预备知识13 幂函数（解析版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题13预备知识十三：幂函数1、通过具体实例，了解幂函数的定义，会画，，，，五个幂函数的图象，理解它们的性质；2、通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法．知识点一：幂函数的概念1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.2、幂函数的特征①中前的系数为“1”②中的底数是单个的自变量“”③中是常数知识点二：幂函数的图象与性质1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）当时，我们得到五个幂函数：；；；；2、五个幂函数的性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在上单调递增在上单调递减在单调递增在上单调递增在单调递增在上单调递减在上单调递减定点3、拓展：①，当时，在单调递增；②，当时，在单调递减.对点特训一：求幂函数的值典型例题例题1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（）A． B．2 C．4 D．【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得，所以，所以.故选：C例题2．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则．【答案】/0.5【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值.【详解】设幂函数的解析式为∵幂函数过点∴∴∴该函数的解析式为，∴.故答案为：精练1．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可.【详解】因为是幂函数，所以，即，所以，.故选：A.2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数是幂函数，则．【答案】4【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得，，.故答案为：对点特训二：求幂函数的解析式典型例题例题1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（

）A．2或 B． C．2 D．或【答案】B【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值.【详解】由题意可知，，解得：或，当时，，函数在上是减函数，成立，当时，，函数在上是增函数，不成立，所以.故选：B例题2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点.(1)求的解析式；(2)解不等式.【答案】(1)；(2)且.【分析】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得.（2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式.【详解】（1）由是幂函数，得，解得或，由的图象与坐标轴无交点，得，则，所以的解析式是.（2）显然函数是偶函数，且在上单调递减，不等式，因此，解得且，所以原不等式的解集为且.精练1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式.【答案】（答案不唯一）【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数.【详解】因为对，则在上为减函数，又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可，故可取.故答案为：（答案不唯一）.2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知幂函数的图像关于轴对称，则.【答案】1【分析】由幂函数和偶函数的性质求解即可.【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或.当时，，是奇函数，图象不关于轴对称；当时，，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意，所以的值为1.故答案为：.对点特训三：求幂函数的值域典型例题例题1．（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足：①在上为增函数，②对，都有，求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.【答案】，【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域.【详解】因为在上为增函数，所以，解得，又，所以，或．又因为，所以是偶函数，所以为偶数．当时，满足题意；当时，不满足题意，所以，又因为在上递增，所以，，故时，的值域是．例题2．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数，其中，满足：①在区间上单调递增；②对任意的，都有.求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域.【答案】，值域为【分析】先根据幂函数的性质求出，，再根据单调性可得的值域.【详解】因幂函数在区间为增函数，则，即，解得：，又因，所以或，当时，为偶函数，不满足；当时，为奇函数，满足；故，当时，，即函数的值域.精练1．（23-24高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设函数，求函数在区间，上的值域．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可；（2）求出的解析式，根据函数的单调性求出函数的值域即可．【详解】解：设函数的解析式为，则，解得：，故，；（2）由（1），在递增，故，，故函数的值域是．【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查函数的值域以及函数的单调性问题，属于基础题．2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数（其中，）满足：①在区间上为减函数；②对任意的，都有.求幂函数的解析式，并求当时，的值域.【答案】，值域为【解析】根据条件分析，0，1，依次检验①②，即可得解.【详解】解：，，，0，1.对任意，都有，即，是偶函数.当时，，满足条件①②；当时，，不满足条件①；当时，，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数的解析式为，且在区间上是增函数，当时，函数的值域为.【点睛】此题考查根据幂函数的概念结合单调性和奇偶性求函数解析式，根据函数解析式求函数值域.对点特训四：幂函数的图象问题典型例题例题1．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；对于D：函数的定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确.故选：D例题2．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可.【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增；当时，易知为幂函数，在单调递增.故函数,图象如图所示:要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.故选：C.精练1．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）

