第13章立体几何初步【真题模拟练】（解析版）

2021-2022学年高一数学单元复习过过过【真题模拟练】

第13章立体几何初步

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4（）分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（2021•新高考I）已知圆锥的底面半径为其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2B.2&C.4D.4&

【答案】B

【解析】由题意，设母线长为/,

因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，

则有2兀•>/2=兀.I，解得I=2>/2.

所以该圆锥的母线长为2夜.

故选B.

2.（2021•新高考H）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静

止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000b”（轨道高度是指卫星到地球表面的

距离）.将地球看作是一个球心为O,半径『为6400初?的球，其上点A的纬度是指。4与赤道平面所成角

的度数.地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为c,该卫星信号覆盖

地球表面的表面积S=2%，（i-cosa）（单位：km2）,则S占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，

地球静止同步轨道

640()R

则。尸=36000+6400=424000,那么cosa=-----=—；

4240053

|J星.信号莅盖的地球表面面积S=23（1-cosrz），

那么，S占地球表面积的百分比为2万厂（1-尸a）=曳-42%.

4万产106

故选C.

3.（2021•新高考H）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+12百B.28&C.—D.

33

【答案】D

【解析】一：如图ABCO-ABCA为正四棱台，AB=2,A4=4,AX,=2.

4—9

在等腰梯形A蜴区4中，过A作AE_LA4，可得AE=-y-=l,

连接AC,AG，

AC=>4+4=2五,AG=J16+16=40,

过A作AG_LAG，.G=2=&'

AG=7M2-4G2=V4^2=V2,

二正四棱台的体积为：

..s上+打+Js上•s下

V=----------------------xh

3

2222

2+4+V2X4；；

3

28应

3

解法二：作出图形，连接该正四棱台下下底面的中心，如图,

•.•该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

该棱台的记/I="2-（2夜-3）2=O,

下底面面积，=16,上底面面积邑=4,

则该棱台的体积为：

V=1/?(S,+S2+=1x72x(16+4+V64)=.

故选D.

4.（2021•甲卷）已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC_L3C,AC=BC=\,则三

棱锥O-ABC的体积为（）

A.也B.3C.克D.走

121244

【答案】A

【解析】因为AC_L8C，AC=BC=l,

所以底面ABC为等腰直角三角形,

所以AABC所在的截面圆的圆心。为斜边的的中点,

所以oqJ,平面ABC,

_________G

在RtAABC中，ABMJACRBC2=近,则A«=J,

2

_________&

在RtAAOO,中，0«=yjOA2-AO：=%,

故三棱锥O—ABC的体积为丫=，5.抚,04=1xlxlxlx^=^.

故选A.

5.（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,

则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）

A.0B.2C.4D.12

【答案】B

【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，

每天0点至12点（包含。点，不含12点），

相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,

故选B.

6.（2020•新课标I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱

锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正

方形的边长的比值为（）

石一15/5-1书+1

【答案】C

【解析】设正四棱锥的高为/?,底面边长为。，侧面三角形底边上的高为〃,

h2=-ah'

2

则依题意有：

因此有川-（4）2=Lw=4（幺）2-2（幺）-1=0=幺=且里（负值二历4舍去）；

22aaa44

故选C.

7.（2020•新课标I）已知A,B,C为球O的球面上的三个点，。01为AA8C的外接圆.若。01的面积为

4万，AB=BC=AC=OO、,则球O的表面积为（）

A.64%B.48乃C.36几

【答案】A

【解析】由题意可知图形如图：OQ的面枳为4万，可得94=2,则

3AQ=A8sin60。，-AO.=—AB,

21212

:.AB=BC=AC=OOi=2日

外接球的半径为：R=QAO：+OOI2=4,

球O的表面积：4xzrx42=M/r.

故选A.

8.（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为三勺，两个圆锥的

3

高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.34B.4%C.94D.124

【答案】B

【解析】如图，设球O的半径为R，由题意，-^=—,

33

可得火=2,则球O的直径为4,

•.•两个圆锥的高之比为1:3,BO、=3,

由直角三角形中的射影定理可得：产=1x3,即r=6.

这两个圆锥的体积之和为V=g;rx(G)2x(l+3)=47.

