高中数学：归纳不等式的求解方法

高中数学：归纳不等式的求解方法

不等式基本知识

0

基本性质

1a>b<^>b<a（对称性）；

②a>b,b>c,=a>c（传递性）；

3a>ba+c>b+c；

④a>b,c>0<=>ac>be；a>b,c<0ac<be.

2

运算性质

1a>b,c>dna+c>b+d（加法法则）；

②a>b>0,c>d>Onac>bd（乘法法贝lj）；

③4>力>0,〃£%,=>4”>//（乘方法则）；

④a>b>0,nwN、=q^>\!b（开方法则）.

常用不等式

q+6、/+久，、,.

①-------->(------)>ab

22

②苏+6匕2|"|,取等号条件：一正、二定、三相等；

3Ix4—1>2；

X

,.++-,入bb+m

4右。>6>0,m>0,—<-----；

aa+m

54+工+兀+•••+/之〃“X....x.（x,NO）.

不等式的证明方法

常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证

法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何

法、构造函数、数轴穿针法等。

比较法

【例1】若。>0,/)>0,求证：^-+幺24+6.

ab

证明：—~+——(ci+b)

ab

(a+b)(a)-ab+")

=-------------;--------------(a+b)

ab

(a+b)(a-bY'

=-------------------->U

ab

2

分析法

【例2】已知。，b,x,歹都是正实数，且求证:

ab

xy

----＞——.

a+xb-\-y

解：・.mb,x,y都是正实数一••要证上＞4,只

a+xb+y

要证x(b+y)＞y(4+.Y),即证也就是即

abab

工＞：,而由x＞儿知成立，原式得证.

ababab

3

综合法

【例3】设。，b,。均为正数，且。+"c=l,求证：

N3a+1+73b+1+J3c+143A/2^.

证明：:4,b,c均为正数，〃+b+c=l,

0<cr<LO</)<LO<c<1,

•.•万J3o+1<始任,V2•J3b+1<土艺,

22

42•底工T<主F以上三式相加得

短J3〃+1+J36+1+J3c+lj<6,

/.43a+1+N3b+1+J3c+1W3A/2.

【例4】设〃7EM，,且加v〃，求证：(1+—『v(l+-)"

wn

证明：

(1H=(1H)(1H)••,(!4),1•1•1•••1

mmmm

(1+)/w+lx(〃一加).

<[—强-------------r=(i+-y,

nn

m

・•・上述不等式中不能取等号，（i+'『v（i+L）”成立,

mn

式中乘了〃-〃7个1构成不等式.

数学归纳法

【例5】设管>-1,且〃£N,,求证(1+x)"21+〃x.

证明:(1)当〃=1时，(l+x)=l+l-x,不等式成立.

⑵假设当〃=AJwN,,时，不等式成立,即(1+外，1+奴,

那么当〃=%+1时,vx>-l,.\l+x>0,期NO,.•.由归纳假

设可得(1+x)"">(l+hr)(l+x)

=1+(〃+l)x+"'>l+(A+l)x

(l+xr>l+(^+l)x,即〃=A+l时，不等式也成立.

综合以上所述,对于任意只>-1,且〃wM，(l+x)"2l+〃x都成

立.

反证法

【例6】已知。，爪c都是小于1的正数，求证：

(1一4)力,(1-6)如(1-°)4中至少有一个不大于!.

4

证明：假设三个式子都大于L•.•〃，b,C都是小于1的

4

正数，「.’(1一4)〃>；,J(l-b)c

^0

______________3

从而yl(]-a)b+J(l-b)c+J(l-c)o>-,

但是yj(\-a)b+J(l-b)c+J(l-c)4

.(1_?+>+(1_?+。+(1_1+4=,与上式矛盾,故假设

2222

不成立，原命题成立.

类比法

【例7】已知函数/(X)=Q」+加:+c(Q>0)的图像与X轴有两

个不同的交点，若/(c)=0,且0<xvc时/(x)>0,当

c>l,Z>0时，求证：2+-^-+9>0.

r+2r+1t

证明：直接证明很困难，题中说到函数/(外的性质，那

么就要构造成类似/(x)的形式，即类比函数，

要证—+—+->0,即证^.―+z?._L+c>0,

/+2/+1tZ+2Z+l

•••」一>('『且1>0,

r+2t+\

a•—+b•—+c>4•(-^—)2+b•(―^—)+c=/(―^—),

t+2r+1t+v)+1r+r

而0<—^―<!<(?/./(-^―)>0,—^―++->0,命题得

/+1，+1z+2,+1t

证.

