高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (11)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（11）

一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1.三棱锥P-ABC的所有顶点都在半径为2的球。的球面上.若2PAC是等边三角形，平面P4C_1平

面ABC,4B1BC,则三棱锥P-ABC体积的最大值为（）

A.2B.3C.2V3D.3V3

2.下列说法中正确的个数是（）

①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行

②三个平面最多将空间分为8个部分

③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形

④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直

A.1B.2C.3D.4

3.如图，己知点E、F、G、，分别是正方体4BC0-4B1C1D1中棱24、AB,CD、G5的中点，

记二面角E—FG-D的平面角为a,直线HG与平面ABC。所成的角为0,直线HG与直线0G

所成角为y,贝1（）

H

A.y>0=aB./3>a>yC.0=a>yD.a>0>y

4.如图，正方体ABCD—4B1GD1的棱长为2a,点。为底面ABC。的中心，点P在侧面BBiQC的

边界及其内部运动.若2。J_0P,且ADiGP面积的最大值为4伤，则a的值为（）

A.1B.3C.D.2

二、多项选择题（本大题共13小题，共52.（）分）

5.对于四面体4-BCD,以下命题中正确的命题是（）

A.若4B=4C=4。，则A8,AC,AQ与底面所成的角相等

B.若ACLBD,则点A在底面△BCD内的射影是的内心

C.四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形

D.若四面体力-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为?

6.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）

A.异面直线AC与BCi所成的角为60°

B.直线4当与平面4BCi£）i所成角为45。

C.二面角力—B】C—B的正切值为

D.四面体D1-4B1C的外接球的体积为当兀

7.已知正三棱锥P-4BC的底面边长为1,点P到底面ABC的距离为鱼，则（）

A.该三棱锥的内切球半径为虺B.该三棱锥外接球半径为逑

612

C.该三棱锥体积为上D.AB与PC所成的角为3

122

8.如图，以等腰直角的斜边上的高4。为折痕，把△ABD和△力CD折成相互垂直的两个平面,

下列结论正确的是（）

A

A

A.

B./.BAC=60°

C.若4。=1,则三棱锥内切球的半径为警

D.二面角B—力C—0的平面角的正切值为当

9.如图，在正方体力BCD-aBiCiL»i中，平面4B15，垂足为4,则下面结论正确的是（）

A.直线与该正方体各棱所成角相等

B.直线与该正方体各面所成角相等

C.垂直于直线4"的平面截该正方体，所得截面可能为五边形

D.过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形

10..如图直角梯形ABC。中，AB//CD.AB1BC.BC=CD=\AB=2,E为48中点，以OE为折痕

把△4DE折起，使点A到达点P的位置，且PC=28，则（）

A.平面PED1平面EBCD

B.PC1ED

C.二面角P-DC-8的大小为；

D.PC与平面PED所成角的正切值为迎

11.已知四棱锥P-ABCC的底面A8C。是边长为3的正方形，PDJ■平面ABC。，PD=6,E为PD

的中点，过E8作平面a分别与线段PA、PC交于点M、N,S.AC//a,则下列结论正确的是（）

A.BM//NEB.EM=MA

C.PM=3MAD.四边形EM8N的面积为3e

12.在棱长为1的正方体A3CD-中，点M在棱CC\上，则下列结论正确的是（）

A.直线与平面ADO平行

B.平面BA/。1截正方体所得的截面为三角形

C.异面直线A。1与A】Ci所成的角为g

D.+的最小值为代

13.如图直角梯形48CZ）,AB//CD.AB1BC,

BC=CD=-AB=2,笈为46中点，以。后为折痕把44DE折

2

起，使点4到达点P的位置，且PC=2百.则（）

A.平面PED1平面EBCD

B.异面直线PC与。E所成的角的余弦值为逅

3

JT

C.二面角P—DC—8的大小为一

4

D.PC与平面PKO所成角的正切值为正

14.如图，在棱长为1的正方体4BC。-&B1GD1中，P,历分别为棱

CD,CC1的中点.。为面对角线上任一点，则下列说法正确的

是

A.平面APM内存在直线与4Di平行

B.平面截正方体48C0-48也也所得截面面积为:

