专题01 平行线四种常见模型解题技巧-新八年级《数学》暑假自学提升讲义（人教版）解析版

第第页专题01平行线四种常见模型解题技巧题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型模型一：“猪蹄”模型如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B＋∠D＝∠DEB．理由如下：过点E作EF//AB又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB

即∠B＋∠D＝∠DEB．猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结

证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。

猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型二、“铅笔”模型如图，AB//CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．理由如下：过点E作EF//AB．

又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠B+∠BEF＝180°．

∠D+∠DEF＝180°．∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF＝360°．

即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。模型结论：∠B+∠E+∠D=360°二、模型证明如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG//AB∵

AB//FG，AB//CD

∴

FG//CD∵

AB//FG∴∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵FG//CD∴

∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴

∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB//CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴

∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴

∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。三、猪蹄模型和铅笔头模型关系1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED

∵∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°

∴

∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴

180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED

∴

∠FBE+∠GDE+∠BED=360°2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得，∠ABE+∠BED+∠CDE=360°∵

∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°

∴

∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴

180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360°∴

∠FBE+∠GDE=∠BED模型三、“鸡翅”模型如图，已知AB//CD，试猜想∠A、∠E、∠C的关系，并说明理由．解：∠AEC=∠A-∠C,理由如下：过点E作EF//AB又∵AB//CD．

∴EF//CD．∴∠A+∠FEA=180°，∠C+∠FEC=180°∴∠AEC＝∠FEC-∠FEA=180°-∠C–(180°-∠A)=∠A-∠C即：∠AEC=∠A-∠C模型四、“骨折模型”如图，已知BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D的关系，并说明理由．解：∠BAD=∠D-∠B,理由如下：过点A作AG//BC又∵CB//DE．

∴AG//DE∴∠GAB+∠B=180°，

∠GAD+∠D=180°∴∠BAD＝∠GAB-∠GAD=180°-∠B–(180°-∠D)=∠D-∠B即：∠BAD=∠D-∠B注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！题型归纳题型一：猪蹄模型【例1】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由；【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数；【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则25度．【分析】（1）过点作，利用猪脚模型即可解答；（2）过点作，利用猪脚模型可得：，，从而可得，进行计算即可解答；（3）先利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用猪脚模型可得，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1），理由：过点作，，，，，，；（2）过点作，由（1）可得：，，，由（1）可得：，，，，，的度数为；（3）如图：，，，，，由（1）可得：，，故答案为：25．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式1-1】（2022春•铁东区校级月考）感知与填空：如图①，直线．来证：．（1）阅读下面的解答过程，请填上适当的理由．证明：过点作直线（已知），（2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，求的度数．（3）方法与实践：如图③，直线．若，，则度．【分析】（1）过点作直线，由两直线平行，内错角相等得出，由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出，由两直线平行，内错角相等得出，由，等量代换得出．（2）过点作，则，由感知与填空得，，即可得出结果．（3）设交于，，由感知与填空得，即可得出结果．【解答】解：（1）过点作直线，（两直线平行，内错角相等），（已知），，（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），（两直线平行，内错角相等），，（等量代换），故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）过点作，则，如图②所示：由（1）得：，，，，，，即的度数为；（3）设交于点，如图③所示：，，，由感知与填空得：，，故答案为：25．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式1-2】．（2023春•仪征市期末）如图1，已知线段、线段被直线所截于点、点，，的度数是的3倍少．（1）求证：；（2）如图2，连接，沿方向平移得到，点在上，点是上的一点，连接、，，，求的度数；（3）如图3，点是线段上一点，点是射线上一点，度数为，度数为，度数为，请直接写出、、之间的数量关系．（本题的角均小于【分析】（1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论；（2）过作，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可；（3）利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可．【解答】证明：（1），的度数是的3倍少，，，，；（2）过作，，，，，；（3），与（2）同理可得：，，，，，，，，即．【点评】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，理解题意是解决问题的关键．【变式1-3】．（2022春•赣榆区期末）已知：如图，，．求证：．（1）下面是小明同学的推理过程，请按先后顺序填写空格：解：连接．（已知），（内错角相等，两直线平行）．，（已知），（两直线平行，内错角相等），即．（2）试用其他方法进行推理，并书写证明过程．【分析】（1）连接，根据已知，得出，根据平行线的性质得到，再根据得出，进而得出即可得出答案；（2）延长交的延长线于，根据平行线的性质可得，再利用等量代换可得，进而可判定，然后可得．【解答】（1）解：连接．（已知），（内错角相等，两直线平行）．两直线平行，内错角相等），（已知），（两直线平行，内错角相等）等式的基本性质），即．故答案为：，；两直线平行，内错角相等；；等式的基本性质．（2）证明：延长交的延长线于，，，．，，．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．题型二：“铅笔”模型【例2】（2023春•巴南区月考）已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，点在直线上，且，求证：；（3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数．【分析】（1）过点作，然后根据平行线的性质可得即可得证．（2）由得出，结合即可得证．（3）由平行线的性质得到，再由角平分线的定义及平行线的性质得出，最后根据三角形的内角和即可求解．【解答】（1）证明：过点作，如图：，，，，．（2）证明：．，，，，，．（3）解：．，，，，平分，平分，，，又，，，，．．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及三角形的内角和定理是解题关键．【变式2-1】请在横线上填上合适的内容．（1）如图（1）已知//，则．解：过点作直线//．∴（