A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增，且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线；当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线，是曲线；综上所述幂函数，，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.故选：D.2．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为.（请用“”连接）【答案】【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解.【详解】对于，由其图象可知，例如；对于，由其图象可知，例如；对于，由其图象可知，例如；所以.故答案为：.对点特训五：幂函数图象过定点问题典型例题例题1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为.【答案】【分析】根据幂函数的图象与性质，直接求出定点坐标即得.【详解】因为对任意实数，当时，，所以所有幂函数的图象都过点.故答案为：例题2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为.【答案】4【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值.【详解】函数的图象恒过定点，所以,因为，所以，当时，的最小值为4.故答案为：4精练1．（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是．【答案】【分析】根据，即可知恒过定点.【详解】因为，故当，即时，，即函数恒过定点.故答案为：.2．（20-21高一·全国·课后作业）函数的图象过定点．【答案】【分析】由幂函数的图象过，将代入，可求出答案.【详解】幂函数的图象过，将代入，可得，所以函数的图象过定点.故答案为：.【点睛】本题考查函数图象过定点问题，注意利用幂函数过定点的性质，属于基础题.对点特训六：幂函数的单调性及其应用典型例题例题1．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【答案】A【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，又因为对任意，且，满足，即对任意，都有，故函数是幂函数且在上单调递增，所以，所以，则，明显为上的奇函数，由得，所以，所以.故选：A.例题2．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.（1）求的值及函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解.（2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解.【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且，所以在区间为单调递增函数，所以，解得，由，。又函数的图像关于轴对称，所以为偶数，所以，所以.（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，所以不等式，等价于，解得或，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.精练1．（23-24高二·浙江·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断【答案】B【解析】根据函数为幂函数以及函数在的单调性，可得，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.【详解】由题可知：函数是幂函数则或又对任意的且，满足所以函数为的增函数，故所以，又，所以为单调递增的奇函数由，则，所以则故选：B【点睛】本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如，属中档题.2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式.【答案】（答案不唯一）【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数.【详解】因为对，则在上为减函数，又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可，故可取.故答案为：（答案不唯一）.对点特训七：幂函数的奇偶性典型例题例题1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则.【答案】或【分析】由题意，结合幂函数的性质即可求解.【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数，所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数.故答案为：或例题2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减．(1)求m和k的值；(2)求满足的实数a的取值范围．【答案】(1)，或；(2)【分析】（1）根据函数为幂函数，列式计算，即可求得k的值；根据幂函数的单调性求得m的值，结合奇偶性即可确定m的取值.（2）结合（1）可得，即为，利用幂函数的性质，分类求解不等式，即可求得答案.【详解】（1）由函数为幂函数，则，解得或；由在上单调递减，得，解得，而，故或2，当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意；当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意；故，或；（2）结合（1）可知，即为，故或或，解得或或，故实数a的取值范围为.精练1．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是.【答案】【分析】根据幂函数的性质得到，再结合函数的奇偶性求出答案.【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，当时，，定义域为，又，故为奇函数，舍去；当时，，定义域为，又，故为奇函数，舍去；当时，，定义域为，又，故为偶函数，满足要求，当时，，定义域为，故不为偶函数，舍去.故答案为：2．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称.(1)求实数的值；(2)若不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解；（2）根据的定义域以及单调性分析求解.【详解】（1）因为函数是幂函数，则，即，解得或1，又因为函数关于轴对称，当时，则为偶函数，满足题意；当时，则为奇函数，不满足题意；综上所述：实数的值为.（2）函数，则函数在定义域内单调递减，由可得:，解得，所以实数的取值范围为.1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（）A． B．2 C．4 D．【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得，所以，所以.故选：C2．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可.【详解】对于A，为偶函数，不符合题意；对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意；对于C，为偶函数，不符合题意；对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意．故选：B．3．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可.【详解】因为是幂函数，所以，即，所以，.故选：A.4．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论．【详解】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为.故选：D5．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（

）A． B．3 C．1或 D．或3【答案】A【分析】令系数等于1，得到或，排除不合要求的解，得到答案.【详解】令，解得或，当时，，图象经过坐标原点，不合要求，当时，，图象不经过坐标原点，满足要求.故选：A6．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】把的取值逐个代入检验可得答案.【详解】当时，若恒成立，则，即，由于，所以恒成立，此时符合题意；当时，若恒成立，则，即，由于，所以恒成立，此时符合题意；当时，若恒成立，则，即，由于，所以不成立，此时不符合题意；当时，若，则，不满足，不合题意.故选：C7．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.【详解】当时，，故当时，有最小值为；时，单调递减，所以，由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.故选：A8．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，在上单调递减，所以，解得，所以的取值范围是故选：C