江西省抚州市2023-2024学年高一下学期学生学业质量监测数学试卷

抚州市2023—2024学年度下学期学生学业质量监测高一数学试题卷命题：抚州市教育发展研究中心说明：1．本卷共有4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分．3．所有考试结束3天后，考生可凭准考证号登录智学网（）查询考试成绩，密码与准考证号相同．一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求．1．若复数，则的虚部为（）A． B． C． D．2．的值为（）A． B． C． D．3．直线与平面不平行，则（）A．与相交 B．C．与相交或 D．以上结论都不对4．在中，若，，，则边的长为（）A． B． C． D．5．在中，边上的中线与边上的中线的交点为，若，则（）A．1 B．-1 C． D．6．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中与底面的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．7．同学欲测量名人雕塑园的三元塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为（）A． B． C． D．8．如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（）A． B． C． D．二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对按比例得分，不选或有选错的得0分．9．已知向量，，则的值可以是（）A．1 B．2 C． D．310．如图，正方体中，，为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A． B．平面C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为11．设函数的最小正周期为，且过点，则下列说法正确的是（）A．为偶函数B．的一条对称轴为直线C．把的图象向左平移个单位长度后得到函数的图像，则D．若在上单调递减，则的取值范围为三、填空题：共3小题，每题5分，共15分．12．计算：__________．13．已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________．14．四面体中，，，，则该四面体的体积__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．15．（本小题满分13分）如图，在圆锥中，已知，的直径，点是的中点，点为的中点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面夹角的正弦值．16．（本小题满分15分）已知函数的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，且．（1）求的解析式：（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间．17．（本小题满分15分）若的内角，，的对边分别为，，，满足．（1）求角；（2）若，求周长的取值范围．18．（本小题满分17分）如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标．设向量，在斜坐标系中的坐标分别为，．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标．19．（本小题满分17分）如图所示，四棱锥中，四边形是菱形，棱长为2，，，（1）证明：（2）若，求（3）若，为边的中点，为四棱锥表面上一动点且恒有，求动点的轨迹长．

抚州市2023—2024学年度下学期学生学业质量监测高一年级数学试题答案一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求．题号12345678答案BACBDDCB二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对按比例得分，不选或有选错的得0分．题号91011答案BCACDABD三、填空题：共3小题，每题5分，共15分．12．（或写成0.5） 13． 14．814题解析：该四面体为棱长为2、3、4的长方体的内接四面体，体积为该长方体的四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．15．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【详解】（1）连接，因为，为的中点，所以．又底面，底面，所以，又，面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）连接并延长，与过点且与平行的直线交于点，则面，直线与平面的夹角即为，（如用其他方法逐情给分）16．【答案】（1）（2），．【解析】【小问1详解】由已知得的最小正周期，所以，从而，又，，所以，所以．【小问2详解】由已知得．故，令，，得，，所以函数的单调递减区间为，．17．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】由正弦定理可得：，∴，∵，∴【小问2详解】因为，，所以，故由正弦定理得：所以，所以周长因为，则，所以故求周长的取值范围为．18．【答案】（1）3（2）【解析】【小问1详解】由题可知：，，，则．【小问2详解】，记与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标为．19．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）连接∵，∴，又∵，∴面，∴．（2）取中点，连结并与交于点∵四边形是菱形，∴为正，为其重心∴为的三等分点且，又∵