高中数学：2 .3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

一、直线与平面垂直的判定

i.直线与平面垂直

如果直线1与平面«内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相

定义

看门.

记法l-La

有关直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面.直线与平面垂直时，它

概念们唯一的公共点P叫做垂足..

1

图小上p7

画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

（1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义

语.

（2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.

（3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内

的任意一条直线.

2.直线与平面垂直的判定定理

文字一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面

语言垂直

图形

语言

符号

l-Lbfbua,_a(>\b=P_=>/±a

陪音

作用判断直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直.通

常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”.因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决.也

就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂

直即可.

(2)在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相

交直线垂直，而不是任意的两条直线.

3.直线和平面所成的角

(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线,

斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫

做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线

和这个平面所成的角.

(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90'—：一条直线和平面平行，或

在平面内，我们说它们所成的角等于0,因此，直线与平面所成的角a的范围是一0。＜a49()

二、平面与平面垂直的判定

1.二面角

平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两

概

个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二

念

面角的面

图

示

1

在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的

文字

射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角

面

角

的图示

平

1

面

符号OAca,OBup,加。=1,0^1,OA±l,08_L/=/AOB是二面角的平面角

角

范围[0,K]

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个

规定

二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角

面

棱为/,面分别为a,夕的二面角记为一一.如图所示，也可在a,夕内

角

的(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-/-。

大

小

记法

及

记

法

1

【温馨提示】二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一

个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角的大小反映了两个相交平

面的位置关系.

知识剖析

(1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关.

(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面

与棱垂直.

2.平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平

面a与平面用垂直，记作

(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.

3.平面与平面垂直的判定定理

文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

Bi~~

图形语言

符号语言/J_a,—1u/3—=a-L4

作用判断两平面垂直一

【温馨提示】平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平

面垂直.通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直.因此处理面面垂直问题（即空间问题）

转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题（即平面问题）来解决.

三、直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行_

a-La]一

符号语言\^a//b

hLa

ab

图形语言

(1)证明两直线平行；

作用

(2)构造平行线

【温馨提示】直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直,

则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系.

直线与平面垂直的性质

IVaa.La“a//b

(1)>=>I-Lb1；(2)>a//h；(3)

buabVaaA^a

a//(3\10、a.La

(4)>na.L/3；(5)>=>a〃0

aS_aa工B

四、平面与平面垂直的性质定理

文字两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线一的直线与另一个平面垂

语言直

a1/3

符号aC/3=l

aua,a_L/>=>ci.L/3

语言

a

图形a

语言LZJ

作用证明直线与平面垂直

【温馨提示】平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直,

则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系.

垂直关系之间的相互转化

平面几何的定理

线线垂宜

面面垂直性质定理

线面垂直|面面垂直

面面垂直判定定理

1.线面垂直判定定理的应用

证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明

线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边的角平分线、中线、高；菱形、正方形的对角线、三

角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.

【例1】如图，在△ABC中，ZABC=W°,。是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点,

且&4=SB=SC.

(1)求证：SO,平面A8C；(2)若A8=BC,求证：8。，平面S4C.

2.面面垂直判定定理的应用

证明平面与平面垂直的方法:

面定区运

面证明平面角为直角

垂

直

在一个面内找另一个面的垂线

【例2】如图，四棱锥5—ABC。中，四边形A8CD为菱形，SD=SB.

s

(1)求证：平面SAUL平面SBQ；(2)求证：平面SAC_L平面4BCZX

3.直线与平面所成的角

求直线与平面所成的角的方法：

(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足

得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某

个三角形中，通过解三角形，求出该角.

(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的

关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心

等.

［例3］在三棱锥P-48c中，P4_L平面ABC,PB=PC=2,LAPB=LAPC=30°,BC=&,如

图所示.

(1)证明：ABLPC,(2)求融与平面PBC所成角的正弦值.

