高中数学：2-2 基本不等式（教案）

2.2基本不等式

，一，考纲要求

1.了解基本不等式的推导过程.

2.会用基本不等式解决简单的最值问题.

3.理解基本不等式在实际问题中的应用.

4.掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值.

总।知识解读

知识点①基本不等式

1.基本不等式：y[ab^~^

2.基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

3.等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.

4.其中皆叫做正数小〃的算术平均数，标叫做正数”，6的几何平均数.

知识点②几个重要的不等式

1.a2-\rb2>2ah（a,Z?£R）.

2.,2（。，b同号）.

\2

a+b

3.ab<（小Z?eR）.

2/

ij2+Z>2(a+b\2

（小〃£R）.

7

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

知识点③利用基本不等式求最值

1.己知尤，y都是正数，如果积盯等于定值P,那么当尸），时，和x+y有最小值2户.

2.已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积肛有最大值扣.

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等

（1）“一正二定三相等"“一正''就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积

的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求

的最值，这也是最容易发生错误的地方.

।题型讲解

题型一、基本不等式的理解

例1.下列不等式中，正确的是（）

4

A.a+->4B.a2+b2>4ab

C.y[ab>r~^D.f+乏2立

【答案】D

【解析】。<0，则不成立，故A错；a—1,b—1,a2+b2<4ab,故B错，a—4,6=16,财屣遂》,

故C错；由基本不等式可知D项正确.

例2.若4b>0,则下列不等式成立的是（）

ci+*b1-ci-I-b/—

A.a>b>-2~~B.a>豆~>y[ab>b

a+bi1a+b

C.a>~—>b>y]abD.a>y]ab>~—>b

【答案】B

【解析】>y[ab>y[bl>—b,因此B项正确.

题型二、基本不等式求最值

方法1.直接运用

例3.已知x<0,贝!|x+1一2有（）

A.最大值为0B.最小值为0

C.最大值为一4D.最小值为一4

【答案】C

【解析】Vx<0,

.,.x+--2=—（-x）d————2<—2—2=—4,当且仅当一x=」一，即x=—1时取等号.

X（-X）r

例4.已知。>0,匕>0且。+。=1,则ah的最大值为（）

c.1D.2

【答案】A

【解析】由基本不等式知；^<f—1（当且仅当。=人=，时取等号）,

I2J42

的最大值为?

例5.已知。>0,b>09且〃+2Z?=3a〃，则次?的最小值为（）

8

A.1B.9-

20

D.3

【答案】B

【解析】因为a>0,b>0,且。+2/?=3。人,

28

所以'+2=3,所以3=^+2>2」工，所以而N

9-

baba\ab

J__2

当且仅当一£

a+2b=3ab

428

即。=—,匕=一时等号成立，故ab的最小值一.

339

方法2.配凑法

29

例6.若啊，则y=3x+l+亚石有（）

A.最大值0B.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

【答案】C

2

【解析】；.3x—2<0,

99

k3L2+K3=—(2—3x)++3

(2-3x)

9_

<-2l(2-3x)-+3=-3.

(2-3x)

91

当且仅当2-3尸厂立即L—?时取“=，，.

例7.(2022•长沙模拟)设0<x<|,则函数y=4x(3—2x)的最大值为()

9

A.aB.4

9

C.2D.9

【答案】C

【解析】y=4x(3—2x)=22*(3—2x)w2(2尤+2")=1.

3

当且仅当2x=3—2x,即时取等号，

39

・•・当X=W时，ymax=2«

例8.3/+孱的最小值是()

A.3y[2—3B.3

C.(A/2D.6^2-3

【答案】D

【解析】3(^+D+-^-j—3>2^/3(J^+D-^-j—3=2^18-3=6^2-3,当且仅当炉=也一1时等号成

立，故选D.

方法3.分离(分式型)

例9.(2022・天津模拟)函数尸(X+5)(X+2)(Q—])的最小值为.

x+1

【答案】9

【解析】因为x>—1,则x+l>0,

所以y=(X+1+4)(X+1+1)

x+1

(x+iy+5(x+l)+4

x+1

4

=(%+1)+7+1+5

>2J(x+1)--^—+5=9,

Vx+1

4

当且仅当E=RT即内时等号成立，

所以函数的最小值为9.

