2023-2024学年北京市朝阳外国语学校九年级（上）期中数学试卷

2023-2024学年北京市朝阳外国语学校九年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（共8题，共24分，每小题3分）

1.如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180。后得到的图案（）

2.若点M(1,2)、N(5,2)在抛物线＞=(x-h)2+左上，则〃的值为()

A.4B.3C.2D.1

3.关于龙的一元二次方程（a-2）小+工+*-4=。的一个根是0,则。的值为（）

A.2B.-2C.2或-2D.0

4.如图，△O4B绕点。逆时针旋转90°到△OCQ的位置，已知乙4。8=45°,则/AOO

等于（）

A.55°B.45°C.40°D.35

5.南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共

六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长

与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以

列方程为（）

A.x(尤+30)=864B.x(x+60)=864

C.x2-60x+864=0D.x2-60x-864=0

6.如图，点A在函数y=?（x>0）的图象上，点2在函数y=3（x>0）的图象上，且

xx

A8〃x轴，BCLx轴于点C,则四边形ABC。的面积为（）

7.已知二次函数-27nx（相为常数），当-1WXW2时，函数值y的最小值为-2,

则m的值是（）

A.-2B.1C.2D.-1

8.将二次函数y=-/+2x+3的图象在％轴上方的部分沿无轴翻折后，所得新函数的图象如

图所示.当直线y=x+6与新函数的图象恰有3个公共点时，6的值为（）

A.或-3B.3■或-3C.&■或-3D.旦或-3

4444

二、填空题（共8题，共计24分，每小题3分）

9.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即y2二（k卉0）），已知200度

X

近视眼镜的镜片焦距为0.5机，则丁与X之间的函数关系式是.

10.二次函数月=4%2+加；+0与一次函数'2=如:的图象如图所示，则满足〃%2+/?%+。>如十几

的X的取值范围是

11.已知关于X的一元二次方程x2+(2a-1)x+*=o有两个不相等的实数根，则a的取值

范围是•

12.若点A(相，-2)在反比例函数的图象上，则当函数值丫2-2时，自变量尤的取

值范围是.

13.一副三角板如图放置，将三角板AOE绕点A逆时针旋转a(0°<a<90°),使得三

角板AOE的一边所在的直线与BC垂直，则a的度数为.

14.已知a,b是方程％27-3=0的两个不等的实数根，则c^+b+ab的值为.

15.2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12

时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民

航中高级别的礼仪).如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射

水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷

水口48的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点”处相遇.此时相遇点H距

地面20米，喷水口4、B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形

状及喷水口A'、8'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点/距地面

图①图②

16.如图，点C为线段A8的中点，E为直线A8上方的一点，且满足CE=CB,连接AE,

以AE为腰，A为直角顶点作等腰连接C。，当最大，且最大值为&+1

时，则AB_________

三、解答题（共8大题，共计52分，其中17题8分、18题7分、19-23每小题8分、24

题7分）

17.（8分）解方程

（1）X2-2x=5

（2）2（x-3）=3x（尤-3）

26

18.（7分）解方程：x-2x-力——=1.

x"-2x

19.（6分）已知关于x的一元二次方程*2-ax+a-1=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求。的值.

20.（6分）如图，等腰Rt^ABC中，BA=BC,ZABC=90°,点。在AC上，将

绕点8沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE.

（1）求NOCE的度数；

（2）若A8=4,CD=3AD,求。E的长.

21.（6分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军

赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌

敏洁获得铜牌.在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207c（向后翻腾三

周半抱膝）.如图2所示，建立平面直角坐标系无。y.如果她从点A（3,10）起跳后的

运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）

与水平距离X（单位：米）近似满足函数关系式y=a（x-h）2+k（a<0）.