(2)由(1)知A3、AC.AP两两垂直，

如图，取BC的中点E,连接AE、PE,过A作PE的垂线，尸为垂足，

由A3=AC=1得3C_LAE,又由R4,平面ABC,得则8C_L平面Q4E,

于是Af'_L6C,故A/_L平面P8C,则Z4PE就是直线AP与平面P8C所成的角.

在△M；中，AE=-BC=—,PE=^JAP2+AE2=—

222

则sinNAPE=丝=立.即P4与平面PBC所成角的正弦值为立

PE77

4.二面角

求二面角大小的步骤:

简称为“一作二证三求”.作平面角时，一定要注意顶点的选择.

【例4】已知AB8是正方形，E是48的中点，将AQAE和△C8E分别沿。&CE折起,

使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P,那么二面角尸一C£＞一E的大小为30°

5.垂直的综合应用

［例5］如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，

NAOC=45,4。=4。=1,0为4。的中点，平面ABC。，PO=2,M为尸。的中点.

A

【例6】如图，己知三棱锥尸一ABC,ZACB=90°,CB=4,AB=20,。为A8的中点，且△尸。8

是正三角形，PAVPC.

(1)求证：平面B4CJ_平面ABC；

(2)求二面角。一AP—C的正弦值；

(3)若M为PB的中点，求三棱锥M-BC。的体积.

6.直线与平面垂直的性质定理的应用

线面垂直的性质定理、公理4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、

面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行.

【例7】如图，正方体4BiCid-A8C£＞中，EF与异面直线AC,AQ都垂直相交.求证：EF

7.平面与平面垂直的性质定理的应用

在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过

其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.

【例8】已知：a±y,aC\/3—l.求证：/±y.

【解析】证法1：在y内取一点P,作物垂直a与y的交线于A,作PB垂直£与y的交线于8,

Va±y,叫,则以_La,PBL}•：l=aC0,：.l±PA,l_LPB,•以与PB相交，又附uy,

PBuy,.'.l±y.

证法2：在a内作直线垂直于a与y的交线，在夕内作直线〃垂直于夕与》的交线，

夕J_y,C.mVy,〃_Ly,

'.m//n,又〃u"，.'.m//P，又〃?ua,aPl夕=/,.,.m//1,

8.平面与平面垂直的性质定理的应用

【例9】如图，a//b,点尸在所确定的平面y外，Q4_La于点A，A3上力于点B.求

证：PBlh.

【错解】因为Q4_La,a//b,所以所以P4J_y,所以PBLZ?.

【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由得

PAA-Y，而忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即

【正解】因为PA_La,a〃>,所以PA_LZ?.

又A8_Lb,/>An43=A,所以匕，平面

因为PBu平面P4B,所以P3_L6.

9.不能正确找出二面角的平面角

【例10］如图，在四棱锥P—ABCO中，底面ABCD为平行四边形，出，平面ABCD,且PA=6,

AB=1,BC=2,AC=6求二面角「一OB的大小.

【错解】如图，过A在底面ABC。内作AEL8于E,连接尸E.

平面ABC。，C£>u平面ABC。，：.PA1CD.

又：必DAE=A,，C£)J•平面以E.

又,.•PEu平面以E,J.CDLPE,

：.APEA为二面角P-CD-B的平面角.

（以下略）

【错因分析】点E的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按三垂线法直接作出.在

找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角.

【正解】AB=1,BC=2,AC=C,...BC2=AB2+AC2,ZBAC=90°,

：.ZACD=90°,即ACJLCD.

又：以_L平面ABC。，CDu平面ABC。，：.PALCD.

又：hDAC=A,；.CO_L平面布C.

又：PCu平面雨C,：.PCVCD,

.♦.NPCA是二面角P—CD—2的平面角.

•在RtZ\PAC中，PA±AC,PA=V3,,AZPCA=45°.

故二面角P-CD-B的大小为45°.

10.定理的条件不全导致判断不准确

【例11］已知两个平面垂直，下列命题：

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.