故选B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(2022•湛江二模)在正方体A8CQ—AgG〃中，点E为线段上的动点，则()

A.直线Z)E与直线AC所成角为定值

B.点E到直线的距离为定值

C.三棱锥E-A8。的体积为定值

D.三棱锥E-AB。外接球的体积为定值

【答案】AC

【解析】对于A：易证ACJ_平面。48。，又。Eu平面。蜴8£),.•.ACLDE,.•.直线QE与直线AC所

成角为定值90。，故A正确；

对于3：当E在"时，AR的长为点E到4B的距离，当E在与时，8耳的长为点E到的距离，故B

错误；

对于C,设正方体的棱长为1,因为耳OJ/BO，BQJ/平面ABO,

所以三棱锥E-AB。的体积等于三棱锥用-ABQ的体积，体积为=所以C正确；

326

对于D,设正方体中心为点O,当点P与耳重合时，三棱锥E-AB。的四个顶点到点O的距离均为日，

当点E移动时，OE的长在发生变化，故O不再是球心，球的半径随E的移动而发生变化，故。错误.

故选AC.

10.(2022•湖南模拟)正方体ABC。-48co的棱长为2,E、F、G分别为8C、CC,>8片的中点.则

()

A.直线RO与直线AF垂直

B.直线AG与平面AE厂平行

C.平面田截正方体所得的截面面积为？Q

2

D.四面体ABCQ与四面体A8C。的公共部分的体积是&

【答案】BCD

【解析】对于A,由〃。〃GC,故宜线£>13与直线诙所成角为“<,显然/4尸。工90。，A错误;

对于8,如图所示，取AG的中点。，连接AQ，GQ,

由条件可知：GQ//EF,AQ//AE,且GQnAQ=Q，£'Fp|A£=£,

又G。仁平面AEF，Efu平面44，AQU平面AEF,A£u平面犯L

.•.GQ//平面AEF,AQ〃平面A®7，又GQ「)AQ=Q，

所以平面AQQ//平面AEF,又因为AtGu平面AGQ,

所以AG〃平面AEF,故B正确；

对于C，因为E,F为BC,CC的中点，所以EF//A£»

所以A,E,F,。四点共面，所以截面即为梯形AE尸R,

由题得该等腰梯形的上底EF=0,下底AQ=2&,腰长为行，所以梯形面积为故C正确；

四面体A8G。与四面体ABC。的公共部分是以正方体六个表面中心为顶点的正八面体，其棱长为血，

1L4

所以其体积为2xLx(0)2xl=t,。正确；

33

故选BCD.

11.(2021•新高考1)在正三棱柱中，AB=A\=1,点P满足丽=4阮+〃E瓦,其中/te[0,

1],〃e[0,1],贝D()

A.当;1=1时，△487的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-A8C的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点P,使得Ap，8P

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得A]，平面ABf

【答案】BD

【解析】对于A,当;1=1时、BP=BC+nBBx,即k=〃函'，所以屈//BB；,

故点P在线段CG匕此时△AB/的周长为A4+B/+AP,

当点P为CG的中点时，△AB/的周长为石+&,

当点P在点G处时，△Ag尸的周长为2夜+1,

故周长不为定值，故选项A错误;

1

对于3,当〃=1时，BP=ABC+BB},BPBtP=ABC,所以可A//BC,

故点p在线段与G上，

因为线G〃平面4BC,

所以直线3c上的点到平面ABC的距离相等，

又△A8c的面积为定值，

所以三棱锥P-48C的体积为定值，故选项3正确；

B

对于C,当;I=；时;取线段BC,4cl的中点分别为M,M,连结M.M,

因为5户=g23+〃3瓦，即M户=所以M户//8区，

则点P在线段必“上，

当点尸在M处时，■四8,

又用。10|片8=用，所以L平面BBCC，

又8W|U平面3BCC，所以AM|-L&W|,即APJ.8P,

同理，当点P在M处，\PVBP,故选项C错误：

对于D,当"=g时，取C&的中点口，8片的中点O,

因为丽=2^+,西，Q|JDP=2BC,所以赤//BC,

则点尸在线的DR上，

当点P在点R处时，取AC的中点E,连结AE,BE,

因为庞;，平面ACC14，又A£)1U平面ACGA，所以A〃_L8E,

在正方形ACC0中，A〃_LAE,

又BEplAEnE,BE,AEu平面ABE，

故401.平面ABE,又ABu平面ABE，所以A3J.AR,

在正方体形484A中，A.BA.AB,,

又4。厂Agu平面A8Q,所以AB_L平面A8Q,

因为过定点A与定直线AXB垂直的平面有且只有一个，

故有且仅有一个点P，使得±平面AB.P,故选项D正确.

故选BD.