（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如

下：

水平距离xlm033.544.5

竖直高度必z1010k106.25

根据上述数据，直接写出k的值为,直接写出满足的函数关系

式：;

（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离无近似满足函数关系y

=-5尤2+40尤-68,记她训练的入水点的水平距离为山；比赛当天入水点的水平距离为d2,

则必d2（填“>”"=”或“<”）；

（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点8开始计时，若点8到水平面的距离

为c,则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y=-5fi+c,如果全红婵在达到最高点

后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270c动作，请通过计算说明，她当天的比赛能

否成功完成此动作？

22.（6分）在平面直角坐标系xOy中，记函数yM（x>0）的图象为G,直线/：y=4x+b

x2

经过A（2,3）,与图象G交于8,C两点.

（1）求6的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在8,C之间的部分与线段8c围成

的区域（不含边界）为W.

①当机=2时，区域W内的整点个数为个；

23.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（%o>机），B（无o+4,n）在抛物线y—x2-2bx+l

上.

（1）当6=5,无o=3时，比较加与"的大小，并说明理由；

（2）若对于3WxoW4,都有/<w<l,求6的取值范围.

24.（7分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点。（0,0）,点A（6,0）,

点、B（0,8）.以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形AOEF,点、O,B,C

的对应点分别为。，E,F,记旋转角为a（0°<a<90°）.

（I）如图①，当a=30°时，求点。的坐标；

（II）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点。的坐标；

（III）当点。落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）.

图①图②

2023-2024学年北京市朝阳外国语学校九年级(上)期中数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题(共8题，共24分，每小题3分)

1.如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180。后得到的图案()

【分析】根据旋转的性质可进行求解.

解：由旋转的性质可知只有。选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

2.若点M(1,2)、N(5,2)在抛物线＞=(x-h)2+左上，则h的值为()

A.4B.3C.2D.1

【分析】根据点M(1,2)、N(5,2)在抛物线＞=(x-/z)2+左上，可以得到该抛物

线的对称轴为直线天=力=掾=3,本题得以解决.

解：：点M(1,2)、N(5,2)在抛物线＞=(%-/?)2+左上，

•••该抛物线的对称轴为直线x=〃=掾=3,

故选：B.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二

次函数的性质解答.

3.关于元的一元二次方程(4-2)12+%+〃2-4=0的一个根是0,则4的值为()

A.2B.-2C.2或-2D.0

【分析】由一元二次方程的定义，可知。-2W0；一根是0,代入（。-2）尤2+x+°2-4=

。可得*-4=0.。的值可求.

解：：（a-2）*2+%+°2_4=。是关于x的一元二次方程，-2W0,即aW2①

由一个根是0,代入（a-2）x2+x+a2-4=0,可得那-4=0,解之得。=±2；②

由①②得a=-2.故选8.

【点评】本题考查一元二次方程的定义应用，二次项系数不为0.解题时须注意，此为易

错点.否则选C就错了.

4.如图，△042绕点。逆时针旋转90°到△OC£＞的位置，已知/AOB=45°,则乙40。

等于（）

A.55°B.45°C.40°D.35°

【分析】根据旋转的性质，可得/8。。=90°,即可求解.

解：：△042绕点。逆时针旋转90°到△OCO的位置，

/.ZBOD=90°,

VZAOB=45°,

：.ZAOD=ZBOD-ZAOB=45°.

故选：B.

【点评】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应

点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.

5.南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共

六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长

与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以

列方程为（）

A.尤（x+30）=864B.x（x+60）=864

C.x2-60x+864=0D.x2-6Qx-864=0

【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据

矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

解：•.•矩形田地的长为X步，矩形田地的长与宽的和是60步,

...矩形田地的宽为（60-尤）步.

依题意得：x(60-x)=864,

整理得：x2-60x+864=0.

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正

确列出一元二次方程是解题的关键.

6.如图，点A在函数（x>0）的图象上，点B在函数y=W（x>0）的图象上，且

X

则四边形ABCO的面积为（

C.3D.4

【分析】延长A4交y轴于点D,根据反比例函数上值的几何意义得到SAAD0,X2=1.