）．（

）∵//，//，∴（

）//（

）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）∴（

）．（

）．∴．∴．（2）如图②，如果//，则（）【答案】（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；（2）360°【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；（2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．【详解】解：（1）解：过点E作直线EF∥AB．∴∠FEB=∠B．（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）．∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．∴∠B+∠D=∠BED．故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；（2）解：过点E作直线EF∥AB，如图．∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，内错角相等）．∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．∴∠B+∠BED+∠D=360°．故答案为：360°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键．【变式2-2】如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．（1）试问：，，满足怎样的数量关系？解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________．（2）如图3，，分别平分和，且点在左侧．①若，则的度数为______；②猜想与的数量关系，并说明理由；③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）【答案】（1）；（2）①130°；②，见解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°【分析】（1）过点P作PHAB，利用平行线的性质即可求解；（2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解．【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PMAB，则PMCD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案为：130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA+2(∠DFQ+∠BEQ)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF+2∠EQF＝360°；③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA+22(∠DFQ1+∠BEQ1)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF+22∠EQ1F＝360°；同理可得：∠EPF+23∠EQ2F＝360°，∠EPF+24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键．【变式2-3】已知，连接A，C两点．(1)如图1，与的平分线交于点E，则等于度；(2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数；(3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）．【答案】(1)90(2)(3)或【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用角平分线的定义求出，即可求出答案；（2）过点E作，得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义求出，即可得到答案；（3）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，即可求解．【详解】（1）解：如图1，∵，∴，∵分别平分，∴，∴，∴；故答案为：90．（2）如图2，过点E作，∵，∴，∴，∵分别平分，∴，∴；（3）①如图3，过点E作，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②如图4，过点E作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．【点睛】此题考查了平行线的性质及角平分线的定义，解题的关键是正确掌握平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等．题型三：“鸡翅”模型【例3】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为【答案】180°【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键．【变式3-1】如图所示，，，，求的度数.【答案】.【分析】根据平行线的性质，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，，又因为，得到，所以.【详解】因为，结合题意，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，，，即，，【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.【变式3-2】AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案．【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：如图2所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，∴∠APC＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝110°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝110°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH＝∠FEG−∠BEG＝∠BEF＝55°．【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.【变式3-3】问题探究：如下面四个图形中，ABCD．（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．（2）请你从中任选一个加以说明理由．解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【答案】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；

