预备知识03 集合的基本运算（解析版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题03预备知识三：集合的基本运算1、理解并、交集的含义，会求简单的并、交集2、借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质3、根据并、交集运算的性质求参数问题1、交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．2、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．3、补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．4、集合的运算性质（1），，．（2），，．（3），，．5、高频结论（1）．（2）,．对点特训一：交集角度1：交集的概念及运算典型例题例题1．（2024·山东聊城·二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由交集的定义求解.【详解】集合，则.故选：D例题2．（2024·全国·模拟预测）若集合，则集合的真子集的个数为．【答案】3【分析】根据交集运算求出，然后由n元集合的真子集个数为可得.【详解】因为，所以，所以集合的真子集的个数为．故答案为：3精练1．（2024·陕西西安·模拟预测）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合交集运算可得.【详解】因为，所以.故选：A2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】因为，所以.故选：A.角度2：根据交集的结果求集合或参数典型例题例题1．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合..若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用集合中交集的运算法则求解即可.【详解】集合..，.故选：C例题2．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为.【答案】或，【分析】由题意分集合是否为空集进行讨论，结合，列出相应的不等式（组），从而即可得解.【详解】集合，集合，且，若，则，即，此时满足，即满足题意；若，则，即，此时若要使得，则还需或，解得或，注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或；综上所述，实数的取值范围为.故答案为：或，.精练1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知集合，若的子集有4个，则的值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意，得到中有2个元素，且这两个元素为和，即可求解.【详解】由集合，因为，且的子集有4个，可得中有2个元素，则这两个元素为和，所以.故选：C.2．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则.【答案】2【分析】根据已知条件，结合交集的定义，讨论或4即可求解．【详解】集合，集合，，则是的子集，当时，等式不成立，舍去，当时，解得，此时，，满足题意，故．故答案为：2．角度3：根据交集的结果求元素个数典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.【详解】依题意，，若，解得（时不满足集合的互异性，舍去），若，解得（时不满足集合的互异性，舍去），综上所述，或.故选：B例题2．（23-24高一上·广东珠海·期中）设，，若，写出由实数所有可能值组成的集合.【答案】【分析】分和讨论即可.【详解】由解得或，则，因为，所以，当时，，满足题意；当时，，则有或，解得或.综上，实数所有可能值组成的集合为.故答案为：精练1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知，，则满足条件的集合的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】C【分析】根据给定条件，确定集合A中可能的元素即可得解.【详解】由，，得集合A中必有1，可能有2或3，因此集合A可视为与的子集的并集，而的子集有4个，所以满足条件的集合的个数为4.故选：C2．（23-24高三上·山西临汾·期中）设集合，，则满足且的集合的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】列举出满足条件的集合，可得出结果.【详解】已知集合，，则满足且的集合有：、、、，共个.故选：B.对点特训二：并集角度1：并集的概念及运算典型例题例题1．（2024·四川南充·二模）设集合，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简集合，根据并集的定义写出.【详解】，.故选：D.例题2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）若集合或，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】运用集合的并集的定义，借助于数轴表示即得.【详解】由或可知，.故选：C.精练1．（2024高三下·北京·专题练习）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据并集的运算可得答案．【详解】因为，，所以.故选：D2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出两个集合，再根据并集的定义即可得解.【详解】由题，，，则.故选：D.角度2：根据并集的结果求集合或参数典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）设集合．若，则（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据，以及集合中元素的互异性即可求解.【详解】因为，所以，所以．由，得或；由得，所以．此时符合题意，故选：B．例题2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，集合．(1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值；(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由判别式为0可得；（2）由得，然后对分类讨论可得；【详解】（1）集合B元素个数为1．，即，解得：；（2）∵，∴对集合B讨论：当时，即时，，满足条件；当时，即，此时，满足条件；当时，要满足条件，必有，由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去综上所述，实数a的取值范围是精练1．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知集合，，且，则实数n的值为（