7

放缩法

常用放缩公式：

:1/+1—y!~nv—T=V—J〃—1,

11111

②H----------<—<-----------,

nn+1n'n-1n

/q+〃7a.八八、

3----->—(z/?>n>0,m>0)；

b+加b

④〃!>2"23)；

⑤〃个正数q，生，区…〃之2,

有6+生+凡+…+凡y,

当且仅当q=%=4=…二见时等号成立；

@\a\-\b\<\a±b\<\a\+\b\；

7ln(x+1)<x(x=0,ln(x+l)=x)；

⑧二项式定理展开式m+by=c：+C+C:+u+…+u

⑨(l+x『>l+3x(x>0).

［例8］已知正项数列｛oj满足q=（7（0<67<1）,且见<—^

1+4n

(1)求证：a<---；(2)t—<1.

"1+(〃-l)c/T^k+\

证明：(1)V67„+1<-^,

1+见见M外

11,1,1,

—之-----F12----F22…2—-1=---------

/.a<---------

"\+(n-l)a

⑵aaa1

an<---------=--------<—=——

1++1—〃nan

----------1-------------F•••H-----------------

1x22x3n(n+1)

]—B■■-fa*・・・一»，

223nn+1

n+1

命题得证.

换元法

常用换元方法：

①若可设x=〃cosa,y=4sina,ae[0,2^)；

2若二+'2=1,可设x=icosa,y=6sina,aG[0,2^)；

a2b2.

3对于Jl-x',可设x=cosa,(aw[0,〃]),

r•/「兀TCi

或x=sina,(ae[——，一])；

4对于Jl+x\可设x=tan+或x=cota；

⑤对于LL可设x=sec6/°£x=csccr；

6若优，可设x二尸cosa,y=sina,0<|r\<a.

【例9】已知。，bwR,"+不<4,求证：|3a2-Sab-3b21<20.

证明：设Q=〃cosa,b=rsin«(cre/?),其中OV〃V2,

.••原式可转化为r213cos2a—8sinacosa-3sin2a|

=rz13cos2a-4sin2。|

二5/|cos(2a+0)|,

*/0<|cos(2a+e)区1,二.原式K5r?<20,/.原不等式成立.

判别式法

【例10］求证：

2x2+l2

证明：设7则(l-y)Y+x+l-y=0,定义

x+1

域为R,

当y=l时，工=0是定义域中的一个值，，歹=1是值域中的一

个值；

13

当时，由A=l—4(1—V)20,得5工》二5(»工1)；

综上所述屋口孚V。成立.

2x2+12

推论：判别式法证明对形如

aK4J+，3士4一W6(%,%，0,xwA)具有一般性.

a^Zx'+b2,x+ca

10

导数法(单调性)

【例ID已知各项均为正数的数列mj的前〃项和s“满足

R>1,且6s.=(4+1)(见+2),nwN,,

(1)求｛q｝的通项公式；

(2)设数列出｝满足见(2-1)=1,并记乙为也｝的前〃项和，

求证:37；+1>log2(a+3),neN、.

解：(1)«=S|=；(©+1)(e+1),/.q=1,2,由已知

0

=S、>1,・・6=2,

又：，=2"—S.=:[(%+1)(/+2)-(巩+1)(见+2)],

6

得0M-4=3,q用=凡(舍去)

.•.SJ是公差为3,首项为2的等差数列，故也｝通项公式为

=3/7-1.

,13〃

(2)由%(2-)=1,解得^=log2(l+-)=log2-^-

T入入卜AI/3693〃

:1=b+b+b^--+b=log(---),

{2n22583〃-1

3r+l-log2K4-3)=log2[(1|...4)、

253w-l3〃+2

人乙、/363〃、32

253〃-13/7+2

贝IJ/(〃+1)=3〃+23〃+3:=(3〃+3),

构造函数法

【例12】对于函数〃x),若存在工£心使/(x0)=x。成立，

则称/为/*)的不动点，如果函数/(外==^(6,CEN,)有

bx-c

且仅有两个不动点0,2,且/(-2)v-g.

(1)试求函数/(X)的单调区间；

(2)已知各项不为零的数列〃｝满足4Sj/(')=l,求证：

4

1,w+11

------<ln------<——；

，n凡

(3)设6T为数列也｝的前〃项和，求证：

7^-l<ln2008<7^.

