导数中的五大同构体系总结

第24讲导数中的五大同构体系总结题型一：导数中的结构一致性同构【精选例题】【例1】若对任意的，，，恒成立，则的最小值为（）A． B． C． D．【例2】已知，，向量与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．B．C．D．【例3】已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【例4】若函数对且都有，则称函数在区间上阶递增.已知函数在上2阶递增，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【跟踪训练】1.若，则（）A． B． C． D．2.已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3.已知（）．（1）讨论的单调性；（2）若，，,，，恒成立，求实数的取值范围．题型二：恒成立同构问题【精选例题】【例1】若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2】函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例3】设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4】若，恒成立，则a的最小值为（

）A． B． C． D．【例5】若，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【跟踪训练】1.设函数，若，恒成立，则的取值范围是．2.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为.3.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为．4.若，则实数a的取值范围为．5.已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值是．6.已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为.题型三：函数零点的同构问题【精选例题】【例1】已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2】已知，若方程恰有两个解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3】已知函数有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【跟踪训练】1.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．2.已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．3.已知，若方程恰有两个解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4.已知函数，其中.（1）当时，求的最小值；（2）讨论方程根的个数.题型四：同构出多变量之间的关系【例1】已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（

）A．B．C． D．【例2】已知函数和有相同的最小值.（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【跟踪训练】1.已知函数，，若，，则的最大值为（

）A． B． C． D．2.已知函数和有相同的最大值.（1）求实数；（2）设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.题型五：朗博同构与隐零点代换朗博不等式是近年来随着函数同构出现的一个热门的不等式，其原理如下：下面主要注意的是，那么根据指数函数的基本不等式可得：，等号成立当且仅当.【例1】若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【例2】已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【跟踪训练】1.已知函数．若的最小值为，则实数a的最小值是________．2.已知函数（，为自然对数的底数），.（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.

