2023-2024学年重庆市九龙坡区渝西中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市九龙坡区渝西中学高二（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“∀x∈R，x2∈Q”的否定是(

)A.∀x∈R，x2∉Q B.∃x∈R，x2∉Q

C.∃x∈R，x22.集合A={a,a2+1,1}，B={2a}，若B⊆A，则实数a=A.−1 B.0 C.12 D.3.已知a−b∈[5,27]，a+b∈[6,30]，则7a−5b的取值范围是(

)A.[−24,192] B.[−24,252] C.[36,252] D.[36,192]4.已知变量x，γ呈线性相关关系，回归方程为y=−x+a，且变量x，x−2−1012y54m21据此计算出在x=3时，预测值为−0.2，则m的值为(

)A.3 B.2.8 C.2 D.15.已知实数a>b>0>c>d，则下列不等式中一定正确的有(

)A.ln(a−c)>0 B.ad>bc

C.ca>6.已知偶函数f(x)在(0,2)上单调递减，则a=f(20.1),b=f(logA.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a7.把二项式(x+1x)8的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为pA.5 B.15 C.4 D.8.对于正数a，b，有(2ab+1)(a+b)=6ab，则a+b的取值范围是(

)A.(0,1] B.[1,3] C.[1,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即X∼N(2,1)，Y∼B(4,12)，则A.P(X⩽2)=12 B.E(X)=E(Y) C.D(X)=D(Y) 10.已知p：函数f(x)=kx2−3x+k的定义域为R，则A.k≥0或k≤−32 B.k≥32 C.11.已知f(x)=ax2+x,g(x)=1−cosx2+sinx，若对∀x1≥1A.函数g(x)的最小值为0

B.当a<0时，f(x)>0的解集为(−1a,0)

C.实数a的取值范围是(−∞,−1]

D.实数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=3x4−x13.2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是______．14.设f(x)是定义在R上的单调增函数，且满足f(−1−x)+f(x)=−7，若对于任意非零实数x都有f[f(x)+1f(x)+3−x−1x+2]=−4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3=5，S3=a5．

(1)求数列{an}的通项公式；

16.(本小题15分)

新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了28.2%，提前三年超过了“十四五”预定的20%的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1−10月，我国新能源汽车渗透率如下表：月份代码x12345678910渗透率y%29323432333436363638(1)假设自2023年1月起的第x个月的新能源渗透率为y%，试求y关于x的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率；

(2)为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价10%支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以(1)中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为X万元，求X的分布列和期望．

附：一组数据(x1,y1)，(x2,y17.(本小题15分)

2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，有A，B，C，…，J共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”．优秀人数非优秀人数合计训练前训练后合计(1)将上面的列联表补充完整，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与训练是否有关？并说明原因；

(2)从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；

(3)跳水员A将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中，跳水员A在每个高度中达到“优秀”的概率均为13，每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员A在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

附：χ2=n(ad−bcα0.050.010.0050.001x3.8416.6357.87910.82818.(本小题17分)

已知函数f(x)=xlnx−ax+2，g(x)=(x−4)ex−2，a∈R．

(1)当x∈[1,e]时，讨论f(x)的单调性；

(2)若曲线y=g(x)在点(2,g(2))处的切线与曲线y=f(x)也相切，求实数a的值；

(3)若不等式f(x)+g(x)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范围.(e=2.71828…为自然对数的底数19.(本小题17分)

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1和F2，O为椭圆的中心，过F1作直线l1、l2，分别交椭圆C于A、B和C、D，且|AB|的最大值为26，|CD|的最小值为263．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设线段AB、CD的中点分别为M、N，记△OMN的面积为S参考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.D

6.C

7.A

8.C

9.ABC

10.AB

11.AD

12.[1,4)

13.36

14.2021

15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1+2d=53a1+3d=a1+4d，

解得a1=1d=2，故an16.解：(1)计算得x−=5.5，y−=34，

i=110xiyi=1936，i=110xi2=385，

b=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2=1936−10×5.5×34385−10×5.52=0.8，

则回归直线方程为y=0.8x+29.6，代入x=13X0246P8365427所以E(X)=2×3612517.解：(1)列联表如下：优秀人数非优秀人数合计训练前2810训练后8210合计101020零假设H0：假设跳水员的优秀情况与训练无关

可得χ2=20×(4−64)210×10×10×10=365=7.2>6.635，

则根据小概率值α=0.01的独立性检验，零假设不成立，

即跳水员的优秀情况与训练有关，此推断犯错误的概率不超过0.01．

(2)易知训练前后均不优秀的有C，F共2人，训练前后均优秀的有D，G共2人，训练前不优秀而训练后优秀的有6人，

记“所选3人中恰有2人训练后为优秀”为事件A，

记“所选3人中恰有1人训练前为优秀”为事件B，

可得P(AB)=C21C61C21C103，P(A)=C82C21C103，

所以P(B|A)=C2118.解：(1)∵f′(x)=1+lnx−a，x∈[1,e]，

∴1+lnx∈[1,2]，

当a≤1时，f′(x)≥0，f(x)在[1,e]上单调递增；

当a≥2时，f′(x)≤0，f(x)在[1,e]上单调递减；

当1<a<2时，令f′(x)=0，则x=ea−1，

当x∈[1,ea−1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(ea−1,e]时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

综上：当a≤1时，f(x)在[1,e]上单调递增；

当1<a<2时，f(x)在[1,ea−1)单调递减，在(ea−1,e]单调递增；

当a≥2时，f(x)在[1,e]上单调递减；

(2)函数f(x)=xlnx−ax+2，g(x)=(x−4)ex−2，

∴g′(x)=(x−3)ex−2，f′(x)=lnx+1−a，g′(2)=−1，g(2)=−2，

故曲线y=g(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y=−(x−2)−2，

即y=−x．

设切线与曲线y=f(x)切于点(x0,f(x0))，

则lnx0+1−a=−1x0lnx0−ax0+2=−x0，

解得x0=2，a=ln2+2．

(3)法一：函数f(x)=xlnx−ax+2，定义域为(0,+∞)，

故f(x)+g(x)≥0，

等价于a≤(x−4)ex−2x+lnx+2x，

记F(x)=(x−4)ex−2x+lnx+2x,F′(x)=(x−2)[(x−2)ex−2+1]x2，

令ℎ(x)=(x−2)ex−2+1(x>0)，ℎ′(x)=(x−1)ex−2，

ℎ′(x)<0解得0<x〈1，ℎ′(x)〉0，解得x>1，

故ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

∴当x>0时，ℎ(x)≥ℎ(1)=1−1e>0．

∴F′(x)<0解得0<x〈2，F′(x)〉0，解得x>2，

故F(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增，

有Fmin(x)=F(2)=ln2，

因此a的取值范围为(−∞,ln2]．

法二：取x=2，由f(2)+g(2)=2ln2−2a≥0，得a≤ln2．

下证：当a≤ln2时，f(x)+g(x)≥0恒成立．

记G(a)=f(x)+g(x)=(−x)⋅a+xlnx+2+(x−4)ex−2，

由x>0，函数G(a)在(−∞,ln2]单调递减，

∴G(a)≥G(ln2)=xlnx−xln2+2+(x−4)ex−2，

19.解：(1)因为过椭圆C的左焦点F1作直线l1、l2，分别交椭圆C于A、B和C、D，

易知当AB为x轴时，|AB|取得最大值，

此时2a=26，

解得a=6，①

当CD