"+464+1

例10.若a,bSR,ab>0,则的最小值为.

ab

【答案】4

4

"+4。+1>244/片+i4a2匕2+]=4而+泉2

【解析】因为岫>0，所以4ab《—4,当且仅当

4=2外,

事,按=当时取等号,“4+4〃+1

]即“2=故・的最小值是4.

ab=2'ab

方法4.常数代换（1代换）

22

例11.若x>0,y>0,i.-+-=l,则孙有()

最小值吉

A.最大值64B.

C.最小值1

D.最小值64

【答案】D

28)

【解析】山题意盯=—+—xy=2y+8x>2^2y-8x=3y[xy,即xy有最小值64,等号成立的条件

Xy)

是x=4,y=16.

21

例12.（2022・重庆模拟）已知a>0,b>0,且a+b=2,贝与+也的最小值是（）

A.1B.2

D.I

【答案】C

【解析】因为〃>0,b>0,且〃+。=2,

所以丁=1,

2|1

所以Z+元=，m+b）

照+景句

9

44f

42

---

当且仅当33等号成立.

方法5.消元法

例13.（2022・烟台模拟）已知x>0,y>0,x+3y+孙=9,则x+3y的最小值为

【答案】6

【解析】方法一（换元消元法）

由已知得9—（x+3y）当且仅当x=3y,即x=3,y=I时取等号.

即(x+3y)2+12(x+3y)—108>0,

令x+3y=/,则>0且产+12L108>0,

得仑6,即x+3y的最小值为6.

方法二(代入消元法)

9—3v

由x+3y+xy=9,得不、,

所以x+3y=—+3y=9—3y+3y(l+y)

_9+3.y23(l+y)2—6(l+y)+12

1+yl+y

=3(1+>')+-^-6>2^3(l+y)-^--6

=12—6=6,

当且仅当3(1+历=含12，即y=l,x=3时取等号，

所以x+3y的最小值为6.

131

例14.若实数左丁满足孙+3x=3(0<x<-),则一+^的最小值为________

2xy-3

【答案】8

【解析】•••实数KN满足孙+3x=3(0<x<,)，

331

・,・工=-・・・。<--<->解得y>3.

y+3y+32

31.Icl,

则一+--=y+3+-=y-3+-+6

xy-3y-3y-3

>2(y-3)—l-+6=8,

Vy-3

3

当且仅当y=4,x=,时，等号成立.

例15.(2022•襄阳模拟)若实数Q1,号且x+2y=3,则占+日7的最小值为

【答案】4

【解析】令X—1=肛2>—1=小

贝ijm>0,〃>0且"?+〃=汇-1+2y—1=1,

・••-4+42

%—12y—1mn

=2+卫+々2+2=4,

mn

当且仅当'=£,即〃2=〃=g时取“=”.

...一\+7~\•的最小值为4.

X-12y—1

方法6.平方

例16.已知x,y为正实数，3x+2y=10,求卬=房+，源的最大值.

【答案】2A/5

【解析】：x,y为正实数，3x+2y=10,

...俨=3》+2^+2j3x-2yW10+(3x+2y)=20,

55

当且仅当3x=2y,3x+2y=10,即x=3,y=5时，等号成立.

：.W<2y[5,

即W的最大值为2小.

方法7.构建目标不等式

例17.已知正实数左丁满足(x+3y-l)(2x+y-l)=l,则x+y的最小值是

［答案］上述

5

【解析】

由已知得1>0,y>0,则x+3y-l>-l,2x+y-l>-l,

因为(x+3y—l)(2x+y—1)=1,所以x+3y-1>。，2x+y—1>0,

因此x+y=[(九+3y—1)+•|(2x++2^-^(x+3y-l)(2x+y-1)+|=拒

2V2

元+3y-1=5/2x=—।—

1?510

当且仅当g(x+3y—l)=M(2x+y-l),2x+y-l=^即.时,等号成立;

1372

y=---1-------

510

所以x+y的最小值是3+2收.

