高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第一册 函数的应用（一）

3.4函数的应用(一)

【学习目标】

课程标准学科素养

1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).1、数学建模

2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点).2、数学抽象

【自主学习】

1.常见的函数模型

常(1)一次函数模型y=kx+b(k,8为常数，4W0)

用(2)二次函数模型y=ax+bx+c{a,b,c为常数，aWO)

函(3)幕型函数模型y=a^'+b{a,6为常数，aWO)

数

ax+b(X/zz),

模(4)分段函数y—\

cx-\-d(x2/)

型

2.解决函数应用问题的步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行:

(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原.

分析、联想、

实际问题建立函数模型

抽象、转化

数

问

学

题

解

解

答

决

转译

实际问题结论数学问题结论

【小试牛刀】

1.二次函数yual+Ax+c中a、b、c如何影响其图象的？

2.一个矩形的周长是20,矩形的长y关于宽x的函数解析式为()(默认y>x)

A.y=10-^(0<K5)

B.y=10-2^(0<X10)

C.y=20—A1(0<A<5)

D.y=20-2^(0<K10)

【经典例题】

题型一一次函数、二次函数模型

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.利用二次函数求最值时应注意：

（1）方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的

单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.

（2）取得最值时的自变量与实际意义是否相符.

例1商场销售进价为30元的商品，在销售中发现商品的销售单价*元与日销售量y件之间有

如下关系：

销售单价x（元）30404550

日销售量y（件）6030150

（1）在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（x,力对应的点，并确定x与y的一个函数

关系式y=f{x）；

⑵设经营此商品的日销售利润为尸元，根据上述关系式写出产关于x的函数关系式，并指出

销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润.

［跟踪训练］1某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以

每小时60吨的速度向池中注水，若匕小时内向居民供水总量为100弧（0或£・24）,则每天何

时蓄水池中的存水量最少.

2

题型二分段函数模型

分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区

间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式.

例2某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间［(天)的函数关系为：

Z+20,0<t<25,

(tGN*)

l-Z+100,25W1W30.

设该商品的日销售量。(件)与时间Z(天)的函数关系为g40—%((KtW30,，WN*),求这

种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？

［跟踪训练］2某车间生产一种仪器的固定成本为10000元，每生产一台该仪器需要增加投入

100元，已知总收入满足函数：

'400xT,0WxW200,x£N,

H(x)='

〔40000,x>200,xWN,

其中x是仪器的月产量.

(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；

(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入=总成本+利润)

3

题型三用幕函数模型解决实际问题

步骤：确定函数模型；利用待定系数法求解解析式，利用解析式解决问题.

例3在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量A与管道半径r的四

次方成正比.

（1）写出函数解析式（可带参数）；

（2）假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s,求该气体通过半径为rcm的管

道时，其流量A的表达式；

【当堂达标】

1.一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km,则这辆汽车行驶的路程y（km）与时间t（h）

之间的函数关系式是（）

A.y=21B.y=120t

C.y=2£(£川)D.y=120t(t^0)

2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一130可收入力/

次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没800.../；

有销售量时的收入是（）/I

A.310元B.300元3—1—2销售量/百件

C.390元D.280元

3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）

①这几年生活水平逐年得到提高;

y

②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；KO

③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；二:

④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略105

100

2014201520162017x

有降低，因而生活水平有较大的改善.

A.1B.2

C.3D.4

4.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩

电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为元.

5.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中4£=4米，切=6米.为了

合理利用这块钢板，将在五边形/况次'内截取一个矩形块①冏4使点P在边应■上.

(1)设物D=x米，PN=y米,将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域;

(2)求矩形以冏/面积的最大值.

5

【参考答案】：

【小试牛刀】

1.二次函数了=。4+"+。的图象由开口方向、对称轴及顶点位置决定.a决定抛物线的开

口方向，直线刀=一怖决定对称轴的位置，当二g决定顶点的纵坐标.

2a4a

2.A解析由题意可知2y+2x=20,即『=10—X,又10—x>x,所以0<冢5,故选A.

【经典例题】

1.解(1)在平面直角坐标系中画出各点，如图.斗

60II!I।I

这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间的关系为一次50-----------

40------------------------

函数关系，30------------------------

20------------------------

60=304+8,1。---------

设/(X)=Ax+Z?(//0,且人”为常数)，则’30=404+8,102030405060x

k=-3,

解得，

6=150.

.•.f(*)=—3x+150,经检验，点(45,15),点(50,0)也在此直线上.

与x之间的函数解析式为y=—3x+150(30WxW50).

(2)由题意，得P=(x-30)(—3x+150)=—3*+240x—4500=—3(x-40)2+300(30Wx

W50).

二当x=40时，尸有最大值300.故销售单价为40元时，日销售利润最大.

[跟踪训练]1解设1小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y=400+60t—100V^(0Wt

W24).

设则[0,2m],y=60t/—10(?j6i/+400=60^/—+150,

.•.当〃=?即1=半时，蓄水池中的存水量最少.

f-i2+20t+800,0<i<25,

例2解设日销售金额为双元)，则尸做所以尸，………―—八(好

Ii2-1401+4000,25W1W30.

N*）

①当0<伏25且®N*时,y=-（t-10）2+900,所以当大=10时，­=900（元）.

②当25WW30且时,y=（1一70）2—900,所以当匕=25时,%殴=1125（元）.

6

结合①②得知x=1125(元).

因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大.

［跟踪训练］2解⑴设每月产量为x台，则总成本为£=10000+100*.又f(x)=〃(x)-K

；-/+300T-10000,0WxW200,xdN,

.,"(X)='

［30000-100x,x〉200,TGN.

(2)当0WxW200时，f(x)=-5—150)2+12500,所以当x=150时，有最大值12500；

当x〉200时，f(x)=30000—100x是减函数，M<30000-100X200<12500.

所以当/=150时，/1(%)取最大值，最大值为12500.

所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12500元.

例3［解］⑴由题意得庐==(4是大于0的常数).

(2)由r=3cm,/?=400cm7s,得一・3'=400,，仁绊，.•.流量■的表达式为4罂•/.

01O1

【当堂达标】

1.D解析90min=1.5h,所以汽车的速度为180・1.5=120km/h,则路程y(km)与时间

i(h)之间的函数关系式是y=120f(.

2.B解析由图象知，该一次函数过(1,800),(2,1300),可求得解析式y=500x+300(x2

0),当x=0时，y=300.

5.