其中正确命题的个数是（C）

A.3B.2C.1D.0

【错解】由面面垂直的性质可知，②④正确，故选B.

【错因分析】④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内.

【正解】如图，在正方体ABC。—44GA中，对于①，△。匚平面明。。，

8£>u平面ABC。，与3D是异面直线，且夹角为60。，故①错误：②正确；

对于③，A^u平面A4QQ,但不垂直于平面ABCD,故③错误；

对于④，过平面44,9。内的点A,作AC，因为A£）,平面OQCG，

9。（=平面2。。q,所以AD，£>C，但不垂直于平面ABC。，故④错误.

所以正确命题的个数是1.故选C.

0】A

4----------B

基础测试

1.如图，已知四棱锥P-48CD中，己知PA_L底面ABC。,且底面ABC。为矩形，则下列结论中错

误的是(C)

A.平面PAB_L平面P4Z)B.平面PAB_L平面P3C

C.PBCmPCDD.平面PCD_L平面PAO

2.如图，平行四边形A8C£＞中，AB1BD,沿BO将△ABO折起到480,使面48。_L面BCD,

连接4C,则在四面体ABC。的四个面中，互相垂直的平面有(C)

①面A3。_L面BCZ)；②面4C£>_L面A8O；③面4BC_L面3CZ)；④面ACD_L面A8C.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.设平面aC平面尸=/,点A,BCa,点CC夕，且4,B,C均不在直线/上，给出四个命题:

ILABIA.ACa"]

①>=»a_L/f；②=a_L平面ABC；③n/_L平面ABC；④AB〃0I

l±ACIA.BCAB1BC]

〃平面ABC.其中正确的命题是(D)

A.①与②B.②与③C.①与③D.②与④

4.设/，机是两条不同的直线，a,“是两个不同的平面，则下列命题正确的是(D)

A.若/_!_〃?，〃?=aC夕，则/_LaB.若/〃〃?，m=aC\^,则/〃a

C.若a〃夕，/与a所成的角相等，则/〃加D.若/〃〃?，/±a,a〃夕，则，

5.如图所示，PO_L平面ABC,BOLAC,在图中与AC垂直的线段有(D)

6.如图所示，POJ_平面ABC,BOLAC,在图中与AC垂直的直线有4条.

7.已知△ABC中/ACB=90°,SA_L面ABC,ADA.SC,

'：ZACB=90°,：.BC±AC,又•.•54_1面ABC,

：.SALBC,ABCl®SAC,：.BC1AD,

又；SCJ_A力，SCCBC=C,.,.AOI.面SBC.

AOu平面AO8,贝ij平面AO81.平面SBC.

8.如图A8C£＞是正方形，「。，面人比。，PD=DC,E是尸C的中点.求证：

9.如图，在三棱锥A-BCD中，AB±¥ffiBCD,CDLBD.求证：CDJ_平面ABD

三棱锥A-BCD中，A8_L平面BCD,且CDu平面BCD,：.AB1.CD；又CD1BD,A8u平面

ABD,8Ou平面AB£),且A8n8/)=8,COL平面A8/).

能力

10.已知两条直线a,6与三个平面a,p,Y，下列条件中能推出a〃尸的是(D)

A.aua,bua,a//p,b//PB.a±y,且夕_Ly

C.“ua,bua,a//bD.a±a,且a_L£

11.在三棱锥P-ABC中，不能推出平面PAC_L平面P8C的条件是(C)

A.BCA.PA,BC-LPCB.ACLPB,AC.LPC

C.ACLBC,PA1PBD.平面PAC_L平面ABC,BC±AC

12.如图所示，已知PA垂直于△ABC所在平面，且NACB=90。，连结PB、PC,则图形中互相垂

直的平面有(C)

A.一对B.两对D.四对

13.如图，四边形ABCQ是边长为2的正方形，aABE为等腰三角形，AE=BE,平面ABC。，平面

ABE,点尸在CE上，目.8尸_1_平面ACE.

