备战2024年中考数学模拟卷-08（解析版）

备战2024年中考数学模拟卷（广州专用）黄金卷08（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．的倒数是（）A． B． C． D．【分析】根据倒数的定义解答，乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：﹣的倒数是，故选：D．2．如所示4个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．3．计算（4x3）2的结果是（）A．16x6 B．8x6 C．16x5 D．8x5【分析】积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可．【解答】解：（4x3）2＝16x6，故选：A．4．在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为（）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，∴两次摸出的数字之积为偶数的概率为，故选：D．5．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝125°，则∠1＝（）A．125° B．65° C．55° D．45°【分析】根据平行四边形的性质可得∠BCD＝∠A，再根据补角定义即可得∠1的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝125°，∴∠1＝180°﹣∠BCD＝55°．故选：C．6．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根x1，则下列关于2ax1+b的值判断正确的是（）A．2ax1+b＜0 B．2ax1+b＞0 C．2ax1+b＝0 D．无法确定【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出这个根，求出所求即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根x1，∴b2﹣4ac＝0，且x1＝，则2ax1+b＝2a•+b＝﹣b+b＝0．故选：C．7．已知反比例函数的图象上有点A（2，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3），则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2【分析】画出函数图象，即可求解．【解答】解：函数图象如下：点A、B在y轴右侧且y随x的增大而增大，故y1＞y2；点C在y轴的左侧，函数值y为正，故y3＞y1＞y2，故选：D．8．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣1），点B（﹣2，1），平移线段AB，使点A落在A1（0，﹣1），点B落在点B1，则点B1的坐标为（）A．（0，2） B．（1，1）C．（2，2） D．（1，3） 【分析】根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后根据平面直角坐标系写出点B1的坐标即可．【解答】解：通过平移线段AB，点A（﹣3，﹣1）落在（0，﹣1），即线段AB沿x轴向右移动了3格．如图，点B1的坐标为（1，1）．故选：B．9．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于（）A． B． C． D．【分析】根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△AEB∽△DEC，根据CD、AB的长，即可求出两个三角形的相似比；设BE＝x，则DE＝5﹣x，然后根据相似比表示出AE、EC的长，连接BC，首先在Rt△BEC中，根据勾股定理求得BC的表达式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，进而可求出DE的长．【解答】解法一：∵∠D＝∠A，∠DCA＝∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴＝；设BE＝2x，则DE＝5﹣2x，EC＝x，AE＝2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB＝90°；Rt△BCE中，BE＝2x，EC＝x，则BC＝x；在Rt△ABC中，AC＝AE+EC＝10﹣3x，BC＝x；由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，即：72＝（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17＝0，解得x1＝+，x2＝﹣；由于x＜，故x＝﹣；则DE＝5﹣2x＝2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD＝CD＝OC则∠DOC＝60°，∠DAC＝30°又AB＝7，BD＝5，∴AD＝2，在Rt△ADE中，∠DAC＝30°，所以DE＝2．故选：A．10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，把线段AB以A为旋转中心，逆时针方向旋转90°，得到线段AC，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而得出正确选项．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，由已知可得，OB＝x，OA＝1，∠AOB＝90°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOB＝180°，∴∠DAO＝90°，∴∠OAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠OAB＝∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB＝CD，∴CD＝x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y＝x+1（x＞0）．故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．因式分解：2a2﹣12a+18＝．【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2a2﹣12a+18＝2（a2﹣6a+9）＝2（a﹣3）2，故答案为：2（a﹣3）2．12．在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为s甲2＝1.43，s乙2＝0.82，则考核成绩更为稳定的运动员是（填“甲”、“乙”中的一个）．【分析】根据方差较小的更稳定选择即可．【解答】解：∵两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，∴S甲2＞S乙2，∴考核成绩更为稳定的运动员是乙；故答案为：乙．13．如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（1，b），则关于x，y的二元一次方程组的解是．【分析】首先把P（1，b）代入直线l1：y＝3x+1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．【解答】解：∵直线y＝3x+1经过点P（1，b），∴b＝3+1，解得b＝4，∴P（1，4），∴关于x，y的二元一次方程组的解是，故答案为：．14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝．【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝15，∴＝，解得AC＝8，根据勾股定理得，AB＝＝＝17．故答案为：17．15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，将线段AD绕点D在平面内旋转，点A的对应点为点P，连接AP，当点P落在CD的垂直平分线上时，AP的长为．【分析】作CD的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F，分两种情况：①当点P在矩形ABCD内时，根据矩形的性质结合垂直平分线的性质可得EF＝AD＝5，DE＝AF＝＝3，由旋转的性质可得AD＝PD＝5，在Rt△DEP中，根据勾股定理求出PE＝4，进而求得PF＝EF﹣PE＝1，在Rt△AFP中，再根据勾股定理即可求出AP；②当点P在矩形ABCD外时，根据矩形的性质结合垂直平分线的性质可得EF＝AD＝5，DE＝AF＝＝3，由旋转的性质可得AD＝PD＝5，在Rt△PDE中，根据勾股定理求出PE＝4，进而求得PF＝EF+PE＝9，在Rt△PAF中，再根据勾股定理即可求出AP．【解答】解：作CD的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F，①当点P在矩形ABCD内时，如图，∵四边ABCD为矩形，∴AB＝CD＝6，AB∥CD，∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，且EF＝AD＝5，∴DE＝AF＝＝3，由旋转的性质可得AD＝PD＝5，在Rt△DEP中，由勾股定理得＝4，∴PF＝EF﹣PE＝1，在Rt△AFP中，由勾股定理得AP＝＝；②当点P在矩形ABCD外时，如图，∵四边ABCD为矩形，∴AB＝CD＝6，AB∥CD，∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，且EF＝AD＝5，∴DE＝AF＝＝3，由旋转的性质可得AD＝PD＝5，在Rt△PDE中，由勾股定理得PE＝＝4，∴PF＝PE+EF＝9，在Rt△PAF中，由勾股定理得AP＝．