）A．0 B．1 C．0或 D．【答案】C【分析】由题意得，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解.【详解】由题意，所以，而，即，所以或，解得或满足题意.故选：C.2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，.(1)若，求实数的值；(2)若且，求实数的值.【答案】(1)5(2)【分析】（1）由题意得出，再利用韦达定理求得参数值；（2）由题意得出，求得值后，再代入检验．【详解】（1）由题可得，由，得.从而2，3是方程的两个根，即，解得.（2）因为，.因为，又，所以，即，，解得或.当时，，则，不符合题意；当时，，则且，故符合题意，综上，实数的值为.角度3：根据并集的结果求元素个数典型例题例题1．（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据集合的并运算,结合集合的元素满足互异性即可求解.【详解】由于，，，所以或,故选：B例题2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知集合，则满足的实数的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得，则可得或，求出后，再根据集合中的元素具有互异性判断即可.【详解】因为，所以，因为，所以或，当时，，此时集合中有两个1，所以不合题意，舍去，当时，得或，当时，集合和集合中均有两个1，所以不合题意，舍去，当时，，符合题意，综上，，所以满足的实数的个数为1，故选：B精练1．（2024·辽宁沈阳·三模）设集合，则满足的集合B的个数是（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B【分析】根据集合交运算的结果，结合集合的元素，直接求解即可.【详解】，又，则的元素必有，故可以为如下个集合中的任意一个：.故选：B.2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知集合，若，满足条件的集合B有个．【答案】4【分析】利用并集的概念分类讨论即可.【详解】根据题意可知：若集合B有一个元素，则，若集合B有两个元素，则或，若集合B有三个元素，则，综上满足条件的B有4个.故答案为：4.对点特训三：补集角度1：补集的概念及运算典型例题例题1．（2024·北京丰台·二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由补集和交集的定义求解.【详解】集合，，，.故选：C例题2．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据补集的定义即可得解.【详解】因为全集，集合，所以.故选：B.精练1．（2024·全国·二模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.【详解】全集，，则，而，所以.故选：B2．（2024·安徽池州·模拟预测）设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】易得阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解.【详解】由题意得，阴影部分表示的集合为．故选：C.角度2：根据补集运算确定集合或参数典型例题例题1．（23-24高一·全国·课后作业）设集合，全集,若,则有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式得到，再求出，利用数轴法即可得到.【详解】由，解得，故因为，，所以，又因为，由数轴法得.故选：C.例题2．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合(1)若，求；(2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据并集的概念求出答案；（2）选①②③均可得到，从而得到不等式组，求出答案.【详解】（1）时，，故；（2）选①，，则，由于，故，故，解得，故实数的取值范围是；选②，，故，由于，故，故，解得，故实数的取值范围是；选③，，故，由于，故，故，解得，故实数的取值范围是.精练1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）设集合，集合，若，则的取值范围为.【答案】【分析】先得到，从而由交集为空集得到的取值范围.【详解】由题意得，故，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：2．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值【答案】【分析】根据补集运算求解即可.【详解】由题意可知：，则，解得，所以实数的值为.对点特训四：集合的并交补角度1：并交补混合运算典型例题例题1．（2024·天津·二模）设集合，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用交集与并集的概念计算即可.【详解】易知，所以.故选：C例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解.【详解】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，因为，，，所以，则.故选：A．精练1．（2024·吉林延边·一模）已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示，再根据补集和交集的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示，，所以.故选：C.2．（2024·全国·模拟预测）已知全集，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据Venn图结合交、并、补集的定义可得.【详解】如图，因为，且，所以．故选:B．

角度2：根据并交补混合运算确定集合或参数典型例题例题1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，(1)求集合中的所有整数；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，0，1，2，3；(2).【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数；（2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围.【详解】（1）不等式，解得，得∴集合中的所有整数为，0，1，2，3；（2）∵，∴，①当时，，即，成立；②当时，由，有，解得，所以实数的取值范围为.例题2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，集合．(1)求和；(2)设，若，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案；（2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案.【详解】（1）由题意，可得，所以，．（2）因为，若，所以解得，所以a的取值范围是．例题3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据集合运算的定义计算；（2）由已知得，再由集合包含的关系得出不等式，从而得出结论．【详解】（1）由已有，或，∴；（2）∵，∴，若，则，则，满足题意；若，则，解得，∴，综上，的取值范围是．精练1．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）设集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)设，若且，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.（2）因为且，所以集合中至少存在一个整数，得，求解即得.【详解】（1），且，所以.若，此时，解得；若，此时，且，解得，则实数的取值范围是.（2）因为且，所以集合中至少存在一个整数.或，，要使中至少存在一个整数，则，解得，则实数的取值范围是.2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.（2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.【详解】（1）当时，，∴.（2），则是的子集，，当，即时，，满足题意；当时，或解得：综上得的取值范围是：.3．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围.【答案】【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可.【详解】∵.假设，则①，有，解得；②，有，a无实数解；③，有，解得；④，有，a无实数解.∴时，，即满足的实数a的取值范围是对点特训五：图典型例题例题1．（2024·广西南宁·一模）已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图形所表示的含义再结合交集和补集的定义即可.【详解】因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，又，所以韦恩图中的阴影部分表示的集合是.故选：C.例题2．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）全集，集合的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，得到阴影部分表示的集合.【详解】图中阴影部分表示的集合为中元素去掉的元素后的集合，，故图中阴影部分表示的集合为.故选：B精练1．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是.故选：D.2．（2024·宁夏银川·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求集合A，结合集合间的运算分析求解.【详解】由题意可得：，可得，所以图中阴影部分表示的集合为.故选：A.一、单选题1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知集合，则集合的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】易知，结合交集的概念与运算即可求解.【详解】由题意知，，所以，共3个元素.故选：A2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，为除以3余1的整数的集合，则的元素个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】求出集合B，由交集运算可得.【详解】由于除以3余1的数可以写成，，故．又，所以，所以的元素个数是4．故选：D．3．（2024·上海松江·二模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接根据交集概念求解.【详解】因为集合，，所以.故选：D.4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.【详解】因为中恰有三个元素，所以或或，结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或.故选：D．5．（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出全集，然后根据补集运算可得.【详解】因为，，所以.故选：D6．（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由并集和补集的定义求解即可.【详解】因为，故，所以.故选：D.7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，，，则集合的子集共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．8个【答案】C【分析】首先用列举法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集个数.【详解】因为，又，所以，所以，则集合的子集共有个．故选：C8．（2024·云南昆明·模拟预测）若集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用并集及补集的定义即可求解.【详解】因为，所以或，所以.故选：C.二、多选题9．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（

）A．集合的真子集有个 B．C． D．，【答案】BCD【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个判断A，依题意可得，即可判断B，根据，判断C，由判断D.【详解】对于A：因为含有个元素，则集合的真子集有个，故A正确；对于B：因为且，所以，则，故B错误；对于C：因为，显然，，所以不是的子集，故C错误；对于D：依题意，所以，显然，故D错误.故选：BCD10．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项.【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且，所以阴影部分可表示为，A对；且，阴影部分可表示为，而，故C错误；且，阴影部分可表示为，D对；显然，阴影部分区域所表示的集