华东师大版初中数学九年级上册专项素养巩固训练卷(七)求锐角三角函数值的三种常用方法练课件

九年级上册

数学华东师大版专项素养巩固训练卷(七)求锐角三角函数值的三种常用方法(练方法)方法一设参法1.(2023山东泰安新泰月考,12,★★☆)如图,在△ABC中,∠A=30°,E为AC上一点,

且AE∶EC=3∶1,EF⊥AB于F,连结FC,则tan∠CFB的值为

(

)

A.

B.

C.

D.

C解析C如图,作CD⊥AB,垂足为D,则EF∥CD,

∵AE∶EC=3∶1,∴设EC=x,AE=3x,∵sinA=sin30°=EF∶AE=1∶2,∴EF=

x,∵cosA=cos30°=AF∶AE=

,∴AF=

x.∵EF∥CD,∴△AEF∽△ACD,

=

=3,∴

=

=

,FD=

=

x,∴CD=

EF=2x,∴tan∠CFB=

=

.故选C.2.[易错题](2023云南文山丘北一模,16,★★☆)在Rt△ABC中,若AB=2AC,则cos

B=

. 或 解析当AB是斜边时,∵sinB=

=

,∴∠B=30°,∴cosB=

;当AB是直角边时,设AC=x,则AB=2x,∴BC=

=

x,∴cosB=

=

=

.综上,cosB=

或

.3.(★☆☆)如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的

值.

解析设AE=x,则BE=3AE=3x,∴AB=AE+BE=x+3x=4x,∵四边形ABCD为正方

形,∴AB=BC=CD=AD=4x,∵M是AD的中点,∴AM=DM=2x,∴EC=

=5x,EM=

=

x,CM=

=2

x,∴EM2+CM2=CE2,∴△CEM是直角三角形,∴sin∠ECM=

=

.4.(★★☆)已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b,c满足等式b2=(c

+a)(c-a),且5b-4c=0,求sinA+sinB的值.解析∵b2=(c+a)(c-a),∴b2=c2-a2,即a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°,∵5b-4c=0,∴

=

,设b=4k,则c=5k,∴a=

=

=3k,∴sinA+sinB=

+

=

+

=

+

=

.新考向代数推理方法二等角转换法5.(2023江苏苏州工业园区期中,5,★☆☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,如果

BD=9,DC=5,cosB=

,E为AC的中点,那么sin∠EDC的值为

(

)

A.

B.

C.

D.

C解析C在Rt△ABD中,cosB=

=

,BD=9,∴AB=15,由勾股定理得AD=

=

=12,在Rt△ADC中,由勾股定理得AC=

=

=13,∵E为AC的中点,∴ED=EC,∴∠EDC=∠C,∴sin∠EDC=sinC=

=

.故选C.6.(★☆☆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若AD∶CD=4∶3,则

tanB=

.

`

解析∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠B+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD,∵AD∶CD=4∶3,∴tanB=tan∠CAD=

=

.7.(2023内蒙古乌兰察布集宁模拟,18,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=

8.若∠BPC=

∠BAC,则tan∠BPC=

.

解析如图,过点A作AE⊥BC于点E,

∵AB=AC=5,∴BE=

BC=

×8=4,∠BAE=

∠BAC,∵∠BPC=

∠BAC,∴∠BPC=∠BAE.在Rt△BAE中,由勾股定理得AE=

=

=3,∴tan∠BPC=tan∠BAE=

=

.8.(2023江苏扬州邗江一模,17,★★☆)如图所示的是由边长均为1的小正方形组

成的网格,A,B,C,D四点均在正方形网格的格点上,线段AB,CD相交于点E,则tan

∠DEB=

.

2解析如图,过点D作DF∥AB,连结CF.