S矩形。CBD=3,根据四边形ABC。的面积等于S矩形。CBO-SA4。。，即可得解.

解：延长8A交y轴于点

：.DA_Ly^\,

:点A在函数丫得晨>0）的图象上,

X2=1,

••SAABO4

轴于点C,OBLy轴，点8在函数y=|>（x>0）的图象上,

••S矩形OCBD=3,

四边形ABC。的面积等于S矩形OCBD-S“oo=3-1=2；

故选：B.

【点评】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用.熟练掌握反比例函数中k的几何

意义，是解题的关键.

7.已知二次函数>=机彳2-2/nx（"z为常数），当-1WXW2时，函数值y的最小值为-2,

则m的值是（）

A.-2B.1C.2D.-1

【分析】先求得抛物线对称轴，即可确定出X=1时，尸-2,代入尸32-2〃比即可求

得m的范围.

解：由二次函数y=%7-27加（机为常数），得到对称轴为直线尤=1,

:当-1WXW2时，函数值y的最小值为-2,

.•.开口向上，x=l时，y=-2,

.".m-2m--2,

解得m=2.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

8.将二次函数>=-尤2+2了+3的图象在x轴上方的部分沿无轴翻折后，所得新函数的图象如

图所示.当直线y=x+6与新函数的图象恰有3个公共点时，6的值为（）

【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+6过点8时，直线y=x+6与该新图象恰好有

三个公共点，当直线y=x+6与抛物线尸（x-1）2-4（-14W3）相切时，直线尸

x+6与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可.

解：二次函数解析式为y=-尤2+2尤+3=-（%-1）2+4,

，抛物线y=-x?+2x+3的顶点坐标为（1,4）,

当y=0时，尤2-2%-3=0,解得尤1=-1,电=3,

则抛物线>=-J+2x+3与无轴的交点为A（-1,0）,B（3,0）,

把抛物线>=-丁+2尤+3图象x轴上方的部分沿无轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物

线解析式为>=（尤-1）2-4（-1WXW3）,顶点坐标M（1,-4）,

如图，当直线y=x+b过点8口寸，直线>=尤+匕与该新图象恰好有三个公共点，

，3+6=0,解得b=-3；

当直线y^x+b与抛物线尸（x-1）2-4（-1«）相切时，直线y^x+b与该新图

象恰好有三个公共点，

即（x-1）2-4=x+6有相等的实数解，整理得X2-3X-6-3=0,A=32-4（-^-3）

=0,解得b=-4，

4

所以b的值为-3或-乌，

4

故选：A.

【点评】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定

翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题

的难点.

二、填空题（共8题，共计24分，每小题3分）

9.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距尤（根）成反比例（即y£（k六0）），已知200度

近视眼镜的镜片焦距为05%则y与x之间的函数关系式是y=也&.

X

【分析】由于近视镜度数y(度)与镜片焦距x(米)之间成反比例关系可设〉=四，由

X

200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值.

解：由题意设〉=上，

X

由于点(0.5,200)适合这个函数解析式,则左=0.5X200=100,

•.•尸-1-0-0-.

x

故眼镜度数y与镜片焦距龙之间的函数关系式为：.

X

故答案为：y=J00.

x

【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函

数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

10.二次函数yi=or2+bx+c与一次函数y2=mx+w的图象如图所示，则满足办2+云+。>〃a+〃

【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的X的取值范围即可.

解：由图可知，-3〈尤<0时二次函数图象在一次函数图象上方，

所以，满足狈2+云+(?>如+〃的尤的取值范围是-3<x<0.

故答案为：-3<x<0

【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键.

11.已知关于x的一元二次方程尤2+(2a-1)尤+后=0有两个不相等的实数根，则“的取值

范围是-

-----4-

【分析】根据根的判别式的意义得到(2a-1)2-4«2>0,然后解不等式即可.