X+Q

解：(1)令/(幻二:----=x^:.(1-b)x+cx+a=0,由

bx-c

已知0,2时方程的两根，.•.1一6工0,x1x2=a=0,

「.4=0,xl+x2=2=C,c=2b—2>0,

b—\

-41

,:b,c>0,:.b>1,/(-2)=---------<一一,

2b+c2

/.8>4/?-2,/.0</?<-,

2

・・)=2,c=2,==令八对>0得

2x-22(x-1)

（2）/（-）=Y^

凡2。“（1一见?）

）

4S"d=l-.2S.=…,2S,=a.-a:,

n^\zr+1M+I

%

两式做差得见「巴=-1.

.,•数列是以-1为公差，-1为首项的等差数列,

要证原式，即证一二＜m四＜』,

n+1nn

——V

令/二一，函数g(x)=ln(x+l)—x,g\x)=-——<0,递减

n14-x

g(x)<Ini=0,/.g(x)<0,ln(l+x)<x,,

nixnn

、./?+!11.〃+l1

同理可证ln(------)>------,，-------<In------<------.

〃〃+1%nan

(3)由⑵得“川<【n吐llnSv”,

nn

7's-l<ln^^+ln^^+.--H-ln2-l=ln2008-l<ln2008.

2颂20072006

2008T陋

>Inhi+…+ln2=In2008

20072006

心一1<姑2008<盘7.

12

数轴穿针法

【例13】求解不等式一(%-8)(x-9)<.

(x+6)(x+7)

解：原不等式等价于(x—4『(x—8)(x—9)(x+6)(x+7)v0

根分别为-6,-748,9在数轴上标出这些值，考虑到4对应的

为偶次鬲，所以不穿过.其结果如图

在数轴上方的为大于0的解，下方的为小于0的解，因此不

等式的解为&|-7<x<-6,或8Vxe9}.

含绝对值不等式的解法

分类讨论

【例1】求|£—3|>2x的解集.

解：①当炉-320时,有或xW-Q此时原式即

为X，—2.丫-3=(工一3)1+1)>0.解得工>3或工<一1,与工2、目,

或xW-△求交集得解1>3或xW-VL

②当£一3<0时，W-V3<X<A/3,原式即为

£+2x-3=d)(x+3)vO,解得-3Vx<1,与-

求交集得-V5<x<1.

综上①②所述，原不等式解集为卜卜<1或、>3}.

21

两边平方法(承接例1)

①当x20时，原不等式可化为

(x2-3)2>4£=£-10E+9>0分解因式得

(x-3)(x+3)(x-l)(x+1)>0,所以x>3或不<-3或-lvx<I,

故x>3或0Wx<1.

②，当xvO时，原不等式恒成立.

综合①(2可得解集为{很<1垢>3}.

3

图像法

令K=|x?-3|,g=2x,分别在坐标轴上画出两者的图像，解

方程|x2-3|=2x可得％=1,占=3从图像可得不等式的解为

“|》<1或1>3},y=\x2-3.

等价转化法（承接例1）

原不等式等价于/-3>2》或£-3v-2x,「.XA3或x<-l或

-3<x<l,.•.不等式解集为*|x<l或x>3}.

15

运用线性规划求解

【例2】/(x)=J(q+2)£++〃+2(q,bwA)的定义域为火,

则3〃+力的取值范围？

‘6+24+420

。+220

解：由已知=<b-2ci—4<0

A<0

ci2-2

以(。，"为横纵坐标轴，画出其可行域，令z=3o+6,可知

直线b=-3a+z经过(-2,0)时有最小值-6,3〃+62-6.

运用绝对值的几何意义

【例3】对任意实数仕不等式|X+1|-|工-2|>左恒成立，求

%的取值范围.

解：|x+l|-|x-2|的几何意义是x到—1的距离减去到2

的距离,由数轴可知,|x+l|-|x-2|>-3,.-^<-3.

x-12x

▼

含参一元二次不等式例解

含有参数的不等式应用的比较多的是分类讨论思想，①其思

路是一般先将式子因式分解或分解因式或分母有理化，然后

再结合参数对称轴、判别式、根的正负进行讨论；②当无法

进行因式分解的时候多涉及对称轴或者利用导数求解，下面

结合例题解析。

二次项不含参数

【例1】解关于X的不等式：£+（加-1口-加>0.

解：原不等式可化为（X+〃7）（X-1）>。，这里有两个根：

-mA,此时需要讨论两根的大小.

