同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分

§1对弧长地曲线积分

计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程

X=X”)

aw/w6,则£/(%,y)杰=y(")，[龙(32+[y⑴7

若L：<dt

X=%⑺

若£：<y=则

、z=z”)

Jj(x,y,z)dS=y(f)，z(f))J[x⑺丁+[y⑴T+[z「)]「力

注意：上限一定要大于下限

1.计算下列对弧长地曲线积分

<1)*(工2+产)2公,其中L为圆周一+>2=。2；

解：法一：jjx2+y2)2ds=1(。2)2办

=tz4Bds=a4(2万a)=2俞

x=acos0

法二:L:\Q<0<2TI,

y=asm0

+/)2办

=£[(acosd)+(asinn8)丁J(-asin0)2+(acosd)-dO

=「七加=2房

Jo

<2)办淇中L为圆周尤2+y2=42,直线y=x及x轴在第一象限内所围成地扇形

地整个边界;

解Je"%=(G+L+J/〃s,其中

x=xx=acosOJi——x=x0<x<^^a

0A：4

,0<x<a,AB:<,0<0<-9BO:\

[y=0y=asin042

e^x+yds=[ae^yll2+02dx

oAJo

•77iaea

'ds=[eads=eads-------

ABJABAB4

〈或fc"、'ds

JAB

7J(“cosdp+(asin

-asma)?+(〃cos0^dO

0

兀a

^eaadO=^^)

o4

2axa

二[e^yf2dx=e-l

Jo

故Le""v杰=e"(2+£q)—2

<3)淇中L为抛物线y=2%2一1上介于％=o与尤=i之间地一段弧;

x=x

解：由得

b=2x2-l

23

§(1+16%2)21_]7妒]

32―48

<4)Jj2ds，其中L为摆线地一拱x=aQ-sina,y=a(l—8S1)(0W/K2%)；

£y2ds=£[a(l-cos0]2(1-cos^)]2+(〃sin%)2力

解:

=夜苏J。"(1一COS.)5力

=V2tz3^"(2sin221.517人t八、

=8/sin—dt<9—=。)

o22

=16。3:sin®'

.£47256

=3242sin5OdO=32a3x—x—----a3

。5315

<5)淇中L为圆周+y2=〃2

L|孙口S=4口期办，其中A：,x=acosO

解：利用对称性

y=asinO

71___________________________________________

=4•F(Qcos6)(asin6)J(-xsin+(acos9丫d9

Jo

71

4片rcosOsinOdO-2a3sin2012/

<6)——\---泌，其中「为曲线x=e'cos/,y=e"sin/,z=/上相应于，从0变到2地

x+y+z

弧段;

解：

工——2——

rx+y+z

1

cos?)f+[(/sin?)]2+e2,dt

=f(£cost)"+(£sint)~+(e)2

e'dt=1)

x2+y2+z2=2

<7)。国为,其中「为空间圆周：r：

y=x

工2+02=2,得2,+22=2,令,x=cos0

解：由<厂Q<0<2TI

，=xz=A/2sin。

x-cos0

故「：<y-cos00<8<2万.故

z=A/2sin0

=£|cosqVsin2^+sin2^+2cos2Od6

=\/^J01cos6卜9

_兀3TT

=cosOdd-JjcosOdO-\-卜cosOdO]=4^2

02~2

x=acost

2.螺旋形弹簧一圈地方程为：\y=asint(0<r<2^)，设它地线密度为

z=kt

夕(羽y,z)=x2+y2+z2,求：

(1)它关于Z轴地转动惯量，z；<2)它地重心坐标.

<1)A=L(/+y2)Qds

22222

=fL(x+y)(x+y+z)ds

=f\2[a2+k2t2)y/a2+k2dt=«2

a2\la2+k2(3a2+4/k2)

_fx(x2+y2+z2)(*

<2)x=^---------」

L(%2+y2+z2M

J：QC0S%(〃2+k2t2”Q2+k2dt

『(/+左2/)J〃2+k2dt

j^a2+k2t2^acostdtGak2

〈分子采用分部积分法）

一『(/+//)力-3a2+4rf

_」小2+\2+22.

