高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 空间向量及其线性运算

1.L1空间向量及其线性运算

1.在平行六面体力腼一489〃中，法+/什44的运算结果是（）

A.A^CB.AC,

C.BD\D.B\D

2.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2020•福建厦门市高二质检）三棱锥尸一/勿中，"是棱6。的中点，若沏

=xAP+yAB+zAC{x,y,zWR）,则x+y+z的值为（）

Ao

1B.

D.1

2-

4.设有四边形/况。。为空间任意一点，且布+南=〃0+龙；则四边形/时

是（）

A.平行四边形B.空间四边形

C.等腰梯形D.矩形

5.在直三棱柱/6C-48K中，若襦=a,CB=b,CCx=c,则森=（用a,

b,c表示）.

A组•素养自测

一、选择题

1.空间任意四个点儿B,C,D,则而十而一靖于（）

A.DBB.AC

C.ABD.BA

2.已知说砺是空间两个不共线的向量，距-3法一2施那么必有（）

A.法，麻共线B.MB,就共线

C.MA,MB,流共面D.MA,MB,戒不共面

3.（多选题）下列说法错误的是（）

A.在平面内共线的向量在空间不一定共线

B.在空间共线的向量在平面内不一定共线

C.在平面内共线的向量在空间一定不共线

D.在空间共线的向量在平面内一定共线

4.已知正方体力颂一48《〃中，诵="布，若懑'=xU+y（花+沏，则

（）

11

A.x=l,y=~B.x=~,y=l

乙乙

11

C.x=l,y=-D.x=l,y=-

o4

5.（2021•福建泉州市普通高中质量检测）如图所示，三棱柱48C—48c中,

加是48的中点，若次=a,CB=b,CC,=c,则由-（）

B.T(a+Z>+c)

A.(a+b-c)

C.a+b+；cD.a+g(b+c)

二、填空题

6.化简（宓一近）一（衣一物=

7.在平行六面体ABCD—ABCR中，若元=x•能+2y•比+3z•QC,则x

+y+z=

8.(2020•陕西白水高二期末)如图，在四面体力腼中，E,G分别是切，

应'的中点，若笳=xAB-\-yAD+zAC,则x+y+z=___.

三、解答题

9.如图所示，在四棱柱力腼一4‘B'C中，底面4?缪为矩形，化简

下列各式.

⑴宓+曲-D'^A'+尸D-~BCy

(2)4*-AC+AD-A^.

10.已知平行六面体ABCD-A'B'C〃'，点£在AC上，且AEEC

=12,点AG分别是夕D'和劭'的中点，求下列各式中的x、八z的值.

⑴赤=*疝+yAB+zAD^

⑵赤=*际+yBA+zBC；

⑶港=x际+yBA+zBC.

B组•素养提升

一、选择题

1.已知正方形4四的边长为1,设质=a、BC=b,AC=c,则|a+Z>+c］等

于()

A.0B.3

C.2+gD.2/

2.如图所示，在平行六面体力史9—44。〃中，设筋i=a,~AB=b,'AD=c,

M,N,尸分别是44，BC,G〃的中点，则痂+位=()

313

A十b+B

2-a2-2-

11311

-a-b+D-a+-b-

c.2+■222+-2

3.（多选题）下列命题中假命题的是（）

A.将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个

圆

B.若空间向量a、人满足|a|=|引，则a=b

C.若空间向量20、n、p满足R=A,n=p,则R=p

D.空间中任意两个单位向量必相等

4.（多选题）（2021•辽宁省抚顺一中月考）已知四边形/颇为矩形，阳，平

面4比〃连接同BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中，互相垂直的有（）

A.PC^BDB.而与无

C.PD^ABD.再与面

二、填空题

5.已知平行六面体4?徵一"B'CD',则下列四式中：

①宓一*宓②/日=AB+B'~C'+的；③4不=於；④龙+的+

BC+（TC=AC.

正确的是—.

6.如图所示，已知矩形/比。尸为平面/颇外一点，且为，平面/比〃欣

力分别为尸。、刃上的点，且掰MC=21,"为切中点，则满足疏・"布十

实数x=____,y=,z=.

[2

7-已知力,80三点不共线,。是平面脑外任一点，若由落押+押+

儿无确定的一点尸与4B,。三点共面，则儿=.