O

C.直线AP和。。所成角可能为60。

D.直线AP和OQ所成角可能为30。

15.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）

A.异面直线AC与BG所成的角为60。

B.直线4当与平面4BG5成角为45。

C.二面角4-B[C-B的正切值为V2

D.四面体Di-ABiC的外接球的体积为卫兀

16.如图，矩形ABC。，M为BC的中点，将团4BM沿直线4M翻折

成E14BM,连接为。，N为8。的中点，则在翻折过程中，下列//

说法中所有正确的是（）

A.存在某个位置，使得CN1AB1“"

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若4B=BM,贝ih4M1BXD

D.若AB=BM=1,则当三棱锥&-AMD的体积最大时，三棱锥&-4"。的外接球的表面积

是4兀

17.已知菱形A8C。中，/BAD=60。，将△ABD沿折起，使顶点A至点M,在折起的过程中，

下列结论正确的是（）

A.BD1CM

B.存在一个位置，使ACDM为等边三角形

C.DM与BC不可能垂直

D.直线。"与平面BC。所成的角的最大值为60。

三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

18.如图，已知边长为1的正方形A8C。与正方形BCFE所在平面互相垂直，P为EF的中点，。为

线段FC上的动点，当三棱锥P-48Q的体积最大时，三棱锥P-4BQ的外接球的表面积为

19.如图所示，在长方体48CD-AiBiGDi中,=当劣，点E是棱CC】上的一个动点，若平面BED1

交棱44i于点尸，给出下列命题：

①四棱锥&-8ED1F的体积恒为定值;

②存在点E,使得Bi。_L平面BAE；

③对于棱CG上任意一点E,在棱AQ上均有相应的点G,使得CG〃平面EBDQ

④存在唯一的点E,使得截面四边形BEDiF的周长取得最小值.

其中真命题的是.（填写所有正确答案的序号）

20.在高为1的正四面体P-ABC中，P在底面ABC上的射影为作平行

于平面ABC的平面，分别交线段PA,PB,尸C于点4,B',C'.当三棱

锥P'-A'B'C'的体积最大时，三棱锥P'-4B'C'的外接球的表面积为

21.矩形ABC。中，AB=V3，BC=1,现将△4CD沿对角线AC向上翻折，得到四面体D—A8C,

则该四面体外接球的表面积为;若翻折过程中的长度在［［，当］范围内变化，则点

。的运动轨迹的长度是一.

22.如图，等边三角形A8C的中线AF与中位线。E相交于G,已知/4EC是44EC绕力E旋转过程

中的一个图形，给出以下四个命题：①4c〃平面ADF:②平面4GF，平面BCED；③动点4在

平面ABC上的射影在线段A尸上；④异面直线HE与8。不可能垂直.其中正确命题的序号是

A'

A

23.如图，正方体力BCD的棱长为1,M,N分别是线段41cl和8。上的动点，则下列判断

正确的是.（请把所有正确命题的序号都填上）

①线段的长度有最小值，且最小值为1；

②使MN=&成立的点M,N的位置情况只有四种；

③不论M,N如何运动，线段和当。都不可能垂直；

④若M,N,B,C四点能构成三棱锥，则其体积只与点N的位置有关，与M无关;

⑤存在一个位置，使得MN所在直线与四个侧面都平行.

24.我国古代《九章算术少中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童4BCD-EFG/7

有外接球，且48=4b，AD=4,EH=276,EF=6近，点E到平面A8C。的距离为4,则

VC_BDE=_______;该刍童外接球的半径为.

25.矩形ABC。中，AB=陋,BC=1,现将团4C。沿对角线AC向上翻折，得到四面体。一4BC,

则该四面体外接球的表面积为;若翻折过程中8。长度在［?，¥］范围内变化，则点D

的运动轨迹的长度是.

四、解答题(本大题共5小题，共60.0分)

26.如图1所示，平面多边形CQEF中，四边形A8C。为正方形，EF//AB,AB=2EF=2,沿着

AB将图形折成图2,其中ZAED=9O。，AE=ED,H为的中点.

图2

(1)求证：EH1平面ABCD

(2)求四棱锥D-4BFE的体积

27.在四棱锥P-4BCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，Z.BAD=60°,

PA，面A8CD,PA=y[3,E,F分别为BC,PA的中点.

(1)求证：BF〃面PDE；

(2)求二面角。-PE-A的大小的正弦值;

(3)求点C到面PQE的距离.

