新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积第2课时向量数量积的运算律学生用书新人教A版必修第二册

第2课时向量数量积的运算律学习任务1．驾驭平面对量数量积的运算律及常用的公式．(逻辑推理)2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．(数学运算)我们已经知道，许多运算都满意确定的运算律．例如，向量的加法满意交换律，数乘向量对加法满意支配律，即对随意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb．依据向量数量积的定义，探讨向量数量积的运算满意哪些运算律，并说明理由．学问点1向量数量积的运算律(1)a·b＝________．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝________________．(3)(a＋b)·c＝________．学问点2数量积运算的常用公式(1)(a＋b)2＝________________；(2)(a－b)2＝________________；(3)(a＋b)·(a－b)＝____________．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a·b＝b·c推不出a＝c． ()(2)对于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a都成立． ()2．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________．类型1求数量积【例1】已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________依据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．[跟进训练]1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________类型2与向量模有关的问题【例2】(源自人教B版教材)(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．[跟进训练]2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3与向量垂直、夹角有关的问题【例3】(1)已知非零向量m，n满意4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为13，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(A．4 B．－4C．94 D．－(2)已知e1与e2是两个相互垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，求k的取值范围．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求两向量夹角的方法(1)一般是利用夹角公式：cosθ＝a·(2)留意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．[跟进训练]3．已知非零向量a，b满意a＋3b与7a－5b相互垂直，a－4b与7a－2b相互垂直，求a与b的夹角．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知向量a，b满意|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4 B．3C．2 D．02．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝()A．16 B．256C．8 D．643．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于()A．32 B．－C．±32 D．4．已知向量a，b满意|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．向量的数量积满意哪些运算律？2．向量的夹角与其数量积之间存在什么关系？第2课时向量数量积的运算律[必备学问·情境导学探新知]学问点1(1)b·a(2)a·(λb)(3)a·c＋b·c学问点2(1)a2＋2a·b＋b2(2)a2－2a·b＋b2(3)a2－b2课前自主体验1．(1)×(2)×2．－7[关键实力·合作探究释疑难]例1解：(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192．跟进训练1．－6[由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝12所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3＝3－2×12例2解：(1)由题意可知a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos60°＝1，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×1＋4×1＝12，因此|a＋2b|＝23．(2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2，即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．跟进训练2．解：因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10．又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．例3(1)B[由题意知，m·nmn＝所以m·n＝14|n|2＝14n因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，即14tn2＋n2＝0，所以t(2)解：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke22＋(k2＋1)e1当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1．母题探究解：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke22＋(k2＋1)e1当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1．跟进训练3．解：由已知条件得a即7②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝a·bab＝∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3[学习效果·课堂评估夯基础]1．B[∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]2．A[∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．]3．A[∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝324．π6[|a－b|＝a-b2＝设向量a与a－b的夹角为θ，则cos