华东师大版初中数学九年级上册23-4中位线课件

九年级

上册华东师大版初中数学第23章图形的相似23.4中位线知识点1三角形的中位线及其性质基础过关全练1.(2023云南中考)如图,A、B两点被池塘隔开,A、B、C三点

不共线.设AC、BC的中点分别为M、N.若MN=3米,则AB=

(

)A.4米

B.6米

C.8米

D.10米B解析∵点M,N分别是AC和BC的中点,∴AB=2MN=6米.2.(2021浙江衢州中考)如图,在△ABC中,AB=4,AC=5,BC=6,点

D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,连结DE,EF,则四边形ADEF

的周长为

(

)

A.6

B.9

C.12

D.15B解析∵点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,∴DE=

AC=2.5,AF=

AC=2.5,EF=

AB=2,AD=

AB=2,∴四边形ADEF的周长=AD+DE+EF+AF=9.3.(易错题)如图,已知四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD上的

点,E,F分别是AP,RP的中点,当点R不动,点P在CD上从C向D

移动时,下列结论成立的是

(

)A.线段EF的长逐渐增大

B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变

CD.线段EF的长与点P的位置有关解析连结AR,∵E、F分别是AP、PR的中点,∴EF∥AR,EF

=

AR,∵AR的长度不变,∴当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,线段EF的长不变.易错点:本题易受表面现象误导而出错,会误认为随着点P的

移动,EF的长度会改变.4.(教材变式·P78例1)(2023河南南阳十三中月考)如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是BD、AC的中点,AB=CD,EF与GH有什么位置关系?请说明理由.

解析

EF⊥GH.理由:如图,连结GE、GF、HF、EH.∵E、G

分别是AD、BD的中点,∴EG=

AB,同理HF=

AB,FG=

CD,EH=

CD,∵AB=CD,∴EG=GF=FH=EH,∴四边形EGFH是菱形,∴EF⊥GH.

知识点2三角形的重心及其性质5.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,

F,G均在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是

(

)A.点G

B.点D

C.点E

D.点FB解析依据网格的性质取BC的中点N,取AC的中点M,连结

AN,BM,如图所示,则AN与BM的交点为D,故点D是△ABC的

重心.

6.(2022湖北荆门中考)如图,点G为△ABC的重心,D,E,F分别

为BC,CA,AB的中点,具有性质:AG∶GD=BG∶GE=CG∶GF

=2∶1.已知△AFG的面积为3,则△ABC的面积为

.18解析∵CG∶GF=2∶1,△AFG的面积为3,∴△ACG的面积

为6,∴△ACF的面积为3+6=9,∵点F为AB的中点,∴△ACF的

面积=△BCF的面积,∴△ABC的面积为9+9=18.7.(2023陕西中考A卷,6,★★☆)如图,DE是△ABC的中位线,

点F在DB上,DF=2BF.连结EF并延长,与CB的延长线相交于

点M.若BC=6,则线段CM的长为

(

)

A.

B.7

C.

D.8C能力提升全练解析∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=

BC=

×6=3,∴△DEF∽△BMF,∴

=

=

=2,∴BM=

,∴CM=BC+BM=

.8.(2023四川巴中中考,10,★★★)如图,在Rt△ABC中,AB=6cm,BC=8cm,D、E分别为AC、BC中点,连结AE、BD相交于点F,点G在CD上,且DG∶GC=1∶2,则四边形DFEG的面积为

(

)

A.2cm2

B.4cm2

C.6cm2

D.8cm2

B解析连结DE(图略),∵D、E分别为AC、BC的中点,∴DE

是△ABC的中位线,∴DE=

AB=3cm,DE∥AB,∴△DEF∽△BAF,∴

=

=

,

=

=

,∴

=

=

,∴S△ABF=

S△ABE=

×

AB·BE=

×

×6×

×8=8(cm2),∴S△DEF=

S△ABF=2cm2,∵S△DEC=

DE·CE=

×3×4=6(cm2),DG∶GC=1∶2,∴S△DEG=

S△DEC=2cm2,∴S四边形DFEG=S△DEF+S△DEG=4cm2,∴四边形DFEG的面积为4cm2.9.(一题多解)(2024山西长治潞州模拟,14,★★★)如图,DE是