5

,1、2y1

例18.已知正实数x,y满足(x-一)一==，则x+一的最小值为

y%y

【答案】2

【解析】正实数x,y满足［x—工)=上，

+—=y+—>21^.—=4,当且仅当t=把等号成立，

IIyjyx>y%y

1c1

x+->2,故x+一的最小值为2.

y>

题型三、基本不等式的实际应用

例19.某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，

现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为

60000cm2,四周空白的宽度为10cm,栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺

寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是cnZ

【答案】72600

【解析】设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,

由题意可得3"=60000,

所以"=20000,即罗，

所以该海报的高为(a+20)cm,

宽为(3〃+l0x2+5x2)cm,即(3b+30)cm,

所以整个矩形海报面积

S=3+20)(3。+30)=3"+30“+606+600

(40000、40°0（）“八…

=303+26)+60600=30。+------+60600>30x2a-~~+60600

Ia)

=30x400+60600=72600,

当且仅当”=也詈，即4=200时等号成立，

所以当广告栏目的高为200cm,宽为100cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72600cm%

例20.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌

行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月

运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3一后.己知

网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货

价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是万元.

【答案】37.5

【解析】由题意知—六一1(1令<3),设该公司的月利润为y万元，则尸卜2x150%+工卜一321一3一

f=16x—3=16x—^77^+^—3=45.5—16（3+—<45.5—2^/16=37.5,

当且仅当x=3"时取等号，

即最大月利润为37.5万元.

达标训练

1.已知b>\,则下列不等式中成立的是（）

A.a+T

a-rb

r—r2ab

B.W<a+b

C.yj2a2+2b2<2y[ab

D.。+b<\]2a2-]-2b2

【答案】D

【解析】对于选项A,因为b>\,

所以（4+/?）2=屋+2"+招>44/?,故选项A错误;

对于选项B,标>7、=筌，故选项B错误;

一+工

ab

对于选项C,yj2a2+b2>\j2'x2ab=2y[ab,

故选项C错误;

对于选项D,2〃2+2b2>a2+2ab+b2=(a+b)2,

所以〃+*、2/+2/?2,故选项D正确.

2.（2022♦漳州质检）已知小〃为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是（）

2

A.R里

a+bab

2

C.D22

y[ah-\a+b

【答案】B

【解析】・.Z,。为互不相等的正实数,

2

2212

------<—，——,<—’

a+b2y[aby[aby/ab"

T12

2ab

.•.最大的是

2

3.已知函数y=^^y+M2Ql）,则），的最小值为

【答案】I

【解析】V2x>l,：.x~~>Q,

2111

产目+尸二+彳-/5

x~2

=2+二，

113

当且仅当---[=x-即x=]时取"=”.

.R的最小值为方

4.己知函数>=若。<一1）,则（）

A..大用有最小值4

B.y（x）有最小值一4

c.y（x）有最大值4

D.K0有最大值一4

【答案】A

-——1+1

【解析】y=RT=n-

=-（l1+壬）={+1+由-2）

=-(x+l)+——i----1-2.

一(x+1)

因为xv—1,所以x+l〈O,—（x+1）>0,

所以这24+2=4,

当且仅当一（x+l）=—5—,即X=—2时，等号成立.

-U+1）

故/U）有最小值4.

5.已知x>0,y>0,且2x+8y—孙=0,则当x+y取得最小值时，y等于（）

A.16B.6

C.18D.12

【答案】B

【解析】因为x>0,y>O,2x+8y=xy,

9Q

所以>.1,

28

所以x+y=(x+y)+

y

'区曲=10+2x4=18,

>10+2yx

登

=9x=12,

当且仅当$〕xBP-时取等号,

L=6

、2x+8y—xy=O,

所以当x+y取得最小值时，，y=6.

I9

6.已知非负数"满足x+日’则二T+不！的最小值是＜)

A.3B.4

C.10D.16

【答案】B

【解析】由x+y=l,可得x+l+y+2=4,

9

一+—=1(+二)(x+l+y+2)

x+1y+24x+1y+2

y+2।9(x+l))>^(10+2

=-(1+9+=4

4x+1y+2x+ly+2

当且仅当y+2=3(x+l)取等号.