28.如下图1,已知四边形BC0E为直角梯形，4B=9。。,BE//CD,且BE=2C0=2BC=2,A

为BE的中点.将团ED4沿A3折到国PD4位置(如下图2),连结PC,PB构成一个四棱锥P-4BCD.

(1)求证4。1PB；

(2)若PAl¥ffiABCD.

①求二面角B-PC-D的大小；

②棱PC上一点例，满足而=%时，使得直线AM与平面PBC所成的角为45。，求;I的值.

29.如图，在四棱锥P-ZBCD中，P4LnABCD,AD//BC,AD1CD,S.AD=CD=®BC=2夜,

PA=1.

(1)求证：AB1PC；

(2)在线段PO上，是否存在一点M,使得二面角M—AC-D的大小为45。，如果存在，求

与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.

30.如图，PDl^ABCD.AD1CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,点

E,凡M分别为4P,CD,BQ的中点.

(1)求证：EF〃平面MPC：

(2)求点B到面PMC的距离.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查三棱锥的外接球，考查基本不等式求最值，属于较难题.

由题意求得P4=AC=PC=2V3.则POi1AC且POi=3,又由平面PAC1平面ABC,可得PO】_L平

面ABC,即三棱锥P-力BC的高九=3,在A/IBC中，利用基本不等式求得面积的最大值，进而可得

三棱锥体积的最大值，得到答案.

解：由题意知，三棱锥P-ABC的所有顶点都在半径为2的球。的球面上，△PAC是等边三角形,

如图所示，可得PA=4C=PC=2g,

则POi1ACHPO1=3,

又由平面PACJL平面ABC,平面PACn平面ABC=AC,POXu平面PAC,

所以POi1平面ABC,

即三棱锥P-4BC的高h=3,

又在三角形ABC中，ABLBC,

设AB=a,BC=b,则a2+必=AC2=",

所以SMBC=gab<|-|(a2+b2)=3,

当且仅当a=b时取等号，即SMBC的最大值为3，

所以三棱锥P-ABC体积的最大值为V="S-8c)max♦h=[x3x3=3.

故选B.

2.答案：B

解析：

本题考查空间中线线之间的关系，平面的概念，几何体的结构特征，属于基础题.

由空间几何体的结构特征，平面之间的关系，逐个进行判断.

解：①三个平面两两相交，有三条交线，三条交线两两平行或交于一点，如三棱柱的三个侧面两两

相交，

交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是相互平行的；

但有时三条交线交于一点，如长方体的三个相邻的表面两两相交，

交线交于一点，此点就是长方体的顶点.故错误；

②若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；

若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；

若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；

当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，

故错误；

③画出截面图形如图，下图中截面为五边形但不是正五边形：

④两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条;

故正确；

故选B.

3.答案：A

解析：

本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识，考查运算求

解能力，属于较难题.

以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体

中棱长为2,利用向量法能求出结果.

解：以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，DO1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABC。-中棱长为2,

此时，4(2,0,0),C(0,2,0),E(2,0,1),F(2,l,0),

4(2,0,2),G(0,2,2),G(l,2,0),H(0,l,2),

则品=(0,1,-1)，FG=(-1,1,0)>HG=(1,1,-2)，DG=(1,2,0).

设平面EFG的法向量为记=(x,y,z),

，.理•记=。,即

tFG-m=0l-x+y=0

取％=1,m=(1,1,1),

平面DFG的法向量为五=(0,0,1),

则c°sa=嘉=焉=

sin/?=|cos师㈤|=|击高J=冬

cos'=,1_si/]=y,

HGDG1+2V30

cosy—|^|.|DG|一V6X-75—10，

:.Y>a=6.

故选A.

4.答案：D

解析：

本题考查直线与平面的垂直的判定以及空间中线线、线面、面面间的位置关系，属于较难题.

由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱的劣的最大值，代入三角形

面积公式求解.

解：如图，取BB］的中点尸，连接。尸、D/、CF、QF,连接。。、80、OC、D1C,

则/F=BF=a,DO=BO=OC=近a，=DjC=2近a,

BBXl¥ffiABCD,BBi_L平面4B1GD1，。也JL平面BBQC,

•••ODi=y/OD2+DD^=遍a，OF=y/OB2+BF2=6a，D=/J。西+BF=3a，

2

ODl+OF=D/2,0D2+0C2=DC，

•••ODX1OC,OD11OF,

OCCtOF=0,

OD1J•平面OCF,

・•・。41CF,

•••点P的轨迹为线段CF.

