新教材同步备课2024春高中数学第9章统计9.2用样本估计总体9.2.3总体集中趋势的估计学生用书新人教A版必修第二册

9.2.3总体集中趋势的估计学习任务1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)．(数学抽象、数据分析)2．理解集中趋势参数的统计含义．(直观想象)甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭．他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率．甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应当如何得到这家餐馆的总好评率？学问点众数、中位数、平均数1．众数、中位数和平均数的定义(1)众数：一组数据中____________的数．(2)中位数：一组数据按大小依次排列后，处于____位置的数．假如个数是偶数，则取____两个数据的平均数．(3)平均数：一组数据的__除以数据个数所得到的数．1．中位数确定是样本数据中的一个数吗？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．一组数据的众数确定唯一吗？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．频率分布直方图中的众数、中位数、平均数(1)单峰频率分布直方图中的平均数与中位数①假如直方图的形态是____的，那么平均数与中位数大体上差不多．②假如直方图在____“拖尾”，那么平均数大于中位数；假如直方图在____“拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．(2)在频率分布直方图中，众数是____矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积应当____；样本平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的______与小矩形的____的乘积之和．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． ()(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据． ()(3)若变更一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生变更． ()类型1一组数据的平均数、中位数和众数【例1】已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞a[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是依据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的依次排列，再依据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数．[跟进训练]1．(1)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为()A．1B．2C．3D．4(2)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11．则下面结论中正确的是________(填序号)．①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24．类型2频率分布直方图中的平均数、中位数和众数【例2】某校从参与高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成果(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，画出如图所示的频率分布直方图．视察图中的信息，回答下列问题：(1)估计这次考试的物理成果的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；(2)估计这次考试的物理成果的及格率(60分及以上为及格)和平均分．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．[跟进训练]2．某中学实行电脑学问竞赛，现将高一参赛学生的成果进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图．求：(1)成果的众数、中位数的估计值；(2)平均成果的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3平均数、中位数和众数的实际应用【例3】(源自湘教版教材)某公司全体职工的月工资如下：月工资/元18000120008000600040002500200015001200人数1(总经理)2(副总经理)34102022126(1)试求出该公司月工资数据中的众数、中位数和平均数；(2)你认为用平均数、中位数或众数中的哪一个更能反映该公司的工资水平？(3)对于职工月工资数据的平均数、中位数和众数，你认为该公司总经理、一般员工及应聘者将分别关注哪一个？说说你的理由．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平均数、中位数、众数应用问题的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在很多较大的极端值．[跟进训练]3．如表是五年级两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成果(单位：次)：一班1933262928333435333330二班2527292829302935293029(1)这两组数据的平均数，中位数和众数各是多少？(2)你认为哪个数表示两个班的成果更合适？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．(多选)在一次体育测试中，某班6名同学的成果(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96．关于这组数据，下列说法正确的是()A．众数是83 B．中位数是83C．极差是30 D．平均数是832．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的是()A．中位数可以精确地反映出总体的状况B．平均数可以精确地反映出总体的状况C．众数可以精确地反映出总体的状况D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能精确地反映出总体的状况3．已知一组数据按从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．4．某校从参与高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成果(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)这次测试数学成果的众数为________；(2)这次测试数学成果的中位数为________；(3)这次测试数学成果的平均分为________．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．在频率分布直方图中，如何确定众数、中位数和平均数？2．众数、中位数和平均数的各有哪些优缺点？9.2.3总体集中趋势的估计[必备学问·情境导学探新知]学问点1.(1)出现次数最多(2)中间中间(3)和思索1提示：不愿定．一组数据按大小依次排列后，假如有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；假如有偶数个数据，则中间两个数据的平均数是中位数．思索2提示：不愿定，数据的众数可能有一个，也可能有多个．2．(1)对称右边左边(2)最高相等横坐标面积课前自主体验(1)√(2)×(3)×[关键实力·合作探究释疑难]例1D[由题意得a＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝15710＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞跟进训练1．(1)A(2)①②③[(1)因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A.(2)把两组数据按从小到大的依次排列，得甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以①正确；乙中出现最多的数据是21，所以②正确；甲的平均数为x甲＝110×(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以③正确；甲的中位数为例2解：(1)众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数为m＝75.0.前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，所以中位数n＝70＋0.5-(2)依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以估计这次考试的物理成果的及格率是75%.利用组中值估算抽样学生的平均分为45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.所以估计这次考试的物理成果的平均分是71分．跟进训练2．解：(1)由图可知众数的估计值为65分．设中位数为x，又∵第一个小矩形的面积为0.3，则0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，得x＝65.∴中位数的估计值为65分．(2)依题意，平均成果为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)，∴平均成果的估计值为67分．例3解：(1)在上述80个数据中，2000出现了22次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是2000.把这80个数据按从小到大的依次排列后，位于中间的数是2000，2500，因此这组数据的中位数是2000+25002这组数据的平均数为x＝18000+12000×2+8000×(2)由于大多数员工的月工资达不到平均数3115，明显用平均数作为该公司员工月工资的代表值并不合适；众数2000及中位数2250在确定程度上代表了大多数人的工资水平，较能反映月工资水平的实际状况．(3)公司总经理最关切的是月工资的总额，所以他关注的是平均数；一般员工关注的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入处于什么样的水平；应聘者最想知道公司发给大多数员工的工资数额，这也是一般应聘者将会拿到的工资，因此应聘者关注的是该公司月工资的众数．跟进训练3．解：(1)一班平均数：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，所以一班中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次；二班平均数：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，所以二班的中位数是29次，29出现的次数最多，所以二班的众数是29次．(2)运用平均数表示两个班的成果更合适．[学习效果·课堂评估夯基础]1．ABC[由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A正确；把数据按从小到大排列为66，77，83，83，87，96，中间两个数为83，83，所以中位数是83，故B正确；极差是96－66＝30，故C正确；由于平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D错