综上，AP的长为或．故答案为：或．16．如图，△OA1B1、△A1A2B2、△A2A3B3、△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1A2A3、…An都在x轴上，点B1、B2、B3…Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点B1的坐标为，点B2023的坐标为．【分析】由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直线OB1的解析式为y＝x，将它与y＝联立，求出方程组的解，得到点B1的坐标，则A1的横坐标是B1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，则A1B2∥OB1，直线A1B2可看作是直线OB1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1B2的解析式，同样，将它与y＝联立，求出方程组的解，得到点B2的坐标，则B2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A3的坐标，即可求得点B3的坐标，得出规律．【解答】解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，易知M1（1，0）是OA1的中点，∴A1（2，0）．可得B1的坐标为（1，1），∴B1O的解析式为：y＝x，∵B1O∥A1B2，∴A1B2的表达式一次项系数与B1O的一次项系数相等，将A1（2，0）代入y＝x+b，∴b＝﹣2，∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，与y＝（x＞0）联立，解得B2（1+，﹣1+）．仿上，A2（2，0）．B3（+，﹣+），以此类推，点Bn的坐标为（+，﹣+），B2023的坐标为（+，﹣+），故答案为：（+，﹣+），三．解答题（共9小题，满分72分）17．（4分）解不等式组：．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：由①得x≤﹣1；由②得x＜2；则不等式组的解集为x≤﹣1．18．（4分）如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF．求证：△ADF≌△BCE．【分析】根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE【解答】解：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，∴AF＝BE，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS）19．（6分）如图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆面表示钉板上的钉子，A1、B1、B2、C1、C2、C3分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．（1）小球经过B2通道的概率是；（2）如果向A1放入一个同样的小球，小球落在三个小槽中的概率分别是多少？用列表或画树状图的方法进行说明．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）小球经过B2通道的概率是，故答案为：；（2）根据题意，画出树状图，共有4种情况，其中落入①号槽的有1种，落入②号槽的有2种，落入③号槽的有1种，∴落入①号槽的概率为，落入②号槽的概率为，落入③号槽的概率为．20．（6分）已知：．（1）化简A；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．条件①：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点；条件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一个根．【分析】（1）利用分式的减法法则化简即可；（2）①由点P在反比例函数图象上，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论；②a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论．【解答】解：（1）＝﹣＝；（2）①点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点，∴a（a+2）＝8，∴A＝＝；②∵a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，∴a2+a＝8﹣a，∴a（a+2）＝8，∴A＝＝；21．（8分）“双减”政策背景下，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？（2）如果学校计划购买跳绳和毽子共80个，总费用不超过460元，那么最多能买多少个跳绳？【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+5）元，由题意列出方程，解方程即可；（2）设跳绳能买y个，则毽子能买（120﹣y）根，由题意列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+3）元，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+3＝8．答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元；（2）设跳绳能买y根，则毽子能买（80﹣y）个，依题意，得：8y+5（80﹣y）≤460，解得：y≤20，答：最多可购买20根跳绳．22．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k为常数，k≠0）与反比例函数y2＝（m为常数，m≠0）的图象交于点A（1，a）和B（﹣2，﹣1），与y轴交于点M．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．【分析】（1）先把A点坐标代数y2＝（m为常数，m≠0）求出m得到反比例函数解析式，然后利用待定系数法求出k的值，得到一次函数的解析式；（2）先利用一次函数解析式确定M点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝（m为常数，m≠0）的图象经过点B（﹣2，﹣1），∴m＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数的表达式为y＝，∵点A（1，a）在反比例函数y2＝图象上，∴a＝2．∴点A的坐标为（1，2），∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣2，﹣1）和点A（1，2），∴，解得，∴一次函数的表达式y1＝x+1；（2）一次函数y＝x+1与y轴的交点为M，∴M（0，1），∴S△AOB＝S△OAM+S△OBM＝+＝．23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为3，求BE的长．【分析】（1）连接OD，通过等边对等角和角平分线的定义得到∠ODC＝∠BCD，利用平行线的性质与判定即可得证；（2）通过证明△ADF∽△DBF求出线段DF和BF的长度，再通过证明△ODF∽△BEF，利用相似三角形的性质即可得出，进而在Rt△BEF中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵CD平分∠OCB，∴∠OCD＝∠BCD，∴∠ODC＝∠BCD，∴OD∥BC，∵DF⊥BC∴OD⊥DF，∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线；（2）∵∠ADO+∠BDO＝90°，∠FDB+∠BDO＝90°，∴∠ADO＝∠FDB，∵∠ADO＝∠OAD，∴∠OAD＝∠FDB，∴△ADF∽△DBF，∴，∴，即，解得BF＝2，DF＝4，∵OD⊥DF，BE⊥DF，∴△ODF∽△BEF，∴，解得．∴．24．（12分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．【分析】（1）由矩形的性质得∠C＝∠ADE＝90°，再证∠AED＝∠DFC，即可得出结论；（2）证Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再证△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行线的性质得∠ADF＝∠DFC，即可得出结论；（3）延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再证△DFG是等边三角形，得FG＝DF＝11，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直