2024春七年级数学下册专题3.3多项式的乘法知识解读含解析新版浙教版

Page1专题3.3多项式的乘法（学问解读）【学习目标】1.驾驭多项式乘单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2.驾驭整式的加、减、乘、除、乘方的较简洁的混合运算，并能灵敏的运用运算律进行混合运算。【学问点梳理】学问点1：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．考点2：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．【典例分析】【考点1：多项式乘单项式运算】【典例1】（闵行区校级期中）计算：（﹣2xy）•（x2+xy﹣y2）．【解答】解：（﹣2xy）•（x2+xy﹣y2）＝﹣2xy•x2﹣2xy•xy+2xy•y2＝﹣3x3y﹣2x2y2+xy3．【变式1-1】（沈河区期末）（﹣2x2y）•（3xyz﹣2y2z+1）．【解答】解：（﹣2x2y）•（3xyz﹣2y2z+1）＝﹣6x3y2z+4x2y3z﹣2x2y．【变式1-2】（石景山区期末）计算：x2y（x+y3）﹣（3xy2）2．【解答】解：原式＝x3y+x2y4﹣9x2y4＝x3y﹣8x2y4．【变式1-3】（槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【解答】解：原式＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a＝﹣6a2+12ab【考点2：多项式乘多项式运算】【典例2】（大安市月考）化简：（2a+b）（a﹣2b）﹣3a（2a﹣b）．【解答】解：原式＝2a2﹣4ab+ab﹣2b2﹣6a2+3ab＝﹣4a2﹣2b2．【变式2-1】（杨浦区期中）计算：6ab（2a﹣0.5b）﹣ab（﹣a+b）．【解答】解：原式＝12a2b﹣3ab2+a2b﹣ab2＝13a2b﹣4ab2．【变式2-2】（长宁区校级期中）．【解答】解：＝＝﹣2x3y+4x2y2﹣3x2y2+6x3y＝4x3y+x2y2．【变式2-3】（高唐县期中）化简下列整式：（1）（x﹣xy）•（﹣12y）；（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）．【解答】解：（1）（x﹣xy）•（﹣12y）＝﹣4xy+9xy2；（2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）＝6a3﹣27a2+9a﹣8a2+4a＝6a3﹣35a2+13a．【考点3：多项式乘法的有关应用】【典例3】（东方期末）如图，某中学校内内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校支配在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．（1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）（2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）（3）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．【解答】解：（1）长方形地块的面积为：（3a+2b）（2a+b）＝6a2+3ab+4ab+2b2＝（6a2+7ab+2b2）平方米．（2）小长方形地块的面积为：2b（2a﹣b）＝（4ab﹣2b2）平方米．（3）绿化部分的面积为：6a2+7ab+2b2﹣（4ab﹣2b2）＝6a2+3ab+4b2，当a＝3，b＝1时，原式＝6×32+3×3×1+4×12＝6×9+9+4＝54+9+4＝67（平方米）．【变式3-1】（韩城市期末）如图，某小区有一块长为（2a+4b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长为（a﹣b）米的小正方形空地，开发商支配将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化8b平方米，每小时收费200元，则该物业应当支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示）【解答】解：（1）依据题意得：（2a﹣b）（2a+4b）﹣4（a﹣b）2＝4a2+8ab﹣2ab﹣4b2﹣4（a2﹣2ab+b2）＝4a2+6ab﹣4b2﹣4a2+8ab﹣4b2＝（14ab﹣8b2）平方米，答：绿化的面积是（14ab﹣8b2）平方米；（2）依据题意得：（14ab﹣8b2）÷8b×200＝（a﹣b）×200＝（350a﹣200b）元，答：该物业应当支付绿化队须要（350a﹣200b）元费用．【变式3-2】（陕州区期末）如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形．（1）计算广场上须要硬化部分的面积；（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．【解答】解：（1）依据题意，广场上须要硬化部分的面积是（2a+b）（3a+b）﹣（a+b）2＝6a2+2ab+3ab+b2﹣（a+b）2＝6a2+5ab+b2﹣（a2+2ab+b2）＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab答：广场上须要硬化部分的面积是（5a2+3ab）m2．（2）把a＝30，b＝10代入5a2+3ab＝5×302+3×30×10＝5400m2答：广场上须要硬化部分的面积是5400m2．【变式3-3】（双阳区校级月考）如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+5；乙长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）（1）图中的甲长方形的面积S1＝，乙长方形的面积S2，比较：S1S2（填“＜”、“＝”或“＞”），并说明理由；（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，摸索究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．【解答】解：（1）甲长方形的面积S1＝（m+1）（m+5）＝m2+6m+5，乙长方形的面积S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，S1＜S2，理由如下：S1﹣S2＝m2+6m+5﹣（m2+6m+8）＝m2+6m+5﹣m2﹣6m﹣8＝﹣3＜0，即S1﹣S2＜0，∴S1＜S2，故答案为：m2+6m+5，m2+6m+8，＜．（2）∵正方形的周长与图中的甲长方形周长相等，∴正方形的周长为：2（m+1+m+5）＝4m+12，∴正方形的边长为：m+3，∴正方形的面积为：S＝（m+3）2＝m2+6m+9，∴S﹣S1＝m2+6m+9﹣（m2+6m+5）＝m2+6m+9﹣m2﹣6m﹣5＝4．∴正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差是一个常数，这个常数是4【典例4】（石泉县期末）若（x+3p）（x2﹣x+q）的积中不含x的一次项与x的二次项．（1）求p、q的值；（2）求式子p2024q2024的值．【解答】解：（1）（x+3p）（x2﹣x+q）＝x3﹣x2+qx+3px2﹣3px+pq＝x3+（3p﹣1）x2+（q﹣3p）x+pq，∵不含x项与x2项，∴3p﹣1＝0，q﹣3p＝0，∴p＝，q＝3；（2）当p＝，q＝3时，原式＝（）2024×32024＝（）2024×32024×3＝（×3）2024×3＝12024×3＝1×3＝3．【变式4-1】（长宁区校级期中）若关于x的多项式2x+a与x2﹣bx﹣2的乘积绽开式中没有二次项，且常数项为10，求a、b的值．【解答】解：（2x+a）×（x2﹣bx﹣2）＝2x3﹣2bx2﹣4x+ax2﹣abx﹣2a＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（4+ab）x﹣2a．∵乘积绽开式中没有二次项，且常数项为10，∴a﹣2b＝0，﹣2a＝10，∴a＝﹣5，b＝﹣2.5．【变式4-2】（阎良区期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的绽开式中不含x的二次项，常数项是﹣6，求m，n的值．【解答】解：（x2+mx﹣3）（2x+n）＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，∵绽开式中不含x的二次项，常数项是﹣6，∴2m+n＝0，﹣3n＝﹣6，解得m＝﹣1，n＝2．【变式4-3】（温江区校级期中）已知（x2