1当一团>1,即m<一1时，解为X<I；

②当一加vl,即加>一1时，解为x>l,x<-m；

3-m=1,即阳=一1时，解为xwl；

综合①O③知〃7〈-1时，｛x|x>-〃?或x<l｝；

〃7=-1时，｛X\X^V（；

加>一1时，｛X|工>1或工<一〃7｝.

【例2】解关于X的不等式：/+（。-1口+4>0

解：此时显然无法因式分解，因此通过判别式来解，

A=（q-l『-4〃=7-6a+i

1当A>0,即q>2行+3或q<3-2后时，不等式有两个根

—（67—1）4-J-，-6〃+1—（67—1）—J."-6a+1解为

2，XL2，

X>xlt或；

②当AvO,即3-2&<”3+2&,此时不等式恒成立；

3当△=（）,即Q=3—2\Q或4=3+27“2时，解为xw、巧一1,

或xw—（&+1）.

3—2V^<4<3+2、5时@|x£A}；

4=3-2/时,{x|xw行-1}；q=3+2、/Q时，

{x|xw-(a+l)}.

【例3】解关于X的不等式：/+at+l>O(xNO)

解：①x=0时，不等式成立，此时。

②》>0时,原不等式可化为4>一(工+1),工+工22,当工=」=1

XXX

时立，xH—W—2,a>—2.

X

综合①②得{。|4>-2}.

2

二次项含参数

【例4】解关于x的不等式：6+2x+l>0

解：”0时，解为；

。工0时，A=4-4。；

①A>0即时，解为5|'>一""^或x<二।匚叵｝；

aa

②A<0,即时，不等式恒成立；

3A=0,即4=1时｛x|xw-l｝；

综上所述4=0时，解为｛X|X>-；｝；

"1时，解为或》<±^生与；4=1时

aa

｛x\x^-\].

【例5】解关于X的不等式：&-m+l）x+l>0.

解：4=0时，x<l；

q工0时，

（1）4>0时，原不等式可化为（a丫-1）（工-1）>0,此时有两

根;

a

①一>LOva<l时,解为｛x[x>—,或x〈1｝；

(2)〃<0时，原不等式可化为(-G+D(X-1)<0,解为

｛xI—<X<1｝.

a

综上所述：4<0时，｛x|-<x<l｝；

a

4=0时，U|X<1｝；

0<4<1时，｛X|X>—,或X<1｝；4=1时&|XW1｝；

a

4>|时，｛xIX>1,或X<—｝.

a

【例6】解关于x的不等式：ax~-lax4-1>0

解：4=0时，不等式恒成立；

〃>0时，A=4a'-4a,

1A>0,即4>1时，+-4或-、/

②A=0,即。=1时，x1；

③A<0,即0<4<1时，不等式恒成立；

4Vo时，不等式化为(-a)x-+lax-l<0,A=4/-4a>0,

此时解为1一Na:-a<x<1+Na-a.

综上所述：OVavl时,｛x|xe/?);

。>1时，｛xIx>1+yla-a或x<1-yja-a｝；

不等式恒成立问题

恒成立问题的基本类型

类型工：设"工)="2+bx+c(a+O),(l)/(x)>0在x£A上也

成立=〃〉0且△<()；

(2)/(x)<0在xGR上恒成立<=>a<0且A<0.

类型2：设/(戈)=。/+笈+。(〃工())，(1)当〃>0时，

f(X)>04xe[a,切上恒成立

bb

1<(ya<-----

=<2a或2a

/(«)>()[A<0[/(/)>o

/(«)<o

/(幻<()在工£口，切上恒成立U>

/(/)<0

/(。)>(

(2)当。<()时,/(x)>0fee[cr,夕]上恒成立<=>

/(x)<04xe[a,夕]上恒成立

W)<0

类型3：

f(x)>a对一切xe/恒成立<=>f(x)mn>a

f(x)<a对一切xe/恒成立u>/(x)…>a.

类型4：/(X)>g(x)对一切X£/恒成立O/(x)的图像在g(A

的图像的上方或fmm(x)>gmJx).

恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问

题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合

等解题方法求解。

21

利用判别式解

【例1】已知在恒有£-奴+1>0,求4的取值范围.

解：原式等价于A="-4<O,「.-2V4<2.

【例2】工£凡恒有心-x+l>0,求。的取值范围.

解：原不等式等价于q>0,A=I-4e?<0»^7>—.

4

或解：①x=0时，不等式成立；

②"0时，不等式化为。>