'LY+V+Z?,

+%2『)JQ2+k2dt

^(a2+k2t2)^a2+k2dt

-6nak2

—31+4万42

_卜卜2+y2+z2M

1(尤2+/+z2»

J；kt^cr+k2t2)yla2+k2dt

一『(/+D2)〃2+/力

_3/左(a?+2万2左2)

-3a2+4万212

§2对坐标地曲线积分

无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程

X=x(t^

1计算公式：若〈其中%〃分别始点和终点对应地参数)，则

[y=y^

£P(x,y)cbc+Q(x,y)dy=，[尸(x(。,y«),'⑺+Q(x«),y«))y⑺]力

%=%⑺

若L:<y=y«)%:of/?,〈其中//分别始点和终点对应地参数)，则

z=z("

£P(x,y,z)tfc+Q(x,y,z^dy+R(^x,y,z)dz

=J^[P(x(Z),y(r),z(?))x(?)+2(x(?),y(?),z(Z))y'(?)+7?(x(Z),y(Z),z(r))z'(Z)]J/

注意：<1)对定向曲线才能说对坐标地曲线积；定向曲线地参数方程与未定向曲线地参数

方程地不同：

①定向曲线地参数表示为始点地参数到终点地参数而不管谁大谁小：t:afB

②未定向曲线地参数方程地参数表示为不等式：a<t<b

<2)①弧长地积分转化为定积分时定积分地上限一定要大于下限

②对坐标地曲线积分转化为定积分时定积分地上限一定是终点地参数，下限是始点地参

数，而不管上限是否一定要大于下限

2：两类曲线积分地关系

(1)定向曲线地切向量及其方向余弦

x=x(t\

若L：<t:af0

p=N)

①当。</时

切向量为：(X(，),'(0)；

方向余弦为cosa=x”)=,COSB-%)

22

+(a))X(t

②当时

切向量为:

一-y⑺

方向余弦为cosa=x1)=,COSB-

2

X\t

类似可以推广到空间曲线.

（2）两类曲线积分地关系

£P（x,yg+Q（x,y）dy=£[P（x,y）cos（z+Q（x,y）cos/3}ds

其中cosa.cosf3为定向曲线切向量地方向余弦

注意：把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量.特别要注意始点

参数与终点参数大小关系对切向量符号地影响.

1.把对坐标地曲线积分\LP（羽y}dx+Q（x,y）dy化为对弧长地曲线积分淇中L为:

<1）从点<0,0）沿抛物线y=%2到点<i,i）；

x=x

解：由故在（尤,）处切向量为（）所以

L:]2x:0-1,0<1,y1,2%,

11

cosa——i=——/一,,

Jl+(2xJV1+4X2

2x2x

cos/?=丁所以

Jl+(2x『J1+4X：

「P(x,y脑+Q(x,y)dy

-y)cos(z+Q(x,y)cos131ds

=rP(x,y)+2xQ(x,y)出

JI+4/八

<2）从点<0,0）沿上半圆周，+>2=2无丫20到点<1,1）.

X=X1-x'

解：L：x:0-1,由0<l,故在（九,y）处切向量为1,，所以

22

y=y/2x-xA/2X-X?

£P(x,y)dx+Q(x,y)dy

=1jp(x，y)cos6f+2(x,y)cosP\ds

-£[y/lx-x2P(x,y)+(1-x)Q(x,y)}ds

〈或=JjyPXy)+(1-x)Q(x,y)]ds)

"x=l+COS。717C

法二L:＜,e：TT—＞一，由万〉一,

y=sin022

故切向量为(一(一sin。),—cos。)，即(sin仇—cos6)

所以

sin。.八

cosa=/=sin，二y,

Q(asinJ?+{-acos^)2

八一cos6八，广…

cosp=7==-cos夕=1一x,所以

J(sin8)2+(-cos^)2

LP(x,yybc+Q(x,y)dy=£[P(x,y)cosa+Q(x,y)cos/3}ds

=£[yP(x,y)+(1—x)Q(x,y)]ds

2.计算下列对坐标地曲线积分：

＜1)以小一y2Mx淇中L为抛物线＞=?上从点＜0,0)到＜2,4)地一段弧;

%=X

解：由x:0-2,得

y=x

x=a+acos0

AO-A6:0—»

y-asmO

（注意此方程不是地极坐标方程，故不能说在极坐标系下8地范围6:0f%，事实上极坐标

7TTT

方程为r-2〃cos,8:03万，故在极坐标系下。地范围为6:0-万）

j-xydx=£xx0tZx=0

a+acosasin0d[a+cos6)