(1)证明：平面4£>E_L平面BCE；(2)求点。到平面ACE的距离.

14.如图，四棱锥P-ABCQ的底面ABC。是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，且PAL

AB,PAA.PC.证明：平面PAO_L平面POC.

15.如图，空间四边形P48C中，PB_L底面ABC,NB4C=90。；过点B作BE,8尸分别垂直于AP,

CP于点E,F.(1)求证：AC_L面尸AB；(2)求证：PCVEF.

(1):尸B_L底面ABC,ACu平面ABC,：.PB±AC,

XVZBAC=90°,：.AC±AB,XPBHAB=B,.,.ZlClffiPAB；

(2)由(1)的结论，由8Eu平面PA8,

J.ACA-BE,又由BE1AP,ACOAP-A,

平面PAC,：.BELPC.

■：BF1.PC,BFCBE=B,；.PC_L平面BEf,：.PCLEF.

16.在正方体ABC。一44CQI中，E为棱CD的中点，则（C）

A.AE_L£）GB.A}ELBDC.\ELBCyD.AiEl.AC

17.如图，已知正四面体O-ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P,Q,R分别为AB,BC,CA

上的点，AP=PB,黑=詈=2,分别记二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为a,

B，中则（B）

B

A.y<a</3B.a<y</3C.a<fl<yD./3<y<a

18.在平行六面体ABC£>-ABC2中，AAt=AB,AB,lBlCl.

求证：平面AB屁A±平面ABC.

在平行六面体A8S-48IG£>I中，四边形为平行四边形.

又因为A4i=A8,所以四边形为菱形，因此48|_L4B.

又因为A8|_LBiG，BC//BG，所以ABi_LBC.

又因为AiBCBC=8,A山u平面ABC,BCu平面4BC,

所以A8i_L平面48c.

因为A8u平面ABBiA\,所以平面A88i4_L平面48c.

19.如图，在四棱锥/MBC。中，底面A8CO为矩形，平面PA£）_L平面A8CD,PA1.PD,PA=PD,

E,尸分别为A。，PB的中点.

(1)求证：PELBC-,(2)求证：平面平面PC。；(3)求证：EF〃平面PCD.

20.如图，在平行四边形ABCW中，AB=AC=3,ZACM=9O°,以AC为折痕将4ACM折起,

使点M到达点。的位置，且

证明：平面ACD，平面ABC；

由己知可得，Za4C=90°,BA±AC.

5LBALAD,所以AB_L平面ACD

又A8u平面ABC,所以平面ACQ_L平面ABC.

21.如图，在三棱锥尸-ABC中，AB=BC=2叵,PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.证

明：PO_L平面ABC.

22.如图，在三棱锥A-BC£>中，ABA.AD,BC_LBD,平面ABO,平面BCD,点、E,F(E

与A,。不重合)分别在棱AO,BD上,且EFJ_A£>.

求证：(1)EF〃平面ABC；(2)AD1AC.

(1)在平面ABO内，因为EFA.AD，所以砂〃A5.

又因为EFU平面ABC,ABu平面ABC,所以EF〃平面ABC.

(2)因为平面ABDL平面BCD,平面ABOD平面BCD=BD,

5Cu平面8CD,BC1BD,所以8C_L平面ABO.

因为AOu平面ABO，所以8C_LAO.

又ABJ_AO,BCC\AB^B,

ABu平面ABC,BCu平面ABC,

所以4O_L平面A8C,

又因为ACu平面A8C,所以ADLAC.

23.如图，四面体ABC。中，AABC是正三角形，AACD是直角三角形，NABD=NCBD,AB=BD.证

明：平面ACQ_L平面ABC.

24.由四棱柱ABCQ-A山截去三棱锥G-BC2后得到的几何体如图所示，四边形ABCQ为正

方形，。为AC与8。的交点，E为AO的中点，4E_L平