专题1.5 全称量词与存在量词【七大题型】（解析版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题1.5全称量词与存在量词【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1全称量词命题与存在量词命题的理解】 2【题型2全称量词命题与存在量词命题的真假】 3【题型3根据命题的真假求参数】 4【题型4全称量词命题的否定】 6【题型5存在量词命题的否定】 7【题型6命题否定的真假判断】 8【题型7根据命题否定的真假求参数】 10【知识点1全称量词与存在量词】1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【题型1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1】（2022秋·福建莆田·高一校考阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（

）A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360°C．至少有一个整数x，使得x2+3x是质数 D．∃x∈R【解题思路】根据全称量词命题的定义分析判断.【解答过程】对于ACD，均为存在量词命题，对于B中的命题是全称量词命题.故选：B.【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（

）A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数【解题思路】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题.【解答过程】根据全称量词和存在量词的定义可知，A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.故选：D.【变式1-2】（2022秋·四川乐山·高一校考阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数【解题思路】根据存在量词与全称量词的定义即可得到答案.【解答过程】对A选项，任何是全称量词，故A错误；对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误；对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误；对D选项，存在是存在量词，故D正确；故选：D.【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题的个数是（

）①任何实数都有平方根;②所有素数都是奇数;③有些一元二次方程无实数根;④三角形的内角和是180°．A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据全称命题的定义即可判断答案.【解答过程】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，故选：D．【题型2全称量词命题与存在量词命题的真假】【例2】（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）下列命题正确的是（

）A．l是最小的自然数 B．所有的素数都是奇数C．∀x∈R,sinx+2>0 D．对任意一个无理数x，【解题思路】根据全称量词命题的知识确定正确答案.【解答过程】0是最小的自然数，所以A选项错误.2是素数，但2是偶数，所以B选项错误.由于−1≤sinx≤1，所以2是无理数，但22故选：C.【变式2-1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）下列命题中是真命题的为（）A．∃x∈N，使4x<−3 B．∀x∈RC．∀x∈N，2x>x2【解题思路】对于A，通过解不等式判断，对于B，由一个数的平方非负判断，对于C，举例判断，对于D，解方程判断.【解答过程】对于A，由4x<−3，得x<−34，所以不存在自然数使对于B，因为∀x∈R时，x2≥对于C，当x=2时，2x对于D，由3x−2=0，得x=2故选：B.【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（

）A．所有菱形的四条边都相等B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈NC．任意x∈R，x2+2x+1>0D．π是无理数【解题思路】首先判断全称量词命题，再判断真假.【解答过程】选项A、C是全称量词命题，选项C，当x=−1时，x2故选：A.【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使xC．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使1【解题思路】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案.【解答过程】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；对选项B：是存在量词命题，当x=0时，x2对选项C：3+对选项D：对于任何一个负数x，都有1x故选：B.【题型3根据命题的真假求参数】【例3】（2023春·广东惠州·高一校考阶段练习）已知命题“∀x∈−3,3，−x2+4x+a≤0”为假命题，则实数A．(−4,+∞) C．−∞,21 【解题思路】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可.【解答过程】因为命题“∀x∈−3,3，−所以−x2+4x+a>0在x∈[−3,3]而一元二次函数−x2+4x+a即−22+4×2+a>0故选：A.【变式3-1】（2023秋·河北邢台·高一校考期末）命题p:∃x0∈R，使得kx02A．0,1 B．0,1C．−∞,0∪【解题思路】根据p是假命题，得出¬p为真命题，利用恒成立知识求解.【解答过程】因为p是假命题，所以¬p为真命题，即∀x∈R，使得k当k=0时，显然符合题意；当k≠0时，则有k>0，且36k2−4k故选：A.【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）命题“∀1≤x≤2，x2−2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（A．a≥1 B．a≥3 C．a≥2 D．a≤4【解题思路】求出当命题“∀1≤x≤2，x2−2a≤0”是真命题时，实数【解答过程】命题“∀1≤x≤2，x2−2a≤0”是真命题，则因此，命题“∀1≤x≤2，x2−2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是故选：A.【变式3-3】（2023·高一课时练习）已知命题p:∃x∈R，mx2+1≤0；命题q:∀x∈R，x2+mx+1>0．若p，qA．m≤−2 B．m≥2 C．m≥2或m≤−2 D．−2≤m≤2【解题思路】写出命题p，q的否定命题，由题意得否定命题为真命题，解不等式，即可得答案.【解答过程】因为命题p为假命题，则命题p的否定为真命题，即：∀x∈R,mx解得m≥0，同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即∃∈R,x所以Δ=m2−4≥0，解得m≥2综上：m≥2，故选：B.【知识点2全称量词命题与存在量词命题的否定】1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【题型4全称量词命题的否定】【例4】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）命题“∀x>0,x>x”的否定是（