解：根据题意得△=(2a-1)2-4°2>0,

解得a<［，

4

所以a的取值范围是

4

故答案为：a<'~7-

4

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=Q(a#0)的根与A=b2-4ac

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当A<0时，方程无实数根.

12.若点A(m，-2)在反比例函数的图象上，则当函数值时，自变量x的取

值范围是xW-2或x>0.

【分析】根据题意可求点A的坐标；画出草图，运用观察法求解.

解：•..点A(m,-2)在反比例函数yJ■的图象上，

-2m=4,m=-2.

AA(-2,-2).

...当函数值y2-2时，自变量x的取值范围是-2或无>0.

【点评】此题考查了反比例函数的图象及其性质以及运用观察法解不等式，难度中等.注

意反比例函数的图象是双曲线.

13.一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转a(0°<a<90°),使得三

角板AOE的一边所在的直线与BC垂直，则a的度数为15。或60°.

【分析】分情况讨论：@DE±BC；@AD±BC.

解：分情况讨论：

①当。E_LBC时，180°-60°-45°=75°,.-.a=90°-NBAD=15°；

②当AOJ_8C时，a=90°-ZC=90°-30°=60°.

故答案为：15°或60°

【点评】本题主要考查了旋转的定义、旋转角的求法以及一副三角板的各个角的度数，

理清定义是解答本题的关键.

14.已知a,b是方程/-X-3=0的两个不等的实数根，则浮+＞油的值为i.

【分析】根据一元二次方程的解定义及根与系数的关系可得a+b=l，ab^-3,a1-a-3

=0,得到a2=q+3,将/+人+浦化为（q+b）+ab+3,代入进行计算即可得到答案.

解：由题意可知：a+b—1,ab--3,a2-a-3=0,

.".a1—a+3,

原式=q+3+6+ob

=（a+b）+ab+3

=1+（-3）+3

=1,

故答案为：L

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，关于x

的一元二次方程办2+云+。=0（。#0）的两个实数根X1，尤2和系数。，b,C,有如下关系：

15.2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12

时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民

航中高级别的礼仪）.如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射

水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷

水口48的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点”处相遇.此时相遇点H距

地面20米，喷水口42距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形

状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点“距地面

米.

图①图②

【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令X

=0求平移后的抛物线与y轴的交点即可.

解：由题意可知：A(-40,4)、8(40,4).H(0,20),

设抛物线解析式为：>="2+20,

将A(-40,4)代入解析式y=ax1+2Q,

2

.'.y=-——+20,

’100

2

消防车同时后退10米，即抛物线y=-二+20向左平移后的抛物线解析式为：y=-

100-

2

(x+10)+20)

100

令尤=0,

解得：j=19,

故答案为：19.

【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图象的平移及坐标轴的交点，解

题的关键是求得移动前后抛物线的解析式.

16.如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足CE=CB,连接AE,

以AE为腰，A为直角顶点作等腰RtZXAOE,连接当CQ最大，且最大值为&+1

时，则A8=2.

【分析】将CA绕点A逆时针旋转90°得AH,连接CH,DH,利用SAS证明△C4E丝

△HAD,得DH=CE,当C、H、。三点共线时，CD最大,从而求出AC的长，即可解

决问题.

解：将CA绕点A逆时针旋转90°得AH,连接C",DH,

：.CA=AH,ZCAH=90°,

・・・AADE是等腰直角三角形，

：.AE=AD,ZDAE=90°,

：.NCAH=NDAE,

：.ZCAE=ZDAHf

：.ACAE^AHAD(SAS),

:・DH=CE,

・••当C、H、。三点共线时，CD最大,

设AC=x,

•・•点。为A8的中点，

：.CA=CBf

♦；CE=CB,

CE=AC=DH=x,CH=，^x,

.\x=1,

：.AB=2AC=2f

故答案为：=2.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，构

造全等三角形是解题的关键.

三、解答题(共8大题，共计52分，其中17题8分、18题7分、19・23每小题8分、24

题7分)

17.(8分)解方程

(1)/-2X=5

(2)2(尤-3)=3x(x-3)

【分析】(1)根据配方法可以解答此方程；

(2)先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程.