第24讲导数中的五大同构体系总结题型一：导数中的结构一致性同构【精选例题】【例1】若对任意的，，，恒成立，则的最小值为（）A． B． C． D．解析：因为，所以，则可化为，整理得，因为，所以，令，则函数在上递减，则在上恒成立，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，则在上递减，所以，故只需满足：.故选：A.【例2】已知，，向量与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：因为，，向量与的夹角为，所以，因为对任意，，当时，恒成立，所以对任意，，当时，恒成立，所以对任意，，当时，恒成立，令，即成立，所以在上递减，又，由，解得，所以的单调减区间为，所以，则实数m的取值范围是，故选：D【例3】已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】当时，，故，故，令，则，令，故，令，故，故当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，故，解得，故实数的取值范围为，故选：D【例4】若函数对且都有，则称函数在区间上阶递增.已知函数在上2阶递增，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意，对且都有成立，不妨设，则，设，则，所以函数在上单调递增，即对于，恒成立，即对于，恒成立，而，令，则函数在上单调递增，则，即，所以，所以，即，所以实数的取值范围为.故选：C.【跟踪训练】1.若，则（）A． B． C． D．解析：由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，则A正确，B错误；故CD无法确定.故选：A.2.已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据，可知，令由，知为增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，在时有最大值为，故，即实数的取值范围为.故选：C.3.已知（）．（1）讨论的单调性；（2）若，，,，，恒成立，求实数的取值范围．解析：（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）当时，，，，，，等价于，即，令，，则恒成立，令，，则，令，解得，当时，，在区间单调递增；当时，，在区间单调递减，∴当时，的最大值为，∴当时，，即，∴在区间上单调递减，不妨设，∴，，有，又∵在区间上单调递减，，，且，有，∴等价于，∴，设，，则，，且，等价于，即在上单调递减，∴，∴，∴，∵当时，的最大值为，∴的最小值为，∴，综上所述，满足题意的实数的取值范围是.题型二：恒成立同构问题【精选例题】【例1】若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，，即对恒成立．设，则问题转化为在上恒成立，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以当时，；当时，．①在上，若恒成立，即，；②在上，若，则恒成立，即恒成立，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以，综上所述，实数的取值范围为．故选：B．【例2】函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，对恒成立，又，所以，即，即，令，，∴，设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，可得时，函数取得极小值即最小值，，∴恒成立，∴函数在上单调递增，又原不等式等价于，所以，即，即恒成立，令，，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，可得时，函数取得极大值即最大值.，所以.故选：A.【例3】设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为恒成立即，可得，令，则恒成立.又，故当时，，故在区间上为增函数.又恒成立，则在区间上恒成立，即，.构造，则，令有，故当时，为增函数；当时，为减函数.故，故，即.故选：B【例4】若，恒成立，则a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，．因为，所以，若，显然成立，此时满足；若，令，在上恒成立，∴在上单调递增，而，∴．综上，在上恒成立，∴．令，，所以当时，单调递增；当时，单调递减.所以，即．所以a的最小值为.故选：B．【例5】若，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】不等式，可化为，设，则，即在上单调递增，而，因为，所以，由已知恒成立，令，则，当时，即递减；当时，即递增；∴，故只需，即．又，所以的取值范围为.故选：B【跟踪训练】1.设函数，若，恒成立，则的取值范围是．【答案】【详解】当时，若，则，恒成立，符合题意；当，，所以，构造函数，，时，，所以在上单调递增，因为，所以，则时，，所以，，令，所以在上递增，上递减，所以，所以，又，所以，综上可得，，故答案为：.2.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【详解】令，，所以单调递增，因为，所以，可得，所以，所以恒成立，即求，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，可得.故答案为：.3.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【详解】由已知不等式，可化为，两边同时除以得．令，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数取最小值，最小值为，当时，，当时，，所以的范围是，即．所以不等式可化为，其中，所以在上恒成立，构造函数，，则，令，可得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以时，取最大值，最大值为，所以，所以的取值范围为.故答案为：.4.若，则实数a的取值范围为．【答案】【详解】因为，，令，则原式等价于，恒成立，所以在定义域内单调递增，所以，令，则时，，在单调递增，时，，在单调递减，所以，则又a为正数，故答案为：.5.已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值是．【答案】【详解】由可得，即，构造函数，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，因为，则，则，要求实数的最小值，考虑，则，由可得，因为函数在上单调递减，则，不等式两边取自然对数可得，因为，则，可得，令，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数在上的最大值为，所以，.因此，实数的最小值为.故答案为：.6.已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为.【答案】【详解】，构造函数，，故在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立．令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得．故答案为：题型三：函数零点的同构问题【精选例题】【例1】已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，，令，问题转化为有解，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，所以存在唯一零点，即在有解，即，令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，故实数的取值范围为.故选：B.【例2】已知，若方程恰有两个解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，故，设，即，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；，故方程有唯一解，即有两解，即有两个解，设，，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当趋近于和趋近于时，趋近于，故只需满足，设，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故恒成立，故的解为.故选：C【例3】已知函数有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，令，显然该函数单调递增，，则有两个根，当时，等式为，不符合题意；故，等式转化为有两个根，即和有两个交点，设，求导得，故当和时，，单调递减；时，，单调递增；且当时，，，故如图所示由图可得，的取值范围是故选：D【跟踪训练】1.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】函数的定义域为，，设，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以，函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的解，则，等价于函数与图象有两个不同的交点.令，，则函数与图象有一个交点，则，所以函数在上单调递增，所以，且趋向于正无穷时，趋向于正无穷，所以，解得.故选：A.2.已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，由，得到，所以，令，令，则在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，又时，，时，，即，所以，所以，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，且当时，，当时，，又因函数有两个不同的零点，所以，即.故选：.C3.已知，若方程恰有两个解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，故，设，即，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；，故方程有唯一解，即有两解，即有两个解，设，，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当趋近于和趋近于时，趋近于，故只需满足，设，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故恒成立，故的解为.故选：C4.已知函数，其中.（1）当时，求的最小值；（2）讨论方程根的个数.【答案】（1）的最小值是.（2）由题，，则，即.所以.由，得.当时，；当时，；所以，在上递减；在上递增.又因为，所以，当且仅当或.又，故和不可能同时成立.所以方程根的个数是两函数和的零点个数之和，其中当时，函数的零点个数转换为直线与函数图象的交点个数，，令，即，解得.当易知时，,单调递减，当时，，单调递增；在处取得最小值为，所以时，直线与函数图象无交点，函数无零点；时，直线与函数图象有一个交点，函数有1个零点；时，直线与函数图象有2个交点函数，有2个零点.同理：函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数，设，则，所以函数在单调递增，在处的函数值为，所以故时，在上必有1个零点.综上所述，时，方程有1个根；时，方程有2个根；时，方程有3个根.题型四：同构出多变量之间的关系【例1】已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（

）A．B．C． D．【答案】，，由于，则，同理可知，，函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，，则，，则，构造函数，其中，则.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，.故选：C.【例2】已知函数和有相同的最小值.（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【答案】（2）由（1）可得，的最小值在处取到，的最小值在处取到，且最小值均为1.于是,在上增，在上减，则存在，使得.这样的话，令,且直线与两条曲线和共有三个不同的交点.另一方面，注意到，考虑函数，则.设直线与两条曲线和从左到右的三个交点横坐标为.且有.由上述讨论可知：，故①，同理，由②可得：.又因为③联立①，②，③可得：，即从左到右的三个交点横坐标成等差数列.【跟踪训练】1.已知函数，，若，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】由题意得，，，即，令函数，则，所以，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又当时，，时，，作函数的图象.由图可知，当时，有唯一解，故，且，∴.设，，则，令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，∴，即的最大值为.故选：D.2.已知函数和有相同的最大值.（1）求实数；（2）设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.解析：（2）由，由，令,当时，，当时，，所以在上单调递增；上单调递减，至多两个零点，令，当时，，当时，，所以在上单调递增；上单调递减；至多两个零点.令，当时，，所以；当时，由，设，，所以当时，，