最大时，面积即为最大，故当点位于椭圆上顶点或下顶点时高最大，即可求解.【详解】由三角形面积公式可知，当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点，其中，则△面积的最大值是，故选：.3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点(如图所示)，若的面积为，则椭圆的方程为(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得，令，可得，再由三角形的面积公式，解方程可得，，即可得到所求椭圆的方程．【详解】由题意可得，即，即有，令，则，可得，则，即，解得，，∴椭圆的方程为．故选：A．4．过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】求出椭圆的通径，即可得到结果．【详解】过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为椭圆的通径：．故选：A．5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，其结构图如图2所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，且内层与外层的椭圆的长轴之比为，已知外层椭圆的方程为，若由外层椭圆长轴的一个端点向内层椭圆引切线，则切线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求出内层椭圆的方程，设切线方程为，代入椭圆方程中消去，整理后由判别式等于零可求出切线的斜率【详解】由，得，则离心率，则由题意知内层椭圆的方程为，点，由题意可知过点的切线的斜率存在，设切线方程为，由，得，所以，化简得，解得．故选：C6．直线与椭圆的交点个数为（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据椭圆的方程求得其右顶点为，上顶点为，结合直线的截距式方程，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，则椭圆的右顶点为，上顶点为，又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.故选：C.7．已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（

）A．3 B．9 C． D．【答案】C【分析】根据椭圆定义和焦点三角形，利用余弦定理和面积公式即可求解.【详解】根据椭圆的定义有，①根据余弦定理得，②结合①②解得，所以的面积．故选:C8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且异于长轴端点．点在所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量数量积关系可知在以为直径的圆上；由椭圆定义和中位线性质知，结合可求得当时，的值，即为所求最大值.【详解】，，，，在以为直径的圆上，圆心分别为的中点，如图所示，由椭圆方程知：，，，，，，当四点共线时，取得最大值.故选：A.二、多选题9．设椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（

）A．离心率B．△面积的最大值为1C．以线段为直径的圆与直线相切D．为定值【答案】B