衔接点03 因式分解（原卷版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

衔接点03因式分解1、熟练掌握提公因式法和公式法2、能灵活应用十字相乘法3、了解分组分解法一、初中知识再现1、因式分解定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解.2、提公因式法（1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如:（2）概念内涵:①因式分解的最后结果应当是“积”；②公因式可能是单项式,也可能是多项式；③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:3、公式法：3.1公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.3.2公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.4、十字相乘法4.1十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则,同号(若，则,异号)，然后依据一次项系数的正负再确定,的符号（2）若中的,为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.4.2首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.5、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.6、求根公式法对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：.二、高中相关知识1、乘法公式中的立方和、立方差公式：①②2、因式分解中的立方和、立方差公式①②对点特训一：提公因式法因式分解典型例题例题1．（23-24八年级下·全国·课后作业）将多项式提公因式后，另一个因式为（）A． B． C． D．例题2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，，则．精练1．（23-24八年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式正确的是（）A． B．C． D．2．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）分解因式：(1)；(2)．对点特训二：运用公式法分解因式典型例题例题1．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1用配方法因式分解：．解：原式．请根据上述自主学习材料解决下列问题：请用配方法分解因式：(1)；(2)．例题2．（23-24七年级下·江苏常州·期中）把下列各式进行因式分解(1)(2)(3)精练1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）把下列各式因式分解：(1)(2)(3)(4)2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．甲：（先分成两组）．乙：（先分成两组）．两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．(1)试用上述方法分解因式：．(2)利用分解因式说明：因式能被9整除．对点特训三：首项系数为“1”的二次三项式因式分解典型例题例题1．（2024·江西吉安·一模）因式分解：．例题2．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：．题型归类练1．（23-24九年级下·上海·阶段练习）分解因式：．2．（23-24八年级上·重庆璧山·期末）因式分解的结果是．对点特训四：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解典型例题例题1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若是多项式（m为系数）的一个因式，则m的值是（

）A．2 B．4 C．5 D．6例题2．（2023八年级上·全国·专题练习）十字相乘法分解因式：(1)(2)精练1．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：．2．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式：(1)．对点特训五：含参数的十字相乘法典型例题例题1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）解下列关于x的不等式：(1)．例题2．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）分解因式：(1)题型归类练1．（23-24八年级上·四川内江·期中）因式分解(1)2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）（1）因式分解：对点特训六：十字相乘法的综合应用典型例题例题1．（23-24八年级上·云南保山·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题．如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式．如：①因为，所以和是的因式．②若是的因式，则求常数的值的过程如下：解：是的因式，存在一个整式，使得．当时，，此时．将代入得，，解得．(1)是的因式吗？______（填“是”或“不是”）；(2)若整式是的因式，求常数的值．例题2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：①；②；③．通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为(为整数因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成(为整数．例如：．【初步应用】（1）用上面的方法分解因式：______；【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______；精练1．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料：材料将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．(1)根据材料，把分解因式．(2)结合材料和材料，完成下面小题：①分解因式：；②分解因式：．2．（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)结合本题知识，分解因式：．对点特训七：分组分解法（四项式，五项式，六项式等）典型例题例题1．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．例1：“两两分组”：解：原式例2：“三一分组”：解：原式归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：(1)分解因式：①；②．(2)已知的三边，，满足，试判断的形状．例题2．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：甲：（分成两组）（直接提公因式）．乙：（分成两组）（直接运用公式）．请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：(1)因式分解：；(2)已知，，求式子的值；(3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由．精练1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：甲：（分成两组）（直接提公因式），乙：（分成两组）（直接运用公式）请在他们的解法启发下解答下面各题：(1)因式分解：；(2)若，求式子的值．2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识．第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法．第二步：理解知识，尝试填空．（1）______．第三步：应用知识，解决问题．（2）因式分解：①______．②______．第四步：提炼思想，拓展应用．（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．对点特训八：因式分解的应用典型例题例题1．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（

）A． B． C． D．例题2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案：方案1：第一次提价的百分率为p，第二次提价的百分率为q．方案2：第一、二次提价的百分率均为．其中p、q是不相等的正数．设产品的原单价为a元时，上述两种方案使该产品的单价变为：(1)方案1：______；方案2：______；(2)两种方案中哪种提价多？请说明理由．精练1．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法．

(1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______．(2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______．(3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值．一、单选题1．（2024·河南驻马店·一模）下列等式，成立的是（

）A． B．C． D．2．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的值是（

）A． B．24 C． D．103．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．4．（23-24八年级上·河南南阳·期末）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（

）A． B．C． D．5．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．6．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列多项式分解因式结果不含因式的是（

）A． B．C． D．7．（23-24八年级上·重庆万州·期末）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（

）（1）能被整除；（2）若能被整除，则或；（3）若能被整除，则，.A．0 B．1 C．2 D．38．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题9．（23-24八年级上·山东临沂·期末）若多项式可分解为，则的值为．10．（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则．三、解答题11．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）阅读理解并解答：我们把多项式，叫做完全平方