解:(1)Vx2-2x=5,

.,.x2-2尤+1=5+1,

(尤+1)2=6,

•'-x+l=±娓'

解得，xp-1+Vb,x2=-l-V6；

(2)V2(尤-3)=3x(x-3),

.,.2(x-3)-3x(x-3)=0,

(x-3)(2-3%)=0,

.*.x-3=0或2-3%=0,

解得，xi=3,xs)/.

43

【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是根据方程的特点选择合适的解答

方法.

26

18.(7分)解方程：x-2x-^——=1.

x-2x

【分析】可根据方程特点设y=P-2达则原方程可化为廿一>一6=0.解一元二次方程

求y,再求

解：设y=N-2x,则原方程化为廿->-6=0.

即(y-3)(y+2)=0,

解得力=-2,、2=3.

当yi=-2时，x2-2x=-2,无解，

当丁2=3时，x2-2x=3.

解得为=3,X2=-L

检验：当阳=3时，9-6_6_=3-2=1,

9-6

当X2=-1时，1+2--=3-2=1,

3

修=3,X2=-1都是原方程的根，

・•・原方程的根是修=3,%2=T.

【点评】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较

简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出

方程解后要验根.

19.(6分)己知关于尤的一元二次方程-"+a-1=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求。的值.

【分析】(1)计算根的判别式的值得到△=(«-2)2\0,然后根据根的判别式的意义

得到结论；

(2)利用因式分解法解方程得到无1=1,无2=。-1，根据题意得a为整数，a-1=2X1

或1=2(a-1),然后解一次方程得到a的值.

【解答】(1)证明：：A=(-a)2-4(a-1)

=层-4a+4

=(a-2)22o,

•••该方程总有两个实数根；

(2)解：X2-ax+a-1=0.

(x-1)[x-(a-1)]=0,

x-l=0或尤-(tz-1)=0,

・・阳=1,=〃-19

•••方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，

.".a为整数，a-1=2X1或1=2(o-1),

解得a=3或片微(舍去)，

的值为3.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c^0(a#0)的根与A—b2-4ac

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.

20.(6分)如图，等腰Rt^ABC中，BA=BC,ZABC=9Q°，点。在AC上，将△A3。

绕点3沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE.

(1)求NOCE的度数；

(2)若AB=4,CD^3AD,求。E的长.

月

D

V—/C

E

【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得NBA。、N3CO的度数，然后由旋转的

性质可求得N5CE的度数，故此可求得NOCE的度数；

（2）由（1）可知△£>虚是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关

系可得到支和。。的长，最后依据勾股定理求解即可.

解：（1）;△ABC为等腰直角三角形，

：.ZBAD=ZBCD=45°.

由旋转的性质可知NBAO=N8CE=45°.

ZDCE=ZBCE+ZBCA=450+45°=90°.

（2）\*BA=BC,NA8C=90°,

・•・AC=VAB2+BC2=4&.

9

：CD=3ADf

.\AD=y/~2fDC=3yf2-

由旋转的性质可知：AD=EC=五.

DE=VCE2+DC2=2炳.

【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求

得/DCE=90。是解题的关键.

21.（6分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军

赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌

敏洁获得铜牌.在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207c（向后翻腾三

周半抱膝）.如图2所示，建立平面直角坐标系xOy.如果她从点A（3,10）起跳后的

运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）

与水平距离X（单位：米）近似满足函数关系式y=”（x-h）2+k（a<0）.