12.（2022•常德模拟）如图所示，三棱锥P—yWC中，AC^BC,AC=BC=PC=\,。为线段AB上的

动点（D不与A,B重合），且=则（）

B."PC=45°

C.存在点£>,使得B4_LBC

D.三棱锥2-BCD的体积有最大值立

24

【答案】ABD

【解析】对于A选项：在三棱锥尸-ABC中，取E4中点E,连接DE,CE,如图,

因为AC=3C=PC=1,AD=PD,则r>E_L3,CELPA,

而。£nCE=E,DE,CEu平面CDE,

则有PA±平面CDE，又CDu平面CDE，

所以Q4JLCD,故A正确：

对于3选项：因为AC_LBC,AC=BC=PC=1,则NC45=45。，

又AD=PD,则APCDMAACD,

于是得NE»PC=NC钻=45。，故8正确；

对于C选项：假设存在点O,使得R4_L8C，由选项A可知，PALCD,又C£）nBC=C,CD,BCu

平面ABC,

则A4J"平面"C,而ACu平面ABC,于是得线段AC是平面ABC的斜线段PC在平面ABC匕的射影,

必有PC>AC,与AC=PC=1矛盾，所以假设是错误的，故。不正确；

对于。选项：令PD=AD=x、（0<x<>/2）,则=令叨与平面ABC所成角为。，0<0„-,

2

因此，点尸到平面ABC的距离〃=PDsin〃=xsin，，而%加=/'COxBDxsin（=三■（血—x）,

A+2

则三棱锥月一8CD的体积，V=xSBCDx/i=^-x（V2-x）sin0„-^-x（^~-）sin^=^-,

当且仅当x=",且。=工时，取等号，

22

所以当O是钻中点，且P3L平面ABC时，三棱锥P-3CD的体枳取最大值，最大值为也，故。正确,

24

故选ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为.

【答案】4万

【解析】圆柱的底面半径为r=l,高为〃=2,

所以圆柱的侧面积为5恻=2兀rh=2zrx1x2=4万.

故答案为：4万.

14.（2021•甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30万，则该圆锥的侧面积为.

【答案】39万

【解析】由圆锥的底面半径为6,其体积为30万，

设圆锥的高为〃，则！X（；TX62）X〃=30;T,解得〃=*,

32

所以圆锥的母线长/=旧1+6?号,

17

所以圆锥的侧面积S=7irl=x6x—=39万.

2

故答案为：39T.

15.（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1,高为2,为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的

一个动点，则A8C的面积的取值范围为.

【答案】［2,石］

【解析】如图1,上底面圆心记为O,下底面圆心记为0',

图1图2图3

连接OC，过点C作他，垂足为点

ZjunoC2

根据题意，AB为定值2,所以SL的大小随着叫的长短变化而变化，

如图2所示，当点M与点O重合时，CM=OC=Jf+22=后,

此时SMM取得最大值为g*2x«=逐；

如图3所示，当点M与点3重合，CM取最小值2,

此时鼠亚取得最小值为gx2x2=2.

综上所述，S^sc的取值范围为［2,逐］.

故答案为：［2,6］.

16.（2020•新课标I）如图，在三棱锥P—ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=6ABA.AC,

AB±AD,ZCAE=30°,则cosN尸CB=

D(P)

【答案】」

4

【解析】由己知得0AB=遍，BC=2,

因为。、E、尸三点重合，所以A£=A£>=6，BF=BD=®B=R,

则在AACE中，由余弦定理可得CE2=AC2+AE2-2AC・AE«cosZC4E=1+3-273x—=1,

2

所以CE=CF=1,

RC2_RF21+4-6I

则在ABCF中，由余弦定理得cosNFCB=,°~,

2BC.CF2x1x24

故答为‘

4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2021•甲卷）已知直三棱柱ABC-ABC中，侧面用始B为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC

和CG的中点，BF工A,B].

（1）求三棱锥尸-£BC的体积；

（2）已知。为棱A©上的点，证明：BF±DE.

【答案】（1）在直三棱柱43C-A4G中，BBJAB「

又8尸_14耳，BB^BF=B,BB、,3Fu平面BCC百，

_L平面BCC]BI,

•.•A8//AS,

平面8CC4,

:.ABVBC,

又AB=BC,故AC=V?7F=2收，

CE=-\/2=BE,

而侧面为正方形，

CF=-CC.=-AB=\,

212

V=-S^EBC-CF=-x-xy/2x^xl=-,即三棱锥F-£BC的体积为,；

3皿3233

(2)证明：如图，取BC中点G,连接EG,BtG,设8©0|8/=//，

•.•点E是AC的中点，点G时BC的中点，

:.EG//AB,

EG//AB/1BXD,

；.E、G、用、。四点共面，

由(1)可得/W_L平面8CC4,

.,.EGJ_平面8CC4,

:.BFLEG,

•••tanZCBF=—=-,tanZBB,G=—=-,且这两个角都是锐角，

BC2।网2

4CBF=NBB。,

NBHBi=NBGBi+NCBF=NBGB、+ZBB,G=90°,

：.BF±BtG,

又EGQB,G=G,EG.BQu平面EGBQ,

.•.防，平面EG8Q,

乂DEu平面EGBQ,

：.BFA.DE.