∵DF∥AB,∴∠DEB=∠FDC.∵DF=

=

=2

,CD=

=

=2

,

CF=

=

=4

,(2

)2+(4

)2=(2

)2,∴DF2+CF2=CD2,∴∠DFC=90°.在Rt△CDF中,tan∠FDC=

=

=2,∴tan∠DEB=tan∠FDC=2.9.(2023湖北黄冈浠水二模,13,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB

的中点,连结CD,过点B作CD的垂线,交CD的延长线于点E.若AC=30,cosA=

,则cos∠DBE=

.

解析如图,过点C作CF⊥AB,垂足为F,

在Rt△ABC中,AC=30,cosA=

,∴AB=

=

=50,∴BC=

=

=40,∵D是AB的中点,∴CD=

AB=25,∵△ABC的面积=

AB·CF=

AC·CB,∴AB·CF=AC·CB,∴50CF=30×40,∴CF=24,在Rt△CDF中,cos∠DCF=

=

,∵BE⊥CE,∴∠E=90°,∴∠EDB+∠EBD=90°,∵∠FCD+∠CDF=90°,∠CDF=∠BDE,∴∠EBD=∠DCF,∴cos∠DBE=cos∠DCF=

.

10.(2023江苏常州期末,16,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中

点,CE⊥AD,垂足为E,连结BE.若tan∠CAD=

,则sin∠BED=

.

解析∵CE⊥AD,∴∠CED=∠ACB=90°,∵∠CDE=∠ADC,∴△CDE∽△ADC,∴

=

,∴CD2=DE·AD,∵D是BC的中点,∴BD=CD,∴BD2=DE·AD,∴

=

,又∵∠ADB=∠BDE,∴△BDE∽△ADB,∴∠BED=∠ABC.∵tan∠CAD=

,∴

=

,∵D是BC的中点,∴CB=2CD,∴

=

,设AC=4x,则CB=3x,∴AB=

=5x,∴sin∠BED=sin∠ABC=

=

=

.方法三构造直角三角形法11.(2022山东济宁泗水二模,9,★★☆)如图,延长Rt△BAD的斜边BD到点C,使

DC=

BD,连结AC,若tan∠ADB=

,则tan∠CAD的值为

(

)

A.

B.

C.

D.

B解析B如图,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于E,

在Rt△BAD中,tan∠ADB=

,∴

=

,∴可设AB=3a,AD=4a,则BD=

=

=5a,∵CE⊥AD,BA⊥AD,∴BA∥CE,∴△BAD∽△CED,∴

=

=

,∵DC=

BD,∴DE=

AD=2a,CE=

AB=

a,∴AE=AD+DE=6a,∴tan∠CAD=

=

=

.故选B.12.(2023浙江绍兴嵊州期末,8,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,若AB=6,

AC=8,点D是AC上一点,且

=

,则sin∠DBC的值为

(

)

A.

B.

C.

D.

B解析B如图,过D作DE⊥BC,垂足为E,

∵

=

,∴AD=3CD,∵AC=AD+CD,∴8=3CD+CD,∴CD=2,∴AD=6,∵AB=6,∠BAC=90°,∴BD=

=6

.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴BC=

=10,∵sinC=

=

,∴

=

,∴DE=

,∴sin∠DBC=

=

=

.故选B.13.(2022辽宁沈阳皇姑期中,15,★★☆)如图所示的是由6个形状、大小完全相

同的菱形组成的网格,菱形的顶点称为格点,已知菱形的一个角(如∠O)为60°,点

A、B、C都在格点上,则sin∠ABC的值是

.

解析如图,连结EA,EC,

设组成网格的小菱形的边长为a,由题意可得∠AEF=30°,∠CEF=60°,易得AE=2

cos30°·a=

a,EC=a,∠AEC=90°,∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°,∴∠ECB=180°,∴E、C、B三点共线,在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AE=

a,BE=2CE=2a,∴AB=

=

a,∴sin∠ABC=

=

=

.14.(2022上海浦东新区期中,21,★★☆)如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,AE

是BC边上的中线,已知AD=8,BD=4,cos∠ABC=

.(1)求CD的长.(2)求tan∠EAB的值