高中数学圆锥曲线-答案与解析几何

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高中数学圆锥曲线/答案与解析几何

姓名：_________

指导：__________

日期：__________

6种方法减轻运算量，优化解题过程

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6种方法减轻运算量，优化解题过程

技巧1：回归定义

回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略

和思想方法.圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长

点.对于相关的圆锥曲线中的数学问题.若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到

化难为易、化繁为简、事半功倍的效果.

【例题】如图，B，凡是椭圆G：9+尸=1与双曲线C2的公共焦点，4B分别是C”

G在第二、四象限的公共点.若四边形/EBB为矩形，则G的离心率是（）

A.'\f2B.A/3y

C.f

【解析】由已知，得尸（1一色，0）,B（，3,0）,

设双曲线C?的实半轴长为a,

由椭圆及双曲线的定义和已知，

MEI+M刊=4,

可得,4尸：L（JLFi|=2a,解得出=2,

MEF+"F=12,

故a=啦.所以双曲线G的离心率e=24=—.

V22

【答案】D

［关键点拨］

本题巧妙运用精圆和双曲线的定义建立MRI，的等量关系，从而快速求出双曲或实半

轴长。的值，进而求出双曲线的高心率，大大降低了运算量.

技巧2:设而不求

设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意

义上的变式和整体思想的应用.设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,

通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求.

【例题】已知椭圆E：m+Eng”＞。）的右焦点为R3,0）,过点尸的直线交E于4,

a*Zr

8两点.若,43的中点坐标为（1,-1）,则上的标准方程为（）

A-+-^-=18亡+亡=1

45363627

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设H(xi,户)，B(X2,二),

则XI+q=2,yi+y2=-2,

、

立+=

①

krs②

W-+=

①一②册+x2)(xif)।(n+F)(VI一心)一。

出g

所以心叭Xl+x2)

2a：

X1-X2a01+”)

q卜0+11,所吸=，

又3寸5

又9=夕="一"，

解得炉=9,〃=18,

所以椭圆E的方程为W=l.

【答案】D

［关键点拨］

(1)本懿设出a5两点的坐标，却不求出/,8两点的坐标，巧妙蚣表达出直线48的斜

率，通过将直线的斜率“算两次''建立几何量之间的关系，从而快速鹘决问题.

(2)在运用圆德曲线问题中的设而不求方法技巧时，彩要做到：①凡是不必直接计算就能

史筒洁地解决问髭的，益尽可能实施“设而不求"；②‘设而不求''不可避免地要设参、消参，而

设参的原则是宜少不宜多.

技巧3:巧设参数，换元法

高中数学

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换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换

元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍.

常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等.在换元过程中，还要注意

代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件.

【例题】设椭圆£+I=l（a>b>0）的左、右顶点分别为8,点尸在椭圆上且异于4

CTb

B两点，。为坐标原点.若KP=0川，证明直线0P的斜率方满足岗〉书.

【解析】法一：依题意，直线0P的方程为y=h,设点尸的坐标为（xo,jb）.

h,o==Axo,

由条件得£+直=1,

消去刈并整理，得.4=7^2.①

小G十卜

由,4?=|。4],d（—aO）及Jo=ho,

得（vo+ay+X6=出，

整理得（1+分谒+2oto=0.

-9rr

而XoHO,于是Xo=—^7，

1+欠

代人①，整理得（1+的?=4环国+4.

又a>方>0,故（1+产>>4产+4,

即朽+1>4,因此乃>3,所以附〉仍.

法二：依题意，直线。的方程为），=h.

可设点P的坐标为（工0,ho）.

由点P在椭圆上，得理+警=1.

orb一

因为a>6>0,kxo^O,所以田+蟀VI,

即（1+内训〈出,②

由\AP=0H及4（—0。），得（ro+a）2+K而=出，

整理得（1+尸）E+2oto=0,于是检=―f—

1+公9

o

代入②，得(1+产)•母L屏，

解得拈>3,所以你〉小.

法三：设尸(mosJ,bsin6)(0W8V2/i),

则线段OP的中点Q的坐标为Ma争mq

\AP\=\0A<=>JQ±OPokdQXk=—1.

又/(一砌，所以比Q=^3.

即bsinJ—a心QCOS0=2akAq.

从而可得12成”区Nb^+a2总g<a\h+>Q，

解得kQ|V号，故岗=1一>4.

J尉QI

［关键点拨］

求解本想利用桶圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量.

技巧4：数形结合

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著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少

数时难入微.”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义,

挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题.

【例题】已知尸是双曲线C：的右焦点，尸是C的左支上一点，/0,6#).当

O

A4PF周长最小时，该三角形的面积为.

【解析】设双曲线的左焦点为根据双曲线的定义可知|/¥］=%+中尸」，

则ZUPF的周长为R41+2月+/F=&+勿+尸产］|+W尸=jR4J+尸产11+NP+2a,

由于ME+%是定值，要使ZUPf的局长最小，

则四十IPHI最小，即P,A,历共线，:

由于4(0,6#),R(—3,0),yy

则直线犯的方程为与氤f即*=会-3,JV^L

代人双曲线方程於理可得/\

『+6#),-96=0,

解得「=23或J=—8#(舍去)，

所以点尸的纵坐标为2#,

所以=；X6X6*-；X6X2#=12m.

【答案】12m

［关侬拨］

要求AlPF的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与

双曲线定义加以转化为已知边的长叟问题与已知量的等价条件来分析，很据直线与双曲线的位

置关系，通过数形结合确定点尸的位置，通过求解点尸的坐标进而利用三角形的面积公式来

处理.

技巧5:巧用向量法解题

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平面向量是衔接代数与几何的纽带,沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合

的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒

介.妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果.

【例题】如图，在平面直角坐标系中，F是椭圆£+1=1（。＞方＞0）的右焦点，直

线与椭圆交于B,C两点，且NBFC=90。，则该椭圆的离心率是_______.

【解析】把『纨入椭圆£+£=1,

2cr"

可得片串,则工一名，3居，0.

而用c,O),

则FB

又NBFC=90°.

1、

故有FBFC=----CT

2

=0,

则有3c2=2W,所以该描圆的离心率e=£=虫.

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【答案】?

［关键点拨］

本题透过相关向量坐标的确定，结合NBFC=90。，巧妙借助平面向量的坐标运算来箕化

圆推曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算.

技巧6:巧用"根与系数关系"

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某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标,用距离公式计算长度的方法来解;

但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根

间的关系或有关线段长度间的关系.后者往往计算量小，解题过程简捷.

【例题】已知椭畤+丁=1的左顶点为4,过I作两条互相垂直的弦/M.交椭圆

于M,N两点.

(1)当直线的斜率为I时，求点”的坐标；

(2)当直线dM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明,

并求出该定点；若不过定点，请说明理由.

【解析】⑴直线的斜率为1时，直姣■的方程为),=x+2,代入楠圆方程并化简

得5x：+l8+12=0.

解得*=—2,x：=—1,所以J5*5J.

(2)设直线AM的斜率为k,直线AM的方程为j=A(x+2),

「=拗+2),

联立方程=],

化荷得(1+4/ye+l6Kx+16尸一4=0.

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