图2：∠1+∠2+∠3＝；图3：∠1＝∠2+∠3；

图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3)【分析】(1)图1：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；图2：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；图3：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；图4：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．（2）选图1，过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；（3）利用图1结论进行求解【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；

图2：∠1+∠2+∠3＝

图3：∠1＝∠2+∠3；

图4：∠1+∠3＝∠2；(2)选择图1，如图所示：过点P作EP//AB∵ABCD，EPAB∴ABEPCD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3；(3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．题型四：“骨折”型【例4】已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D【答案】见解析【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线），∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换），即∠B=∠E+∠D．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．【变式4-1】探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系．发现：在图1中，；如图5小明是这样证明的：过点Р作∴___________∵，．∴__________∴∴即（1）为小明的证明填上推理的依据；（2）理解：①在图2中，与、的数量关系为_____________________；②在图3中，若，，则的度数为_________________；（3）拓展：在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①；②40°；（3），理由见解析．【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（2）①过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；②根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出即可；（3）根据平行线的性质得出，求出，根据得出，即可得出答案．【详解】（1）证明：过点作，∴（两直线平行，内错角相等），．（平行于同一直线的两直线平行）即故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①解：过点作，所以，，．，，，，即，故答案为：；②解：，，，，，故答案为：；（3）解：．理由是：如图4，过点作，，，，，（平行于同一直线的两直线平行），，．【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．【变式4-2】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)设PD交AN于O，如图，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．【变式4-3】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，

(1)求证：：(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得；（2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出；（3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论．【详解】（1）在图①中，过点C作，则．

∵，∴，∴．（2）在图2中，过点Q作，则．

∵，∴．∵平分，平分，∴，∴．∵，∴．（3）∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．过关检测1.为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条、，、，做成折线，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成，判别是否平行于，并说明理由；（2）如图3，若，调整线段、使得，求出此时的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若，求出此时的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．【答案】（1）AB∥DE，理由见解析；（2）25°或155°，画图见解析；（3）60°或120°或70°或110°【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可；（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数．【详解】解：（1）AB∥DE，理由是：如下图，过点C作CF∥AB，∴∠B=∠BCF=50°，∵∠BCD=75°，∴∠DCF=25°，∵∠D=25°，∴∠D=∠DCF=25°，∴CF∥DE，∴AB∥DE；（2）如下图，∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD=25°；如图4：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°-25°=155°；（3）由（1）得：∠B=85°-25°=60°；如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=25°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-25°=60°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=120°；如图6，∵∠C=85°，∠D=25°，∴∠CFD=180°-85°-25°=70°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=70°，如图7，同理得：∠B=25°+85°=110°，综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．2.如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键3．已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且．（1）如图①，求证：．阅读并将下列推理过程补齐完整：过点B作，因为，所以__________（

）所以，（

）所以．（2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分．求证：；（3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）BG；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，再根据平行线的性质即可得结论；（2）过点作，根据，可得，所以，，结合（1）即可进行证明；（3）根据，，可得，根据平分，可得，结合（2）可得，中根据平行线的性质即可得结论．【详解】（1）解：如图①，过点作，因为，所以（平行于同一条直线的两条直线平行）．所以，（两直线平行，内错角相等）．所以．故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；（2）证明：如图②，过点作，因为，所以，所以，，由（1）知：．又，所以．因为．所以，所以，因为平分．所以，所以，所以；（3）解：，理由如下：因为，，所以，因为平分，所以，由（2）知：，所以，因为，所以，所以，，而，所以．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．4.已知直线，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P．(1)如果P点在C，D之间运动时，问，，有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】(1)(2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．【分析】（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解】（1）解：．过点作，如图1所示．，，，，，，．（2）解：结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．①当点在直线上方时，如图2所示．过点作．，，，，，，．②当点在直线下方时，如图3所示．过点作．，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．5．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．

【答案】（1），理由见解析；