又•••GF=JB©+BF=V5a>(\C=2a，

2

△AGP面积的最大值S=|C1F-D©=|x2axV5a=V5a=4V5,

解得a=2.

故选。.

5.答案：ACD

解析:

本题考查了空间儿何体的结构特征，球的表面积，空间中线线，线面的位置关系，属于中档题.

对于A,根据线面角的定义即可判断；对于B,根据线面垂直的判定和性质可知，。是△BCD的垂心，

对于C在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数，对于。作出正四面体的

图形，找到球的球心位置，说明0E是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积.

解：对于A选项，因为AB=4C=4D,设点A在平面BCD内的射影是0,

因为。=—,。=—,smZ-ADO=—,

sinzJlBABsinzJlCACAD

所以sinz_4B。=sinZ-ACO=sinZ.ADO,

则A8,AC,AO与底面所成的角相等，故A正确；

对于B选项，设点A在平面8C。内的射影是0,

则4。，平面BCD,CDu平面BCD,

故AOJ.CD,又ABICD,

AOC\AB=A,AO,ABu平面ABO,

故CD!平面4B0,又OBu平面ABO,

则CD1OB,

同理可证BDIOC,所以。是△BCD的垂心，故B不正确；

如图：将四面体4-BCD置于正方体中，直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4.故

C正确；

如图，。为正四面体ABC。的内切球的球心，正四面体的棱长为1；

所以。E为内切球的半径，BF=AF=―,BE=—，

23

所以AE=不^=渔，

\33

因为8。2-0E2=BE2,所以（白-OE）2-OE2=（小，

所以。E=渔，所以球的表面积为47r-0E2=£，故。正确.

126

故选：ACD.

6.答案：ACD

解析：

本题考查了球的表面积和体积，异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角，线面垂直的判定，

线面垂直的性质和面面垂直的性质，属于较难题.

利用异面直线所成角求法，对A进行判断，利用面面垂直的性质得以。L平面4BC1%,再利用直线

与平面所成角求法，对B进行判断，利用线面垂直的判定得当C，平面ABO,再利用线面垂直的性

质得Z0J.B1C,再利用二面角的求法，对C进行判断，利用四面体Di-A&C的结构特征得其外接

球半径，再利用球的体积公式计算，对。进行判断，从而得结论.

解：对于A、在棱长为1的正方体4BC0-a当口5中，

因为AC〃4G，所以直线41cl与BCi所成的角就是异面直线AC与BG所成的角，

而^&BG是正三角形，因此直线4G与BQ所成角为60。，

即异面直线AC与BG所成的角为60。，因此A正确；

对于B、在棱长为1的正方体ABCO-&当口劣中，

因为平面48的。1平面BBiQC交于BCi，

设BGnBiC=O,则BiOlBG，而Bi。u平面BBiGC,

所以Bi。1平面ABGD1，

因此连接AO,则AO是直线4当在平面48。1以内的射影，

即4当4。为直线AB】与平面4BC15成角，

而sinzSBi?!。=^所以NBIA。=30。，

即直线44与平面28C1D1成角为30。，因此B不正确；

对于C、由B知，在棱长为1的正方体4BC0-A1B1C1D1中，

因为B。1BCAB1BrC,

而力onZB=4,ABABO,40u平面AB。，

所以B]C_L平面ABO,而4。u平面AB。，因此A。_LB]C,

所以4408是二面角A-B1C-B的平面角,

因此tanz_40B=—=V2,

BO

即二面角力-B1C-B的正切值为VL因此c正确；

对于D、因为四面体一A&C的外接球就是棱长为1的正方体4BCD—4B1GD1的外接球,

而棱长为1的正方体4BCD-4B1GD1的外接球半径为，，

即四面体必-4B】C的外接球半径为，，

所以四面体。1一低。的外接球的体积为*x（，）=9,因此。正确.

故选ACD.

7.答案：ABD

解析：

本题考查正棱锥的性质，考查棱锥的体积，内切球与外接球问题，异面直线所成的角，掌握正棱锥

的性质是解题关键.