三、解答题

8.已知三个向量a、b、c不共面，并且p=a+b—c,q=2a—3b—5c,r=

—7a+18b+22c,向量p、q、r是否共面？

9.已知力、B、尸三点共线，。为空间任意一点，0P=aOA+0OB,求。+

£的值.

LL1空间向量及其线性运算

1.在平行六面体4时一4AG〃中，恭+而+筋।的运算结果是（B）

A.就B,元

C.前,D.KD

［解析］AB+AD+AAX=AC+AA^AC..

2.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的（B）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同，因此“两个非

零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件.

3.（2020•福建厦门市高二质检）三棱锥尸一/87中，"是棱6。的中点，若沏

=xAP+yAB+zAC（x,y,z6R）,则x+y+z的值为（B）

A.-1B.0

1

C.-D.1

［解析］由题可知，PM=xAP+yAB+zAC{x,y,z£R）,

由向量线性运算得：

—A'P+'AM,即沏=一赤+：宓+；苑所以，才=-1,y=1，z

LtCt乙

=g,则x+y+z=O.故选B.

4.设有四边形4为9,。为空间任意一点，且而+/=加+应；则四边形/时

是（A）

A.平行四边形B.空间四边形

C.等腰梯形D.矩形

［解析］•.,布+应=质+应；

：.AB=DC.

：.AB//DC^.\AB\=\DC\.

...四边形4腼为平行四边形.

5.在直三棱柱48。一46K中，若方=a,CB=b,CCt=c,则诵=b—a—

C_（用a,b,c表示）.

［解析］A\B=A{A-\-AB=-CC、+CB—CA=b—a—c.

请同学们认真完成练案［1］

A组•素养自测

一、选择题

1.空间任意四个点4B,C,D,则成1+宓一漏于（D）

A.DBB.AC

C.ABD.BA

［解析］DA+CD~CB=（CD+D^）-CB=CA~CB=BA.

2.已知法，砺是空间两个不共线的向量，芯=3诙-2砺，那么必有（C）

A.法，距共线B.MB,跖洪线

C.法，砺，航洪面D.就血,疵不共面

［解析］由共面向量定理知，MA,MB,就共面.

3.（多选题）下列说法错误的是（ABC）

A.在平面内共线的向量在空间不一定共线

B.在空间共线的向量在平面内不一定共线

C.在平面内共线的向量在空间一定不共线

D.在空间共线的向量在平面内一定共线

［解析］在平面内共线的向量，在空间一定共线，A错，C错.

在空间共线的向量，平移到一个平面上一定共线，B错，D对.

4.已知正方体力仇刀一46K〃中，漉=；疵，若小x就+y（诵+戒，则

（D）

11

A.x=l,y=~B.x—~,y=l

乙乙

11

C.x=\,y=-D.x=l,y=-

［解析］森=莉+乖=荔+%^=葩+；（葩+位.所以x=l,尸;.

5.（2021•福建泉州市普通高中质量检测）如图所示，三棱柱46c中,

W是48的中点，若次=a,CB=b,CC,=c,则应-（B）

A.(a+b-c)B.-(a+b+c)

C.a+b+^cD.a+J(6+c)

乙

［解析］本小题主要考查解空间向量的运算，若中点为D,~^=Cb+DN=

T（a+<6+c）,故选B.

二、填空题

6.化简(而一应一(花一物=0.

［解析］解法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)

(AB-Cb)-(JC-Bb)=AB-Cb-AC+BD

^AB+DC+CA+BD=AB+Bb+DC+CA^.

解法二：(利用向量的减法运算法则求解)

(AB-Ci))-(JC-Bb)=(AB-AC)+BD-CD

=CB+Bb-cb=cb-cb=(}.

7.在平行六面体ABCD-A\BCD\中,若花=x•AB+2yBC+^z・QC,则x

7

=

6

+y+-

［解析］如图所示，有阳=力8+a'+阳=/8+6。+(—1)・。6：

又•.,元=x•宓+2y•反'+

3z,QC,

117

+

x+y+z=2--3-=6-

8.（2020•陕西白水高二期末）如图，在四面体/腼中，E,G分别是69,

龙的中点，若花=xAB+yAD+zAC,则x+y+z=1.