7.(2020•山东枣庄检测)已知正数x,y,满足冲=1,则M=,的最小值为

1+xl+2y

【答案】2啦一2

【解析】由正数满足.=L可得。则M=rh+志;y

1+1l+2y1+yl+2y

'y

y

+=1--------j—>11一3一一，6=2啦-2.当且仅当y-2，x~

1+2)，(l+y)(l+2y)2y+-+3

2时，取得最小值2陋一2.

8.设a,6,c都是正数，试证明不等式：等+审+片多6.

【答案】见解析

【解析】证明：因为a>0,b>0,c>0,

即a=b=c时，等号成立.

LL—0+c.c+a,a+b

所以＜十丁+76.

9.某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万

件）与年促销费用〃?（〃20）（单位：万元）满足x=3—甘7（攵为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售

m-r1

量是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂

家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,

不包括促销费用）.

（1）将2019年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数;

（2）该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大?

16

【答案】y=~+(m+l)+29("仑0)

m+l

2

【解析】⑴由题意,可知当步=°时,x=l,...1=3T,解得-2,...kS-E，

8+16x一

又每件产品的销售价格为1.5x-「兀,

1.5x^±l^—(8+16x+/〃)=4+8x一机

X

=4+8|3————m

Im+l

16.八।

----+0+1)+29(加加).

m+1

（2）Vw＞0,3y+（/n+l巨2m=8,当且仅当言「=胆+1,即,〃=3时等号成立,

.••底-8+29=21,...yn10r=21.

故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元.

*课后提升

a4b

1.已知正数a/满足a+b=2,则——+——的最大值是()

a+lb+l

911

A.-B.—

24

7

C.1D.-

3

【答案】B

【详解】

a4btz+1-14(8+1)-4_.14.

-----+------=----------+—-------——=5-(----+------),

a+lZ?+1a+l/?+1a+lZ?+1

因为a+匕=2,所以(a+l)+(b+l)=4,

14114114

因此——+——=—x4・(——+——)=-.[(a+l)+(/l)].(——+——)

a+lb+l4a+lb+l4?+a+lb+l

9

1rub+\4(a+l),1yclb+14(0+1)

一

=--[5+——+———-]>--[5+2J----------——-一4-

4a+1b+l4Vn+1b+l

（当且仅当2±1=4（。+1）时取等号,即6=2a+l时取等号，即a=1乃=°时取等号）,

a+1b+\33

a4b。+1—1岛+4

所以------1------+”0

a+1Z7+1a+l'b+1

2.（多选题）设a＞l力＞1,且出＞—（a+Z?）=1,那么（）

A.a+Z＞有最小值2（0+1）B.a+b有最大值（女+1『

C.a6有最大值3+2&D.有最小值3+20

【答案】AD

【解析】解：①由题己知得：",

I2J

故有（a+b）——4（。+/?）—420,

解得。+。22&+2或a+匕4-20+2（舍），

即Q+622及+2（当且仅当。=力=夜+1时取等号），A正确；

②因为a+〃之2而，

所以一（4+力）工一—（Q+0）<ab-2>/ab

又因为奶一（〃+2）=1

\<ab-2y[ab=>2<ab-2y[ab+L

2<（V^-1）2=>V^-1>V2

y[ah>42+l^ab>3+2y/2

ah有最小值3+20D正确.

3.已知x>0,y>0,x+2y=3,则-----乙的最小值为（）

孙

A.3-272B.2及+1C.V2-1D.72+1

【答案】B

【解析】已知x〉0,y>0,x+2y=3,

则上包=正£包=年包包」+1+空,2归药+1=2夜+1,

xyxyxyyx'yx

当且仅当f=2y2时，即当*=3&-3,且y=?乎，等号成立，

Jf?+3V

故----的最小值为1+2及，

孙

4I

4.若mb,c都是正数，且。+8+c=2,则的最小值是_________.

。十1b+c

【答案】3

【解析】••・〃，b,c都是正数，且a+b+c=2,...a+b+c+l=3,且。+1>0,匕+的...•2+4；=4m

+1+%+。)(