衔接点04 一元二次方程（原卷版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

衔接点04一元二次方程1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根3、能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义。1、一元二次方程根的判别式一元二次方程（均为常数）的判别式.（1）时，（）有两个不相等的实数根；（2）时，（）有两个相等的实数根；（3）时，（）没有实数根.注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式.2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程有两个根分别是，则：，，则所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系如果的两个根分别为，则：，这一关系式也被称为韦达定理.对点特训一：利用根的判别式判断一元二次方程根的个数典型例题例题1．（2024·安徽·三模）关于的一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定例题2．（2024·四川泸州·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根精练1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a，b，c为常数，，则关于x的一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判定2．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程不相等的实数根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4对点特训二：根据根的个数求参数典型例题例题1．（2024·北京大兴·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2024·上海静安·二模）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是．精练1．（2024·四川广安·二模）若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（

）A．2 B．1 C．0 D．2．（2024年北京市石景山区九年级中考一模数学试题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为．对点特训三：解一元二次方程角度1：直接开平方法典型例题例题1．（23-24七年级下·河北保定·期中）若，则等于（

）A．4 B． C． D．或4例题2．（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列方程中的值：(1)；(2)．精练1．（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：．2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）求满足下列各式x的值(1)；(2)．角度2：配方法典型例题例题1．（安徽省蚌埠市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）用配方法解方程时，变形正确的是（

）A． B．C． D．例题2．（2024·甘肃陇南·一模）解方程：．精练1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程：角度3：因式分解法典型例题例题1．（23-24九年级下·四川眉山·期中）方程的解为．例题2．（23-24八年级下·安徽池州·期中）（1）解方程：（2）解方程：精练1．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用适当的方法解下列方程．(1)．(2)．2．（22-23八年级下·福建福州·期中）解方程：(1)；(2)．角度4：利用求根公式求解典型例题例题1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：(1)．例题2．（2024·陕西西安·三模）解方程：．精练1．（23-24八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程(1)（公式法）．2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）解方程．(1)；角度5：换元法求解典型例题例题1．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：令，原方程化成解得（不合题意，舍去）原方程的解是．请模仿上面的方法解方程：例题2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(1)方程的解为________．(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．精练1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题：(1)若，则的值为___________；(2)解方程：．2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．当时，，．当时，，，．原方程的解为，，，．由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．阅读后解答问题：(1)利用上述材料中的方法解方程：；(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．对点特训四：利用根与系数的关系（韦达定理）求参数典型例题例题1．（23-24八年级下·安徽六安·期中）设、是方程的两个实数根，则．例题2．（23-24九年级下·江西九江·期中）已知，是关于的方程的两根，且，则的值是．精练1．（23-24八年级下·江西宜春·期中）关于x的方程的两个实数根互为相反数，则k的值是．2．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知方程的一根是，方程的另一根为．对点特训五：利用根与系数的关系（韦达定理）求对称式的值典型例题例题1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是．例题2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程.(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；(2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值.精练1．（2024·湖南岳阳·一模）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是．2．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程．(1)如果方程有实数根，求的取值范围；(2)如果是这个方程的两个根，且，求的值．对点特训六：根的判别式和韦达定理综合应用典型例题例题1．（2024·天津和平·一模）已知，是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若，求一元二次方程的根；(3)若，则的值为______．例题2．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式，若存在实数n，当时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．(1)代数式的不变值是________，_______．(2)已知代数式，①若，求b的值；②若，b为整数，求所有整数b的和．精练1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）【综合与实践】【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系．【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：（1）当时，则一元二次方程必有一根是．（2）当时，则一元二次方程必有一根是．请判断两个结论的真假，并说明原因．【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值．2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程．(1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程；(2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值；(3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式．一、单选题1．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（

）A． B． C． D．2．（2024·河南濮阳·一模）已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根3．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（

）A．2024 B． C．－2024 D．4．（2024·重庆·二模）参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（

）A． B．C． D．5．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（

）A．1和2 B．和2 C．2和 D．和6．（2024·湖南常德·一模）某种商品原价是200元，经两次降价后的价格是160元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（

）A． B．C． D．7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的值可能是（

）A．10 B．8 C．5 D．28．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（

）A．3 B． C．6 D．二、填空题9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x的方程的一个根是1，则另一个根是．10．（23-24八年级下·北京·期中）关于x的方程的一个根为，则另一个根是；关于x的方程的两个根分别为、5，则的值为．三、解答题11．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．(1)下列方程是“差积方程”的是；①②③(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；(3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明．12．（2024·山东德州·一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红