18.(2020•新课标n)如图，已知三棱柱A8C-ABC的底面是正三角形，侧面8片弓。是矩形，M,N分

别为BC,BQ的中点，P为AM上一点.过BQ和。的平面交至于E，交AC于尸.

(1)证明：A4.//MN,且平面AAAW_L平面后80/；

(2)设O为△A4G的中心.若AO=AB=6,AO//平面EBC/，且乙0PN=1,求四棱锥B-EqG厂

【答案】证明：(1)由题意知A4,//Bg//CG，

又•.•侧面即C。是矩形且〃，N分别为BC,BQ的中点，

:.MN"BB、,BBt±B,C,,

MN//A4,,MN工BCi,又底面是正三角形,

.-.AMANJ.BC，

XvWQ/W=A/,.iBiGJ■平面A4MN,

EGu平面EB、C\F,

平面AAMN_L平面EB£F:

解：(2)•.•AO//平面EBCF,AOu平面AAMN,

平面A4WNC平面EgG尸=NP,:.AO//NP,

-,-NO//AP,:.AO=NP=6,

•••o为△A4G的中心，

.•.ON=gAC|Sin60o=gx6x*=6，

ON=AP=6

:.AM=?>AP=3>^,

过M作垂足为“，

•.•平面AAMNJ_平面EB|C|尸，平面AAAWC平面E8C1F=NP,MWu平面A4MN,

平面EBCL，

•.•在等边三角形中空=圾，

BCAM

印—APBC43x6。

即Er=------=---=-=2,

AM373

由(1)可知四边形E8GF为梯形，

四边形E^GF的面积为Spq边形叫G『=g(BC+EF)•NP=1(6+2)X6=24,

•；MP=—AM=_x3超=2上,

33

NMPN=-,MH=MPsmNMPN=2A/3X—=3,

32

•■•VB-EB,C,F=§S四边形“GF.=gx24X3=24.

•4

B

19.(2020•上海)已知四棱锥尸-ABCD,底面ABCD为正方形，边长为3,PZU平面A5CZ).

(1)若PC=5,求四棱锥P-ABC。的体积；

(2)若直线4)与3P的夹角为60。，求PD的长.

【答案】（1）PD_L平面，包）_L£>C.

•.•8=3,;.PC=5,:.PD=4，

2

-"-VP-ABCD=1X3X4=12,

所以四棱锥尸-ABCD的体积为12.

（2）•.•ABC。是正方形，尸£>_L平面A8a）,

:.BC±PD,BCLCD

又•.•尸。0）。。=。

.•.3CJ_平面PCD

:.BCLPC

•.•异面直线AZ）与PB所成角为60。，BC//AD

二在RtAPBC中，ZPBC=60。，BC=3

故PC=3g

在RtAPDC中，CD=3

:.PD=3五

20.(2019•新课标U)如图，长方体48CO-ASGA的底面他8是正方形，点£在棱A4,上，BE±EC,.

(1)证明：平面E4G；

(2)若AE=AE,AB=3,求四棱锥E-3与。。的体积.

【答案】(1)证明：由长方体ABCO-AB|G。，可知

B©_L平面4881A，3Eu平面A，

BtC,±BE,

•1•BE±EC、,&Gn明=G，

r.BEJ"平面EgG：

(2)由(1)知NBEB|=90。，由题设可知RtAABE=RtZ\AB|E,

:.ZAEB=ZAiEBl=45°,.-.AE=AB=3,A4,=2AE=6,

•.•在长方体A8CO-ASG。中，A4,//平面881GC,£GA4,.M_L平面BgGC,

E到平面B4G。的距离"=A8=3,

.•・四棱锥E-BBCC的体积V=gx3x6x3=18.

21.(2022•石嘴山模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC£＞为矩形，P4_L平面ABCD,AB=PA=l,

AD=2,尸是尸8中点，£为3c上一点.

(1)求证：AF_L平面P8C：

(2)若三棱锥P-£)所的体积为正，求CE的长.

【答案】（1）证明：♦.,438为矩形，.•.3C_LAB,

又•.•抬_1.平面ABC£>,:.PAYBC,

.•.8C_L平面PAB,

又「AFu平面上4B,:.BCA_AF-.

又•.,/%=AB,尸为P8的中点，

:.AFVPB,，其尸,平面依。；

（2）解：连接EF，DF