△ABC的中位线,F为DE中点,连结AF并延长交BC于点G,若S

△EFG=1,则S△ABC=

.24解析解法1(利用三角形面积公式):如图,过D作DM∥BC交

AG于点M,∵DE是△ABC的中位线,∴D、E分别为AB、BC

的中点,∵DM∥BC,∴∠DMF=∠EGF,∵点F为DE的中点,∴DF=EF,在△DMF和△EGF中,

∴△DMF≌△EGF,∴S△DMF=S△EGF=1,GF=FM,DM=GE,∵点D为AB的中点,

且DM∥BC,∴AM=MG,∴FM=

AM,∴S△ADM=2S△DMF=2,∵DM为△ABG的中位线,∴

=

,∴

=

,∴S△ABG=4S△ADM=4×2=8,∴S梯形DMGB=S△ABG-S△ADM=8-2=6,∴S△BDE=S梯形DMGB=6,∵DE是

△ABC的中位线,∴DE=

AC,∴S△ABC=4S△BDE=4×6=24.

解法2(利用相似三角形的性质):∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,∴△GEF∽△GCA,△BED∽△BCA,∴

=

=

.∵F是DE的中点,∴

=

,∴

=

=

,∵S△EFG=1,∴S△ACG=16,∴S四边形ACEF=15.∵

=

,∴S△ADF=3S△GEF=3,∴S四边形ADEC=18.∵

=

=

=

,∴

=

,∴S△ABC=24.10.(新考向·教材拓展探究题)(2024吉林长春南关模拟,23,★☆☆)【教材呈现】如图所示的是九年级上册数学教材第80页的第3题,请完成

这道题的证明.【结论应用】(1)如图,在该题目的条件下,延长线段AD交NM的延长线于点

E,延长线段BC交NM的延长线于点F,求证:∠AEN=∠F;(2)若(1)中的∠A+∠ABC=130°,求∠F的大小.

解析【教材呈现】证明:∵P,M,N分别是BD,DC,AB的中点,

∴PM=

BC,PN=

AD,∵BC=AD,∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.【结论应用】(1)证明:∵P,M,N分别是BD,DC,AB的中点,∴PM∥BC,PN∥AD,∴∠F=∠PMN,∠AEN=∠PNM,∵∠PMN=∠PNM,∴∠AEN=∠F.(2)∵∠A+∠ANE+∠AEN=180°,∠NBF+∠BNF+∠F=180°,∴∠A+∠NBF+∠ANE+∠BNF+∠AEN+∠F=360°,∴130°+80°+2∠F=360°,∴∠F=25°.11.(推理能力)(2024山西临汾襄汾模拟)如图,在△ABC中,AE

平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.(1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=

(AC-AB);(2)如图2,写出线段AB、AC、EF的数量关系,并证明你的结

论.素养探究全练

图1

图2解析

(1)证明:∵AE⊥BE,AE平分∠BAC,∴BE=DE,AB=AD,

∵BF=FC,∴EF=

DC=

(AC-AD)=

(AC-AB).(2)结论:EF=

(AB-AC),证明如下:如图,延长AC交BE的延长线于点P.∵AE⊥BP,AE平分∠BAC,∴BE=PE,AB=AP,∵BF=

FC,∴EF=

PC=

(AP-AC)=

(AB-AC).微专题6

中点四边形问题1.平行四边形ABCD各边中点依次是E,F,G,H,关于四边形E-

FGH,下面结论一定成立的是

(

)A.有一个内角等于90°

B.有一组邻边相等C.对角线互相垂直

D.对角线互相平分D解析如图,连结AC,∵平行四边形ABCD各边中点依次是E,

F,G,H,∴EF是△ABC的中位线,GH是△ACD的中位线,∴EF

∥AC,EF=

AC,GH∥AC,GH=

AC,∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形,∴对角线互相平分.

2.如图,点E、F、G、H分别为正