（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离尤与竖直高度y的几组数据如

下：

水平距离x/m033.544.5

竖直高度yim1010k106.25

根据上述数据，直接写出k的值为11.25,直接写出满足的函数关系式：y=-5

（x-3.5）2+11.25；

（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y

=-5X2+40X-68,记她训练的入水点的水平距离为di；比赛当天入水点的水平距离为do,

则由<ch（填“=”或“<”）；

（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点3到水平面的距离

为c,则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y=-5t2+c,如果全红婵在达到最高点

后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270c动作，请通过计算说明，她当天的比赛能

否成功完成此动作？

【分析】（1）待定系数法求出解析式，即可；

（2）分别求出两个解析式当y=0时，尤的值，进行比较即可；

（3）先求出c的值，再求出t=L6时的y值，进行判断即可.

解：（1）由表格可知，图象过点（3,10）,（4,10）,（4.5,6.25）,

.,.y—a(.x-3.5)2+k,

a(3-3.5)2+k=10

a(4.5-3.5)2+k=6.25

-5(x-3.5)2+11.25；

故答案为：11.25,y=-5(x-3.5)+11.25,

(2；尸-5(x-3.5)2+11.25,

当y=0时：0=-5(x-3.5)2+11.25,

解得：尤=5或x=2(不合题意，舍去)；

；・"1=5米；

,.,y=-5X2+40X-68,

当y=0时：-5x2+40%-68=0,

解得：尤=汉运+4或尤=-2；匡+4(不合题意，舍去)；

55

.•.办=RIL+4>5,

5

••d\d?，

故答案为：V；

(3)产-5X2+40X-68=-5(x-4)2+12,

：.B(4,12)，

.\c=12,

.•.y=-5户+12,

当力=1.6时，y=-5X1.62+12=-0.8,

・・・-0.8<0,

即她在水面上无法完成此动作，

・••她当天的比赛不能成功完成此动作.

【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式.

22.（6分）在平面直角坐标系xOy中，记函数y=T（x>0）的图象为G,直线/：y=-^-x+b

经过A（2,3）,与图象G交于8,C两点.

（1）求6的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在'C之间的部分与线段BC围成

的区域(不含边界)为W.

①当初=2时，区域W内的整点个数为个;

m的取值范围为3Wm<4.

【分析】(1)将点A的坐标代入一次函数关系式可得答案;

(2)①结合图象分析可得答案；

②考虑临界位置，结合图象得出答案.

解：(1).直线y=―，x+b经过点A(2,3),

•••福X2+b=3，

解得b=4,

所以6=4；

(2)①如图所示，区域W内的整点有(1,3),(2,2),(3,2),(3,1),(4,

1),(5,1),共6个.

故答案为:6；

②当初=3时，区域W内有4个整点，如图所示.

所以区域W内有4个整点，根的取值范围是3Wm<4.

故答案为：3^m<4.

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数（反比

例函数）关系式，理解新定义等，确定临界点是解题的关键.

23.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，m）,B（尤o+4,n）在抛物线y=x2-2,bx+l

上.

（1）当6=5,沏=3时，比较相与〃的大小，并说明理由；

（2）若对于3Wx（）W4,都有求6的取值范围.

【分析】（1）抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴，根据二次函数的性质即可

判断；

（2）求得抛物线与直线y=l的交点，即可求得对称轴，由对于3WxoW4,都有机<〃<

X（）+XQ+4

b-2<3叼/口

1得到2,解得b-2<XQ<2b-4,从而得到、，解得4<6<5.

2b-4>4

XQ+4*^2b

解：(1)由题意可知A(3,m),B(7,〃)在抛物线y=%2-10尤+1上,

\'y—x2-10x+l=(x-5)2-24,

.,.抛物线开口向上，对称轴为直线x=5,

VA(3,m),B(7,n)到对称轴的距离相同,

.\m=n；

(2)当y=l时，贝!J>=尤2-26x+l=l,

解得尤1=0,

...抛物线经过点(0,1),(2b,1),

对称轴为直线x=b,

:对于3WxoW4,都有相<"<1,

Xo+xp+4、,

2b

x0+4<2b

解得b-2<xo<2b-4,

,（b-2<3

'12b-4>4

解得4<Z?<5.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握二次函数的性

质是解题的关键.

24.(7分)在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点。(0,0),