解：如图，PM是棱锥的高，则M是△ABC的中心，。是AB中点，

S”BC=fX12=亭Vp_4Bc=35AAe,PM=：X,X/=冬C错;

DM=|xyXl=^,PD=l(V2)2+(y)2=¥，CM=y.

S“BC=：XBCxPD=：x1x岁=普,

所以S=3sAPBC+SAABC=3x整+9=手,

设内切球半径为心贝l《Sr=VpTBc，7=与争=?，4正确；

~2~

易知外接球球心在高P例上，球心为0,设外接球半径为R.

则(夜—R)2+(?)2=R2,解得R=*，B正确;

由PMJ_平面ABC,ABu平面ABC得PM_L4B,又COL4B,CDClPM=M,

所以A8_L平面PC£>,PCu平面PCD,所以AB1PC,所以AB与PC所成的角为不。正确.

故选：ABD.

8.答案：AB

解析：

本题考查空间中直线的位置关系，考查三棱锥的内切球的半径问题及二面角的作法与运算，属于中

档题.

设等腰直角三角形△ABC的腰为。，则斜边BC=V^a，再结合选项依次判断即可.

解：设等腰直角三角形△ABC的腰为“，则斜边BC=ea,

对于A项，•.•£)为3(7的中点，；.4。_18。，

又平面48。_L平面AC。，平面4BDn平面4CD=4D,BD1AD,BDu平面A8。，

BD1平面ADC,又ACu平面ADC,

BD14C,故4正确；

对于B项，由A知，BD平面ADC,CDu平面ADC,

•••BD1CD,又BD=CD=—a,

2

：.BC=y/2X—a=a，又4B=AC=a,

2

.♦.△ABC是等边三角形，故B正确；

对于C项，若AD=1,则BC=CD=1,AB=AC=BC=&,

设三棱锥内切球的半径为r,

因为%-BC0=lSHABD-r+^SABCD'R+gSMCD'r>

所以工x%xlxlxl=3(工xlxl+^xlxl+工xlxl)r

323\2227

解得r=/故C错误；

对于。项，•・•△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点凡则DFJ.AC,又△ABC为等边三角形,

连接3兄则BF1AC,

NBFD为二面角B—4C-D的平面角,

而。尸=竽=3,BD-—a，

222

则tan/BFO=—=-^―=V2>故力错误;

DF-2

故选AB.

9.答案：ABD

解析:

本题考查棱柱及其结构特征，考查空间中直线与直线的位置关系，空间中直线与平面的位置关系,

考查几何体中的截面问题，考查空间思维能力与逻辑推理能力，属于较难题.

利用空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，逐一对选项进行分析，判断其正确性

即可求解.

解：如图所示，连接4C,

根据正方体中面对角线与体对角线垂直，

所以4iC_LABi，AXC1AD1,5LAB1C\ADr=A,

即AZ_L平面/IBiA，

又因为4担，平面ABiA，垂足为H,

所以直线与直线4C重合，

A项，因为直线41c与正方体48CD-4B1GD1各棱所成角都相等，设该角为。，均满足tan。=鱼,

即直线4H与正方体4BCD-&B1C1D1各棱所成角也相等，故A项符合题意;

B项，因为直线4c与正方体4BCD-&B1GD1各面所成角都相等，设该角为a,均满足tana=号,

即直线为〃与正方体4BCD-&B1GD1各面所成角也相等，故8项符合题意；

C项，垂直于直线的平面与平面ABiA平行，

截正方体力BCD-&B1C1D1所得截面为三角形或六边形，故C项不符合题意，

。项，设过直线的平面截该正方体与前后两个面相交所得的截面为&ECF,如图，

•••平面4BB1&〃平面DCC/i，

平面力n平面AiECF=ArE,平面OCCi£)in平面AiECF=CF,

:'A\E"CF,同理可得&F〃CE,

.••四边形&ECF为平行四边形，

同理可得过直线的平面截该正方体与上下两个面相交所得的截面也为平行四边形,

即过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形，故。项符合题意；

综上所述，符合题意的序号为ABD,

故选ABD.

10.答案：AC

解析：

本题考查了线面垂直以及面面垂直的判定，考查空间角的计算，属于中档题.根据PC的长证明PE1平

面EBCD,分别计算线线角、线面角、面面角的大小即可作出判断.

解：如图：

p

连接OE、EC.