A．∀x>0,x≤x B．C．∀x≤0,x>x D．【解题思路】利用含有一个量词的命题的否定求解.【解答过程】解：因为命题“∀x>0,x>x所以其否定是存在量词命题，即∃x>0,x≤x故选：B.【变式4-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知命题p：∀a∈N，∃b∈N，使得a>b，则¬p为（）A．∃a∈N，∀b∉N，使得a≤bB．∃a∉N，∀b∉N，使得a≤bC．∃a∈N，∀b∈N，使得a≤bD．∀a∈N，∀b∈N，使得a≤b【解题思路】由全称命题和特称命题的否定形式，可得解.【解答过程】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题p：∀a∈N，∃b∈N，使得a>b的否定¬p为：∃a∈N，∀b∈N，使得a≤b.故选：C.【变式4-2】（2023秋·广西河池·高一统考期末）命题“∀x∈R,2x2+3x−5>0A．∀x∈R,2x2+3x−5<0C．∃x∈R,2x2+3x−5≤0【解题思路】根据全称命题的否定，可得答案.【解答过程】由全称命题的否定知原命题的否定为∃x∈R,2x故选：C．【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）命题p:∀a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根，则对命题p的真假判断和¬pA．真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程xB．假命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程xC．真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程xD．假命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x【解题思路】利用判别式判断根的情况，进而判断命题真假，并写出否命题即可.【解答过程】在一元二次方程x2−ax−1=0中Δ=故命题p为真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x故选：A.【题型5存在量词命题的否定】【例5】（2023春·河南·高一校联考开学考试）命题“∃x∈N,5A．∀x∈N,5C．∀x∈N,5x【解题思路】根据特称命题的否定相关知识直接求解.【解答过程】命题“∃x∈N,5故选：C.【变式5-1】（2023·宁夏银川·校考三模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（

）A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数【解题思路】根据存在量词命题p:∃x∈M,p(x)，否定为¬p:∀x∈M,¬p(x)，即可解得正确结果.【解答过程】由于存在量词命题p:∃x∈M,p(x)，否定为¬p:∀x∈M,¬p(x).所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B.【变式5-2】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）命题“∃x>0，x2−ax+b>0”的否定是（A．∃x>0，x2−ax+b≤0 B．∃x≤0C．∀x≤0，x2−ax+b≤0 D．∀x>0【解题思路】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【解答过程】命题“∃x>0，x2其否定为：∀x>0，x2故选：D.【变式5-3】（2023·宁夏银川·校考二模）已知命题P的否定为“∃x∈R,xA．命题P为“∃x∈R,xB．命题P为“∀x∉R,xC．命题P为“∀x∈R,xD．命题P为“∃x∈R,x【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案.【解答过程】∵命题P的否定为特称命题,∴P:∀x∈R,x2因为当x=0时,x2∴P为假命题,排除B.故选:C.【知识点3命题的否定与原命题的真假】1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2.命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【题型6命题否定的真假判断】【例6】（2023秋·河南周口·高一校考期末）写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x-3>x；(3)∀x∈R，有x+1=2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【解题思路】根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．【变式6-1】（2022秋·高一校考课时练习）写出下列命题的否定，并判断真假.(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形.【解题思路】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.【解答过程】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.【变式6-2】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．(1)末尾数是偶数的数能被4整除；(2)对任意实数x，都有x2(3)方程x2【解题思路】（1）利用全称命题的定义进行判断原命题，又2不能被4整除，可得命题的否定为真；（2）利用全称命题的定义进行判断原命题，又当x=3时符合不等式，则命题的否定为真；（3）利用特称命题的定义进行判断原命题，又方程的两根为6和−1，则则命题的否定为假．【解答过程】（1）该命题是全称命题，该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；该命题的否定是真命题．（2）该命题是全称命题，该命题的否定是：存在实数x，使得x2该命题的否定是真命题．（3）该命题是特称命题，该命题的否定是：方程x2【变式6-3】（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x−3>x(3)∀x∈R，有x+1=2x【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;对(2)举例说明4x−3≤x不成立;对(3)举例说明x+1≠2x成立.【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀x∈R，有4x−3≤x．因为当x=2时，4×2−3=5>2，所以“∀x∈R，有（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使【题型7根据命题否定的真假求参数】【例7】（2023·高一课时练习）设命题p:方程x2+2mx+4=0有实数根；命题q:方程x2+2(m−2)x−3m+10=0有实数根．已知p和【解题思路】分别求解p和¬q为真命题时的m的取值，取交集可得答案.【解答过程】当命题p:方程x2+2mx+4=0有实数根为真命题时，Δ=4m2当命题q:方程x2+2(m−2)x−3m+10=0有实数根为真命题时，4m−22−410−3m≥0，解得m≥3所以p和¬q均为真命题时m∈2,3【变式7-1】（2022秋·高一课时练习）已知命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．【解题思路】根据¬q为假命题，可判断q为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可；【解答过程】因为¬q为假命题，所以q为真命题，命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题