2023-2024学年陕西省西中教育联合体高一年级第二学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年陕西省西中教育联合体高一年级第二学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知1−iz=6，则z=(

)A.−3−i B.3−i C.−3+3i D.3+3i2.已知向量a=(1,3)，b=(λ,−6)，若a/​/b，则A.−2 B.−18 C.2 D.183.已知▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=16，b=8，A=60∘，则cosB=A.−134 B.134 4.已知两条直线l，m与两个平面α，β，下列命题正确的是(

)A.若l//α，l⊥m，则m⊥α B.若α//β，m//α，则m//β

C.若l//α，m//α，则l//m D.若l⊥α，l//β，则α⊥β5.已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|=2，b=(−1,3)，则A.(32,12) B.6.三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为13，13，14，假设他们能否破译出密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为A.13 B.23 C.1367.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力。“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(

)

A.2530π B.3016π C.3824π D.4350π二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.下列说法错误的是(

)A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间部分所围成的几何体是棱台

C.边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图面积是2

D.9.西安中学培养的学生德才兼备、全面发展，在学生处和校团委领导下的各个社团，积极开展各项活动，其中甲、乙两个社团为了钠新，利用7天的时间进行宣传，将每天宣传次数绘制成如下频数分布折线图(其中前三天宣传次数相同)，则下列说法正确的是(

)

A.甲社团众数小于乙社团众数 B.甲社团的平均数小于乙社团的平均数

C.甲社团的极差大于乙社团的极差 D.甲社团的方差大于乙社团的方差10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是(

)．A.若A=30∘，b=4，a=3，则△ABC有两解

B.若A=60∘，a=2，则△ABC的面积最大值为23

C.若a=4，b=5，c=6，则△ABC外接圆半径为811.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体.已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是AD=BC=4，AB=CD=25，AC=BD=27A.该四面体ABCD的体积是1633

B.该四面体ABCD的外接球表面积是32π

C.∠BAC+∠CAD+∠DAB<π

D.一动点P从点B出发沿四面体ABCD的表面经过棱AD到点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。12.以下数据为某校参加数学竞赛的19人的成绩：66，69，70，72，75，77，78，79，80，81，82，83，84，86，88，90，91，94，98，则这19人成绩的第80百分位数是

．13.一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距20海里的灯塔恰好与该船同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是______海里/小时．14.一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球的编号和不大于5的概率为_________．15.佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为_________．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2b=2acos(1)求角A；(2)若a=10，▵ABC的面积为83，求▵ABC17.(本小题12分)

人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用，某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务.某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表.”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95)，[95,105](单位：秒)这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．

(1)求图中a的值;(2)估计该用户红灯等待时间的中位数(结果精确到0.1);(3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．

(1)求证：AM⊥平面CDP；(2)求直线BP与底面ABCD所成角的正弦值．19.(本小题12分)甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛．比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题．在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分．已知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响．设定甲、乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分．已知在一次比赛中甲得2分的概率为12，乙得5分的概率为1(1)求p，q的值；(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率．20.(本小题12分)

如图，AB是半球的直径，O为球心，AB=4，M、N依次是半圆AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且PN⊥MB，

(1)证明：平面PBM⊥平面PON；

(2)若点P在底面圆内的射影恰在BM上，求二面角A−PB−N的余弦值．

参考答案1.D

2.A

3.B

4.D

5.D

6.B

7.A

8.AB

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.90

13.20(14.41515.616.解：(1)在△ABC中，2b=2acosC+c，

由正弦定理得2sinB=2sinAcosC+sinC，

则2sin(A+C)=2sinAcosC+sinC，即2(sinAcosC+cosAsinC)=2sinAcosC+sinC，

整理得2cosAsinC=sinC，

又C∈(0,π)，sinC>0，则cosA=12，

又A∈(0,π)，则A=π3；

(2)由(1)得A=π3，△ABC的面积为83，则S△ABC=12bcsinπ3=34bc=8317.解：(1)因为各组频率之和为1，组距为10，所以10×(0.01+0.025+a+0.02+0.01)=1，

解得a=0.035；

(2)设中位数为x，则0.1+0.25+0.035(x−75)=0.5，

解得x=75+0.150.035≈79.3，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3；

(3)红灯等待时间低于85秒的频率为0.1+0.25+0.35=0.7，

估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为18.(1)证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM，所以△PAD是正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD，又CD∩PD=D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，

所以AM⊥平面PCD；(2)解：取AD的中点E，连接BE，EP．

同(1)理：EP⊥平面ABCD，则∠EBP是所求直线与平面所成角．

不妨设AD=2a，则在正△ADP中，EP=3a;

在Rt△ABE中，BE=AE2+AB2=5a;

在Rt△BEP中，

19.解：(1)设A0，A2，A3，A5分别表示在一次比赛中甲得0分，2分，3分，5分的事件，

B0，B2，B3，B5分别表示在一次比赛中乙得0分，2分，3分，5分的事件，

因为在一次比赛中甲得2分的概率为12，乙得5分的概率为16，

所以P(A2)=p(1−q)=12,P(B5)=pq=16,

解得p=23，q=14．

(2)由已知得P(A0)=P(B0)=1−23×1−120.解：(1)证明：M、N依次是半圆AB上的两个三等分点，

连ON，则△OBN是正三角形，根据等弧所对的圆周角相等，得BM平分∠ABN，则ON⊥MB，

又PN⊥MB，且ON∩PN=N，ON⊂平面PON，PN⊂平面PON，

所以MB⊥平面PON，

又MB⊂平面PMB，

故平面PBM⊥平面PON；

(2)设G是MB与ON的交点，连PG．

因为△BON是正三角形，ON⊥MB，则G为ON中点．

由于点P在底面圆内的射影恰在BM上，

即平面PBG⊥平面BON，