对于A、因为直角梯形ABC。中，AB]"D,AB1BC,BC=CD=^AB=2,E为AB中点,

所以四边形8C£»E是边长为2的正方形，且4E=2,

因此以DE为折痕把△4DE折起后，PE1DE.

在APEC中，PE=AE=2,EC=2V2,PC=2圾，

则PE?+EC?=p，2,因此PE_LEC.

•••ECnCE=E,EC、EDuC平面E8C。，PEEBCD.

又；PEuC平面PED,平面PED1•平面EBCD,因此A正确；

对于3、假设PCIE。，

因为PEJ.DE,而PCnPE=E,PC、PEuC平面PEC,

所以ED1平面PEC,而ECu平面PEC,

因此ED1EC,这与/DEC=45。相矛盾，故8项错；

对于C、因为由(4)知：PE1平面EBCQ,CDc¥ffiEBCD,

所以PE1CD.

又因为CD1DE,PECDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以CD1平面PDE,而P。、DEu平面PDE,

因此CD1PD,CD1DE,

所以4POE为二面角P-DC-8的平面角.

由于折后，NPCE=NCAE=45。，因此C项正确；

对于力、因为由C知：以)1平面「力£

所以乙CPD为PC与平面PED所成角.

又因为由C知：CD1PD,

所以在Rt△「£>£■中，因为CD=2,PD=2,

所以tanzlCPD=—=3=—,

PD2\/22

即PC与平面PE力所成角的正切值为玄，因此。项错误.

2

故选AC.

11.答案:BD

解析：

本题考查线面平行的性质，几何体的截面问题，属于较难题.

取的中点F,运用线面平行的性质，可得平面4FC〃平面a,从而得出平面a,再逐一分析各选

项即可.

解：如图，连接AC,BD,令AC和相交于。，取E£＞的中点F,连接。凡AF,CF,

•••F,。分别为ED,的中点，0/7/BE,

又OF，平面a,BEu平面a,二OF〃平面a,

又4C//平面a,S.ACnOF=0,AC,OFu平面AFC,.•.平面AFC//平面a,

平面PAE与平面AFC的交线平行于平面PAF与平面a的交线，平面PCF与平面AFC的交线平行

于平面PCF与平面a的交线，

在平面尸A。中，过E作EM〃/1F交PA于M,在平面PCQ中，过E作EN〃CF交PC于N,

可得平面a即为平面EMBN,

•••PD，平面ABCD,ABu平面ABCD,：.PD1AB,

又ABA.AD,PDOAD=D,PD、ADu平面PAD,AB1平面PAD,

可知4B=DE=3,BD=3或，BE=79+18=3痘,

在平面PA。中，可得EM=空-4尸=24尸=三）9+-=V5.同理EN=要，

PF34

则AM=[P4=：x回布=遍，BM=V5T9=V14,PM=|P4=2遍，故8正确，C错误；

可知ABME不是直角三角形，所以和NE不平行，故A错误;

在"ME中，COSNBME=磊焉=一磊，S^BME=

所以S四之形E.MBA'=2x—x\/14x\/5x=3v/6>故。正确;

故选BD.

12.答案：ACD

解析：

本题考查了空间点线面位置关系，考查了转化思想、空间想象能力，属于中档题.

对于A,平面BCC/i〃平面4DD1%的性质即可判定直线8M与平面4DD1&平行;对于B,平面BM/

截正方体所得的截面为四边形;对于C,异面直线与&G所成的角为乙Dp4C,即可判定;对于。，

原问题相当于：AC//DB,直线AC,8。间距离为1,在AC上找一点加使得到。8上两点间距离之

和最小，只需找到B关于4C的对称点E即可.

对于A,•.•平面BCQBi〃平面4。。送1，BMu平面BCGBi，即可判定直线与平面40。遇1平行，

故正确；

对于8,如图1,平面BMC1截正方体所得的截面为四边形，故错；

对于C,如图2,异面直线ZD】与所成的角为ND14C,即可判定异面直线AD1与4G所成的角为

60°,故正确；

对于O,如图3,MB+MDX=MD+MDlt如图4,原问题相当于：AC//DB,直线AC,80间距

离为1,在AC上找一点M使得到OB上两点间距离之和最小.只需找到8关于AC的对称点E,,MD+

MD1的最小值即为线段ED的长度，

ED=712+22=V5.故正确.

故选ACD.

