2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练15　利用导数研究函数的单调性

考点规范练15利用导数研究函数的单调性一、基础巩固1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)答案:D解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是()答案:C解析:由题图可知函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.对于函数y=xf'(x),当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然选项C符合.3.(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为()A.e2 B.e C.e-1 D.e-2答案:C解析:由题意可知f'(x)=aex-1x≥0在区间(1,2)内恒成立,即a≥1x设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e,则0<1g(x)<1e,即a≥4.(多选)下列函数中,在R上为增函数的有()A.f(x)=x4 B.f(x)=x-sinxC.f(x)=xex D.f(x)=ex-e-x-2x答案:BD解析:A选项,由f(x)=x4,得f'(x)=4x3,当x>0时,f'(x)=4x3>0,f(x)单调递增;当x<0时,f'(x)=4x3<0,f(x)单调递减,故排除A;B选项,由f(x)=x-sinx,得f'(x)=1-cosx,因为f'(x)≥0恒成立,且不恒为零,所以f(x)=x-sinx在R上为增函数,故B满足题意;C选项,由f(x)=xex,得f'(x)=(1+x)ex,当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故排除C;D选项,由f(x)=ex-e-x-2x,得f'(x)=ex+e-x-2,因为f'(x)≥2ex·e-x-2=0恒成立,且不恒为零,所以f(x)=ex-e-x-2x在R上为增函数5.已知函数f(x)=2x-log2x,则不等式f(x)>0的解集是(A.(0,1) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,2)答案:D解析:f(x)=2x-log2x的定义域为(0,+∞),因为f'(x)=-2x所以f(x)=2x-log2x在区间(0,+∞)上单调递减,又f(2)=22-log22所以不等式f(x)>0的解集是(0,2).6.已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0).(1)若f(x)的单调递减区间是(0,4),则实数k的值为;

(2)若f(x)在区间(0,4)内单调递减,则实数k的取值范围是.

答案:(1)13(2)解析:(1)f'(x)=3kx2+6(k-1)x(k>0),由题意知f'(4)=0,解得k=13(2)f'(x)=3kx2+6(k-1)x(k>0),由题意知f'(4)≤0,解得k≤13又k>0,故0<k≤137.已知函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx(a≥1)(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解:(1)当a=1时,f(x)=12x2-2x+lnx由f'(x)=x-2+1x,得f'(1)=0,又f(1)=-3故f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为2y+3=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-(a+1)+ax若a=1,则f'(x)=(x-1)2x≥0恒成立,函数f(x)在区间若a>1,则当x∈(1,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)∪(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;综上可知,当a=1时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,当a>1时,函数f(x)在区间(1,a)内单调递减,在区间(a,+∞),(0,1)内单调递增.8.设函数f(x)=3x2+axex(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在区间[3,+∞)内单调递减,求a的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f'(x)=(6x+因为f(x)在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3x2ex,f'(x故f(1)=3e,f'(1)=3从而f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-3e=3化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f'(x)=-3令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0,解得x1=6-x2=6-当x>x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)单调递减.由f(x)在区间[3,+∞)内单调递减,知x2=6-a+a2+366≤3,解得a≥-二、综合应用9.已知函数f(x)=m3x3+2x2-x在区间13,+∞A.[0,+∞) B.(-4,+∞)C.[-3,+∞) D.-答案:B解析:f'(x)=mx2+4x-1,由题意可知mx2+4x-1≥0在区间13,当m>0时,二次函数的图象开口向上,当m=0时,函数为y=4x-1,在区间13,即当m≥0时,mx2+4x-1≥0在区间13,当m<0时,由Δ>0,即16+4m>0,得-4<m<0,又二次函数图象的对称轴为x=-2m∈12,+∞,综上所述,m>-4.10.(多选)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)+xf'(x)<xf(x)对x∈R恒成立,则下列选项不正确的是()A.2ef(2)>f(1) B.2ef(2)C.f(1)>0 D.f(-1)>0答案:ACD解析:构造函数F(x)=xf(因为F'(x)=ex[所以函数F(x)=xf(x)e因为2>1,所以F(2)<F(1),即2f(2)e2<f(1)因为F(1)<F(0),即f(1)e<0,所以f(1)<0,因为F(-1)>F(0),即-f(-1)e-1>0,所以f(-11.已知函数f(x)=-12x2+4x-3lnx在区间[t,t+1]上不单调,则实数t的取值范围是.答案:(0,1)∪(2,3)解析:由题意知f'(x)=-x+4-3x=-由f'(x)=0,得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.12.已知函数f(x)=xex+xex,且f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,则实数a的取值范围是答案:(-1,3)解析:因为x∈R,f(-x)=-xe-x+-xe-x=-xex+xex=-ff'(x)=ex+xex+1-xex=e2x(1+x)+1-xex,x∈R则g'(x)=e2x(3+2x)-1,令h(x)=e2x(3+2x)-1,则h'(x)=e2x(8+4x).当x≥0时,h'(x)>0,所以h(x)在区间[0,+∞)上单调递增,h(x)≥h(0)=2>0,即g'(x)>0,所以当x≥0时,g(x)单调递增,g(x)≥g(0)=2>0,所以f'(x)>0,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在x∈R上是增函数.由f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,得f(1+a)>-f(-a2+a+2)=f(a2-a-2),所以1+a>a2-a-2,解得-1<a<3.13.若函数g(x)=lnx+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线与x轴平行.(1)确定a与b的关系;(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.解:(1)因为g(x)=lnx+ax2+bx,所以g'(x)=1x+2ax+b由题意,得g'(1)=1+2a+b=0,所以2a+b=-1.(2)由(1)知g'(x)=(2ax-1当a=0时,g'(x)=-x-由g'(x)>0,解得0<x<1,由g'(x)<0,解得x>1,即函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减;当a>0时,令g'(x)=0,得x=1或x=12a,若12a<1,即a>12,则由g'(x)>0,解得x>1由g'(x)<0,解得12a即函数g(x)在区间0,12a,(1,+∞)内单调递增,若12a>1,即0<a<12,则由g'(x)>0,解得x>12由g'(x)<0,解得1<x<12即函数g(x)在区间(0,1),12a,+∞内单调递增若12a=1,即a=12,则在区间(0,+∞)内恒有g'(x)≥0,即函数g(x)在区间(0,+∞综上可得,当a=0时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减;当0<a<12时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间1,12a内单调递减当a=12时,函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增当a>12时,函数g(x)在区间0,12a内单调递增,在区间12a,1三、探究创新14.(多选)若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上单调递增,且F(x)=f(x)x在区间I上也单调递增,则称y=f(x)在区间I上“一致单调递增”.已知f(x)=x+exx,若函数f(x)在区间I上“一致单调递增A.(-∞,-2) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(2,+∞)答案:AD解析:f(x)=x+exx,则f'(x)=x2+ex(x-1)x2;F(x)=f当x∈(-∞,-2)时,f'(x)=x2+ex(x-1)x2>x2+(x-1)x2>0,函数f(xf'-12=14-F'(1)=-e<0,故C不满足;当x∈(2,+∞)时,f'(x)=x2+ex(x-1)x2>0,F'15.定义在区间(0,+∞)内的函数f(x)满足f(x)>0,且当x∈(0,+∞)时,2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,其中f'(x)为f(x)的导函数,则()A.116<f(C.14<f(答案