预备知识11 函数的单调性与最大（小）值（原卷版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题11预备知识十一：函数的单调性与最大（小）值1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力2、会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养3、在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程知识点一：函数的单调性1、增函数与减函数1.1增函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).1.2减函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).2、函数的单调性与单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．3、常见函数的单调性函数单调性一次函数（）当时，在上单调递增当时，在上单调递减反比例函数（）当时，在和上单调递减当时，在和上单调递增二次函数（）对称轴为当时，在上单调递减；在上单调递增当时，在上单调递增；在上单调递减知识点二：函数单调性的判断与证明1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为①取值：任取，，且；②作差：计算；③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性2、图象法一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.3、性质法（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；（3）和的公共定义区间，有如下结论；增增增不确定增减不确定增减减减不确定减增不确定减知识点三：函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有②，使得那么称是函数的最大值；2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：①，都有②，使得那么称是函数的最小值对点特训一：利用定义法判断或证明函数的单调性典型例题例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．例题2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；精练1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且．(1)求函数的解析式；(2)用定义证明函数在上是增函数.2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数.(1)判断函数在上的单调性，并加以证明.对点特训二：求函数的单调区间典型例题例题1．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．和例题2．（23-24高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．，例题3．（2024高一上·全国·专题练习）函数的单调增区间是（）A． B．C． D．精练1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的单调递减区间为（）A．（－∞，＋∞）B．（0，＋∞）C．（－∞，0）∪（0，＋∞）D．（－∞，0），（0，＋∞）2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函数，的单调减区间为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·天津南开·期中）函数单调减区间是（

）A． B． C． D．对点特训三：利用函数的单调性解不等式典型例题例题1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．例题2．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是．例题3．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．精练1．（2024高三·全国·专题练习）已知f（x）在定义域R上是增函数．若f（a2－2）＞f（a），则实数a的取值范围是2．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是.3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数．(1)判断函数在上的单调性，并证明；(2)若，求的取值范围．对点特训四：利用函数的单调性求参数典型例题例题1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是．例题2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）设，若在R上单调，则m的取值范围为．例题3．（23-24高一上·河北·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围.精练1．（23-24高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上是增函数，则a的取值范围.2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是.3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是．对点特训五：求函数最值（值域）典型例题例题1．（2024高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是．例题2．（2024·山西运城·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是.精练1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，设，则函数的最大值是．2．（23-24高一上·广东汕头·期末）若函数的值域为，则的取值范围是对点特训六：二次函数（含参数）最值问题典型例题例题1．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是，在区间的最大值是．例题2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数的最小值是.例题3．（23-24高一上·北京房山·期中）函数在上的最大值等于．精练1．（23-24高一上·四川达州·期中）函数在上的最小值为.2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数，求的最小值.3．（23-24高一上·吉林白城·期末）函数，的值域是.对点特训七：根据最值（值域）求参数典型例题例题1．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）.A． B． C． D．例题2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例题3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若函数的定义域和值域都为，则的值是．例题4．（2024高一·江苏·专题练习）函数的定义域为，值域为，则精练1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（

）A．-1 B．1 C．2 D．33．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．对点特训八：恒成立（能）成立问题典型例题例题1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（

）A． B． C．0 D．3例题2．（23-24高一下·云南·阶段练习）设函数，其中.(1)若命题“”为假命题，求实数的取值范围；(2)若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.例题3．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为，且．(1)求的解析式；(2)当时，恒成立，试确定实数的取值范围．例题4．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数.(1)解不等式；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.精练1．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）设函数，其中.(1)若，求函数在区间上的值域；(2)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数.(1)求；(2)当时，试运用函数单调性的定义判定的单调性；(3)设，若在时有解，求的取值范围.4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数．(1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值；(2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围．一、单选题1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·广东潮州·期中）下列函数在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2024高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，，若有最小值，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．（23-24高一上·云南·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（23-24高一上·四川内江·期中）