Cl5

13.答案：ABC

解析：

本题考查了面面垂直的判定，异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角，线面垂直的判定和线

面垂直的性质，属于较难题.

利用线面垂直的判定得PE，平面再利用面面垂直的判定得A正确，利用异面直线所成角定

义得异面直线PC与力E所成的角就是PC与CB所成的角，即NPCB,再利用线面垂直的性质得PE1

CB,PEA.EB,然后解直角三角形对8进行判断，再利用二面角定义得NPDE为二面角P-DC-B的

平面角，然后解直角三角形对C进行判断，再利用直线与平面所成角得4CP。为PC与平面PED所

成角，然后解直角三角形对C进行判断，从而得结论.

解：在直角梯形A8C。中，

因为AB〃CD,ABLBC,BC=CD=\AB=2,E为AB的中点，

所以DEJ.4E,DE1EB,AE=2,四边形E8CQ是边长为2的正方形，

又因为以OE为折痕把A.-1OE折起，使点A到达点P的位置，

所以CE_LPE,DE1EB,PE=2,

又因为PC=2百，连接EC,所以PE2+EC2=p（:2,即PE_1.EC,

又因为CEnEC=E,CEu平面EBCQ,ECu平面EBC。，

所以PE_L平面EBCD,

又因为PEu平面PE£）,所以平面PED，平面EBC£>,因此4正确，

因为DE〃CB,

所以异面直线PC与OE所成的角就是PC与CB所成的角，即NPCB,

因为PE1平面E8C。，EB、CBEBCD,所以PE_LCB,PE1EB,

又因为PEnEB=E,EB、PEu平面PEB,因此CB1平面PE8,

而PBu平面PE8,所以CB_LPB,

在RtZXPJB中，因为CB=2,PB=26，所以cos/PCB=生=立，

PC3

即异面直线尸C与。E所成的角的余弦值为更，因此3正确，

3

因为PE1EB,EB//CD,所以PE_LCD,

又因为CD_LDE,PEC\ED=E,ED、PEPED,因此CD1平面PED,

而PDu平面FEZ),所以CD1PD,

因此NPDE为二面角P-DC-B的平面角，

在RtaPED中，因为PE=EO=2,所以NPDE彳，因此C正确，

因为CD，平面PED交于D,

所以NCPD为PC与平面PED所成角，

因此在RtaPED中，因为PO=2e，CD=2,

所以tan/CP。=丝=只因此。不正确.

PD2

故选ABC.

14.答案：BC

解析：

本题主要考查空间直线的位置关系，截面问题，空间向量求出异面直线所成的角，属于中档题.

对各选项逐一求解，判定正误，即可得到答案.

对于选项A,在正方体4BCD—4B1GD1中，BC"AQ1，

在平面A8C。中，直线AP,BC相交，所以直线BC与平面APAY相交，

故直线&以与平面4PM相交，则平面APM内不存在直线与公劣平行，所以选项A错误；

对于选项B,连接GD,P,M分别为棱CO,CCi的中点，

所以PM〃G。，PM=：G。，在正方体ABC。-&B1GD1中，

AB、〃C[D,所以PM〃/IB1，连&M,则梯形4aMP为所求的截面，

AP=BiM=Jl4-i=y-

所以等腰梯形ABiMP的高为

所以梯形的面积为工x%x越=2,选项8正确；

2248

对于选项C,D,以。为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系，4(1,0,0),P(0,|,0),B(l,l,0),4(1,0,1),

设寂=4砧=4(0,1,-1)=(0,2,一4),0<A<1,

.•.而=西+项=(1,4,1-；I)，PA=

|COS'两’的)匚和舞导=而益而

2—A2—A

~^4107[(2-2)-2]2+(2-2)-1-7107(2-A)2-3(2-A)+3

y=3t2-3C+1=3(t-1)24-i>

等4V10/1+<V10,

ZyZ—A{Z—AJ

<Icos(PA，DQ)\<^，而邈<2<邈<乌

101x1510252

•••直线AP和。。所成角可能为60。，但不可能为30。，

选项C正确，选项。错误.

故选：BC.

15.答案：ACD

解析：

本题考查了球的表面积和体积，异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角，线面垂直的判定，

线面垂直的性质和面面垂直的性质，属于较难题.

