矩阵分析 课件 1.3 线性子空间

定义1.8

设是数域上的线性空间，是的一个非空子集。如果对于中所定义的加法与数乘运算也构成数域上的线性空间，则称为的线性子空间，简称子空间。1.3线性子空间1、子空间的概念平凡子空间(假子空间)

:非平凡子空间(真子空间)定理1.2

线性空间的非空子集是的子空间的充分必要

条件是：对于中定义的加法与数乘运算封闭，即(1)如果

则(2)如果

则证必要性是显然的。下证充分性。已知W对于V的加法与数乘运算封闭。由于W中的元素均是V中的元素，所以线性空间定义中的运算律(1)、(2)、(5)~(8)均成立。又设，由于故运算律(3)与(4)也成立，故W是一个线性空间。证毕。例16

取线性空间的子集

，

证明是的子空间，并求其维数。证因为所以非空。对任意有从而即又对有即故是的子空间。取中的个矩阵容易证明该矩阵组线性无关，且对任意有故定理1.3

设是数域上的线性空间，在中任意取定m个元素，构造子集则是的子空间，称为由元素组生成的子空间，记为证由于所以非空。对任意，有由于故W是V的子空间。证毕。定理1.3

设是数域上的线性空间，在中任意取定m个元素，构造子集则是的子空间，称为由元素组生成的子空间，记为有限维线性空间是由它的基生成的子空间结论1

的维数等于元素组的秩，且的极大无关组是该生成子空间的基。结论2

设和是线性空间

V的两组元素，若可由线性表示，则。若与等价，则例17

设求的基与维数。解将矩阵化为阶梯形矩阵，即可知线性无关，且所以为的基，.例18

在线性空间中，求由矩阵

生成的子空间的基与维数。解例11中已求得矩阵组的秩为2，且是一个极大无关组,故的维数为2，且是它的一个基。定理1.4

（基的扩充定理）线性空间的m维子空间W

的任何一个基都可以扩充成V的一个基。证设是W的一个基，对维数差作归纳法。当时，，此时已是V的一个基。假定时定理成立，考虑的情形。因为且线性无关，但又不是V的基，故有且不能由线性表示，因而线性无关。由于是V的m+1维子空间，且由归纳假设知可以扩充成V的基，故可以扩充成V的基。定义1.9

设是数域

上的线性空间，是的两个子空间，记称为与

的交空间。记称为与的和空间。2、子空间的交与和、直和是的子空间是的子空间不一定是的子空间是的子空间证由得,所以非空。其次，对任意,有且，而是子空间，所以，，从而

；又对任意，有且从而，即构成的子空间。同样地，对任意，有即构成的子空间。对任意,有，其中因为所以非空。是的子空间证从而；由于是子空间,所以不一定是的子空间令,因为设取使线性无关。反例即所以但对加法不封闭，不是子空间。例19

设与是数域

上线性空间V的两个元素组，则证由子空间和的定义，有例20

设的两个子空间为解将表示为生成子空间。容易求得方程试将表示为生成子空间，并求它的一个基与维数。的基础解系为：解它们对应着的一个基于是，根据例19，有对应的向量为容易求得的一个极大无关组为所以矩阵的极大无关组为，它们即的一个基，且。定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证设只需证明如果取的一个基，它可以扩充为的一个基也可以扩充成的一个基即所以由上式第一个等号知，由第二个等号知，于是，故可令定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证因此，只需证明线性无关即可。设令因此定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证即由于线性无关，所以因而，从而由于线性无关，又可得这就证明了线性无关，定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证因而它是的一个基，的维数是如果，即，取的基和的基，同样可证是的基。即证明了维数公式。证毕。定义1.10

设是线性空间的两个子空间，若

，则称的和空间是直和，记为。定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(1)是直和;(2)中每个元素分解为

的方法是唯一的；若

是的基，

是的基，则

是的基；(4)定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(1)是直和;(2)中每个元素分解为

的方法是唯一的；证设是直和，则。若的分解式不唯一，于是有其中，从而。但所以这与矛盾，故(2)成立。令则假设它们线性相关，则内存在不全为零的数定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(2)中每个元素分解为

的方法是唯一的；若

是的基，

是的基，则

是的基；证显然只需证元素组线性无关。使得因此有两种不同的分解式，此与(2)矛盾，故(3)成立。定理1.6

设是线性空间的两个