［解析］如图，在四面体被切中，E,G分别是微龙的中点，

AG=AB+BG=AB+^BE=AB+\X|(BC+曲=AB+\(AC-AB+AD-AB)

乙乙乙A

11一1一111-

=AB+~AC+~^AD~5/6=5/8+pC.

AG=xAB-\-y而+zAC,/.x+y+z=；+[+[=1-

三、解答题

9.如图所示，在四棱柱/四一/'B'C。中，底面力腼为矩形，化简

下列各式.

D'C

AB

⑴刖际一〃%+iT〃一旗

(2)ACr-AC+Ab-A^.

[解析]⑴原式=/8+/尸+/〃一AA1—AD=AB.

(2)原式=办+AD-AA1=AD.

10.已知平行六面体5一/'B'C"，点E在AC'上，且超EC=

12,点尺G分别是S'D'和初’的中点，求下列各式中的x、y、z的值.

⑴小x疝+yAB+zAD；

⑵雄=屈+y应+施

⑶旗=屈+yBA+zBC.

［解析］⑴；四勿=12,

=\(AB+BC+Cd)=；(丽劝+/F)

oJ

=5#+;森+;而，

111

x=~,y=~,z=~.

②•：F为B'D'的中点，

（际+肠）=g（际+必+疝+A'^D'）

=；（2际+9+必=际+^BA+~BC,

11

x=1,y=~,z=~.

⑶••,（；、F分别为BD'、B'。'的中点，

.,.旗=；际，y=0,z=Q.

B组•素养提升

一、选择题

1.已知正方形/以力的边长为1,设质=a、祝=b、AC=c,则|a+b+c|等

于（D）

A.0B.3

C.2+^/2D.2y［2

［解析］利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，\a+b+c\

=2\AC\=2啦.

2.如图所示，在平行六面体4%力—43G〃中，设解i=a,AB=b,AD=c,

M,N,P分别是44，BC,G〃的中点，则赤十位;=（A）

313

Ab十

2-a+-2-2-

11311

c-a-b十D-a-b-

2+-22+-2+-2

313

［113］3

［解析］MP+NC^+加5焉+次+丽=5葩+5宓+»2-2-2-

乙乙乙乙乙乙

c,故选A.

3.（多选题）下列命题中假命题的是（ABD）

A.将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个

圆

B.若空间向量a、力满足|a|=|8|,则a=8

C.若空间向量卬、z?、p满足m=n,n=p,则R=p

D.空间中任意两个单位向量必相等

［解析］A.假命题.将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它

们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.

B.假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而

且方向还要相同，但B中向量a与力的方向不一定相同.

C.真命题.向量的相等满足递推规律.

D.假命题.空间中任意两个单位向量模长均为1,但方向不一定相同，所

以不一定相等，故D错.

4.（多选题）（2021•辽宁省抚顺一中月考）已知四边形缪为矩形，必J_平

面4连接〃'，劭，如，尸C,外，则下列各组向量中，互相垂直的有（BCD）

A.PC^BDB.反与比

C.Pb^ABD.再与百

［解析］结合图分析可知DA与PB,PD与AB,PA与切分别垂直，则选项B,

C,D中两向量垂直.而A中，只有当矩形力腼为正方形时，才有无1砺.

二、填空题

5.已知平行六面体4?徵一"B'CD',则下列四式中：

①位一踮=花；②/日=AB+B'~C'+的；③4不=於；④宓+的+

BC+（TC=AC.

正确的是①②③④.

［解析］AB~CB=AB+BC=AC,①正确；AB+B'^C'+㈤^AB+BC+CC1

=Ad,②正确；③显然正确；Y丽的+觉=箱,C=AC,：.@

正确.

6.如图所示，已知矩形/腼，P为平面/腼外一点，且阳，平面/比〃步、

A：分别为尸。、刃上的点，且41/脑7=21,N为切中点，则满足访漉+y而

211

-r.=Z-=

+z源的实数x=——『

一

-3--6—-一

M

B

［解析］在外上取一点“使"FD=21,连接，好，则庙三/十月V,

FN=京一DF=^DP-^DP=^DiP=\(AP-Ab),

2366

一2f2一2一

助卜~~AB,

=RoCoD=RBAo=

一2一1一，1一

：.MN=--AB--AD+-AP,

211

尸一不Z=~.

f