2025版新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系素养作业新人教A版选择性必修第一册

A组·基础自测一、选择题1．直线l：y＝k(x－1)＋1和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系为(A)A．相交 B．相切或相交C．相离 D．相切[解析]由x2＋y2－2y＝0，得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为1.因为圆心(0,1)到直线l：y＝k(x－1)＋1的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－k－1＋1)),\r(k2＋1))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k)),\r(k2＋1))<1，所以直线l：y＝k(x－1)＋1和圆x2＋y2－2y＝0相交．2．已知直线ax＋by＋c＝0(a、b、c都是正数)与圆x2＋y2＝1相切，则以a、b、c为三边长的三角形是(B)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不存在[解析]由题意，得eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，∴a2＋b2＝c2，故选B.3．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(B)A．2.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2.0米[解析]以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(负值舍去)．4．若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(A)A.eq\r(10) B．3eq\r(2)C．eq\r(26) D．2eq\r(2)[解析]由圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，得圆心(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，可得b＝a－3，点M(a，b)到圆心的距离为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－2))2)，则由点M(a，b)向圆所作的切线长为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－2))2－8)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))2＋10)，当a＝2时，所求的切线长取得最小值为eq\r(10)，故选A.5．(2024·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(C)A．1＋eq\f(3\r(2),2) B．4C．1＋3eq\r(2) D．72[解析]将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2,1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时eq\f(|2－1－z|,\r(2))＝3，解得z＝1±3eq\r(2)，故z＝x－y的最大值为1＋3eq\r(2)，故选C.二、填空题6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有_3__个．[解析]圆心(3,3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,5)＝2，又r＝3，故有三个点到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1.7．已知圆C的圆心与点(－2,1)，关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为_x2＋(y＋1)2＝18__.[解析]设点(－2,1)关于直线y＝x＋1的对称点C的坐标为(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,2)＝\f(a－2,2)＋1，,\f(b－1,a＋2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－1，))即圆心C(0，－1)．又圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离为eq\f(|3×0＋4×－1－11|,\r(32＋42))＝3，从而圆的半径为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2＋32)＝3eq\r(2).故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.8．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为紧急区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于紧急区内的时间为_1__h.[解析]如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为紧急区，取MN的中点E，连接BE，BN，BM，则BE⊥MN，BN＝BM，△ABE为等腰直角三角形，因为AB＝40，所以BE＝20eq\r(2)km，在Rt△BEN中，NE＝eq\r(BN2－BE2)＝10，则|MN|＝20，所以时间为1h.三、解答题9．从下面三个条件中任选两个，依据你选择的条件确定直线l，并推断直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝4的位置关系．①直线l过点(－2,0)；②直线l的斜率为eq\f(\r(3),3)；③直线l在x轴和y轴上的截距相等．[解析]方案一：选择条件①②.由题意知直线l的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，即x－eq\r(3)y＋2＝0，圆C的圆心为C(2,0)，半径为r＝2.所以圆心C到直线l的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－0＋2)),\r(1＋3))＝2，因为d＝r，所以直线l与圆C相切．方案二：选择条件①③.由题意知直线l在x轴和y轴上的截距都为－2，所以直线l的方程为eq\f(x,－2)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋y＋2＝0.易知圆C的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，所以圆心C到直线l的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2＋0＋2)),\r(1＋1))＝2eq\r(2).因为d>r，所以直线l与圆C相离．方案三：选择条件②③.由题意知直线l必过原点，所以直线l的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x，即x－eq\r(3)y＝0.易知圆C的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，所以圆心C到直线l的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－0)),\r(1＋3))＝1.因为d<r，所以直线l与圆C相交．B组·素养提升一、选择题1．(多选题)(2024·广东汕头期中)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则下列命题正确的是(ABD)A．直线l过定点(3,1)B．圆C被y轴截得的弦长为4eq\r(6)C．直线l被圆截得的弦长最长时，直线l的方程为2x－y－5＝0D．直线l与圆C确定相交[解析]直线l的方程可化为m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))所以直线l过定点(3,1)，故A正确；在圆的方程中，令x＝0，得1＋(y－2)2＝25，从而y＝2±2eq\r(6)，所以圆C被y轴截得的弦长为4eq\r(6)，故B正确；直线l被圆截得的弦长最长时，直线l过圆心(1,2)，从而m＝－eq\f(1,3)，此时直线方程为eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3)y－eq\f(5,3)＝0，即x＋2y－5＝0，故C错误；因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，所以(3,1)在圆内，直线l与圆C确定相交，故D正确．故选ABD.2．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(A)A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)][解析]∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2eq\r(2)，∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，∴圆心为(2,0)，则圆心到直线距离d1＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[eq\r(2)，3eq\r(2)]，则S△ABP＝eq\f(1,2)|AB|d2＝eq\r(2)d2∈[2,6]．故选A.3．已知曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(D)A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，－\f(5,12)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))[解析]曲线y＝1＋eq\r(4－x2)可化为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，所以y＝1＋eq\r(4－x2)表示以(0,1)为圆心，2为半径的圆的上半部分，直线y＝k(x－2)＋4恒过定点(2,4)，设为A，可得图象如图所示．当直线y＝k(x－2)＋4为圆的切线时，可得圆心到直线的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－2k)),\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(5,12)；当直线y＝k(x－2)＋4过点B(－2,1)时，k＝eq\f(4－1,2＋2)＝eq\f(3,4).由图象可知，当y＝k(x－2)＋4与曲线有两个不同交点时，eq\f(5,12)<k≤eq\f(3,4)，故选D.二、填空题4．如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为2eq\r(51)m.[解析]以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝eq\r(51).∴水面下降1m后，水面宽为2x0＝2eq\r(51)m.5．(2024·新高考Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))).[解析]由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)，所以kA′B＝eq\f(3－a,2)，所以直线A′B的方程为y＝eq\f(3－a,2)x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以eq\f(|－33－a＋－2×－2＋2a|,\r(3－a2＋－22))≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,2)，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))).三、解答题6．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，m∈R.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．[解析](1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴方程表示圆时，m<5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，∵OM⊥ON，∴kOM·kON＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0①，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2y，,x2＋y2－2x－4y＋m＝0，))得5y2－16y＋m＋8＝0，∴y1＋y2＝eq\f(16,5)，y1y2＝eq\f(8＋m,5).代入①得m＝eq\f(8,5).(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0，∴所求圆的方程为x2＋y2－eq\f(8,5)x－eq\f(16,5)y＝0.C组·实力拓展一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，假如