利用异面直线所成角求法，对A进行判断，利用面面垂直的性质得当0_L平面4BGD1，再利用直线

与平面所成角求法，对8进行判断，利用线面垂直的判定得BiC_L平面ABO,再利用线面垂直的性

质得ZOJLBiC,再利用二面角的求法，对C进行判断，利用四面体D1-4&C的结构特征得其外接

球半径，再利用球的体积公式计算，对。进行判断，从而得结论.

解：对于A、在棱长为1的正方体4BC0-为当口劣中，

因为AC〃46,所以直线&C］与BCi所成的角就是异面直线AC与BG所成的角，

而44BG是正三角形，因此直线41G与BG所成角为60。，

即异面直线AC与BQ所成的角为60。，因此A正确；

对于3、在棱长为1的正方体ABCO中，

因为平面力BGA平面BBiGC交于BCi，

设BGCB1C=。，则BiOlBG，而Bi。u平面BBiGC,

所以当。J_平面4BG5，

因此连接AO,则AO是直线4当在平面ABCiD］内的射影，

即48送。为直线AB】与平面4BG5成角，

而sinzlBiA。==；,所以=30。，

即直线4名与平面48GD1成角为30。，因此B不正确；

对于C、由8知，在棱长为1的正方体4BC0-AiBiGDi中，

因为BO1BCAB1BC

而AOC4B=A,ABu平面AB。，力。u平面ABO,

所以BiC1平面ABO,而40u平面ABO,因此401&C,

所以乙40B是二面角4-BiC-B的平面角，

因此tanZTlOB=霹=V2,

即二面角4一81。一8的正切值为在，因此C正确；

对于。、因为四面体D1-AB］。的外接球就是棱长为1的正方体力BCD-48传15的外接球，

而棱长为1的正方体4BCD-的外接球半径为争

即四面体2-AB1。的外接球半径为争

所以四面体劣一4当。的外接球的体积为17rx（，）=号亓，因此。正确.

故选ACD.

16.答案：BD

解析：

本题主要考查了立体几何中的翻折问题，考查了学生的空间想象能力以及立体几何中的垂直性质定

理，余弦定理，综合性比较强，属于难题.

对于A取的中点为E,连接CE交于点F,则NE〃/1Bi,NF〃MB],由CN工A,则EN1CN,

从而判断A,对于2,由判断A的图以及余弦定理可判断B；对于C由线面垂直的性质定理即可判

断；对于。根据题意知，只有当平面1平面AM。时，三棱锥位-AMD的体积最大，取AZ）的

中点为E,连接OE,aE,ME,再由线面垂直的性质定理即可判断.

解：对于A,取A。的中点为E,连接CE交MQ于点F,如图1

图】

则NE//力Bi，NF//MB1

如果CNIABi，则ENJ.CN,

由于4当_1,"当，则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故不正确：

对于8,如图1,由NNEC=NMABI，

且NE="Bi，AM=EC,

.•.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cosz.NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

对于C,如图2

取AM中点为O,vAB=BM,即4当=则AM_1当。

若AM1.B1。，由于B[0nB[Z)=B],

且当。,a。u平面ODBi，

AAM1平面。ODu平面。g,

OD1AM,贝IJ4O=MD,

由于ADKMD,故AMI当。不成立，故不正确；

对于。根据题意知，只有当平面昆力M，平面力时，

三棱锥&-4MD的体积最大，取A。的中点为E,

连接0E,81E,ME,如图2

■■■AB=BM=1,则AB】=BrM=1,

且AB11GM,平面n平面AMD=AM

•.1AM,Bi。u平面JAM

•••ByO_L平面AMD,OEu平面AMD

•••Bi。1OE,

则4M=V5，B10=|/4M=y.

OE=-DM=-AM=—,

222

从而叫盾而=「

易知EA=ED=EM=1,

.••4。的中点E就是三棱锥a-AMD的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4兀，故O正确;

故选3D

17.答案：ABD

解析：

本题主要考查了线线垂直的判定，线面垂直的判定以及线面角的求法，属于中档题.

设菱形中AC交8。于点E,通过证明BDJL平面MEC可得CM,即A正确；通过分析翻折过程

中不变量CO=DM=2,求出CM范围即可得到8正确；通过证明AD1平面DHM,得到401DM,

进而BC1DM,所以C错误；先找出线面角，然后考虑其正弦值范围即可得到。正确.

解：设菱形中AC交8。于点E,记