二一。3J。卜江0+sin28cosd®

7171

=-<73[2jJsin2ede+jjsin?8cosOdO\

=*+0）=一号

3

iti/7CCLno,

故儿孙办:=0+(———)二

F

＜3）卜（1+2冲）公+/力,乙为从点＜1,0）到点＜一1,0）地上半椭圆周尤2+2y2=i（yzo）；

x=cos0

解：由L：＜J2e：0—万,得

y-----sin6

2

jJI+2xy)dx+x2dy

：[1+2cos6((^sin6)](一sin^)+cos20^-cosO]dO

一f"sinOdO-A/2[sin20cosOdO+cos3OdO

JoJo

=COS^|Q+0Josin?Odsin0+^-£(1-sin20)dsin0

=一2+行*/+受sin”苧卜

=-2-0+0=-2

<4)华二警义◎淇中L为圆周，+产=。2(按逆时针方向)；

%+y

x=acos8,

解：由£:<6:0f2],得

y-asm0

+—(%—y)办

Lx2+y2

「2%(acos6+asin9)(-asin0)-(acos0-asin6)acos0

de

=Jo------------------二--------------------

f2zr

=-J0d0=-2兀

<5)，[(2-丁)公+(X-2)办+(X-2)心,其中「为椭圆周：<“+'—1,且从Z轴正方向看

[x-y+z=2

去，「取顺时针方向;

x=cos0

x1+y2=\得r：(y=sin。

解:由<e：2〃fo,故

X—y+z=2

z=2-cos8+sin6

jr(z-y)公+(%-z)dy+(%-z)dz

=[°[(4cos2-sin2＜9)-4(cos0+sin0)+cos0sinOdO

J27r

=一34+0+0=—3万

＜注意：易知，；"(：002。4。=/："5111264。,所以

JoJo

=gj)(cos20+sin20)dO=£dO=TI

x=t

＜6)。(丁2-z2)tZx+2yzdy—「是曲线：y=/上/由0到2〃地一段弧.

z=t3

解：[「(丁2-z2)dx+2yzdy-x2dz

=『(3/—2/)力=-/

3.计算，(％+y)办:+(y-x)办淇中£：＜1)抛物线/=%上从点＜ij)到点＜4,2)地一

段弧；＜2)从点＜1,1)到点＜4,2)地直线段；

＜3)曲线x=2产+4+l,y=於+1上从点＜1,点到点＜4,2)地一段弧.

解：＜1)由'y:l-＞2,得

j二y

£(x+y)t&+(y-x)t/y

=f[(y2+y).2y+(y_y2)J^=F

x=x

<2)由L:<12尤：1-4,得

y=-x+—

33

^(x+y)dx+(y-x)dy

=f4(x+-1x+-2)+(-1x+-2-x)-1dx=ll

33333

x—2t2+1+1

<3)由<t0—>1，得

y=t+i

^(x+y)dx+(y-x)dy

=[[(3/+[+2)(4%+l)—(r+[+2)=F

4.证明：1sin(x2+y2)dx+cos(xy)4/y<421其中/为平面上光滑曲线£地长度.

〈提示：转化为对弧长地曲线积分)

证明：

[sin(x2+y2)dx+cos(xy)dy

JL

二|£[sin(x2+y2)cosa+cos(xy)cos/3]ds

其中cos。,cos0是切向量地方向余弦，故满足cos2a+cos2(3=1.

sin(x2+y2)dx+cos(xy)dy<£|sin(x2+y~)cosa+cos(xy)cosf^ds

L

=£^/[(sin(x2+y2)cosa+cos(xy)cosyff)]2ds

=sn2%2+cos22222

\LyI(i()+2sin(x+y)cosacos(xy)cosp)+cos(xy)cosp)ds

<£yj(sin2(x2+y2)cos2a+[sin2(x2+y2)cos2P+cos2acos2(xy)]+cos2(xy)cos2/3ds

=L，(sin2(x2+y2)[cos2a+cos2^]+cos2(xy)[cos2tz+cos2J3]ds

=£y1(sin2(x2+y2)+cos2(xy)ds<「y[lds=421

法二：证明:

22

Lsin(x+y)dx+cos(xy)dy

=|£[sin(x2+y2)cosa+cos(xy)cosJ3]ds

其中cosa.cos0是切向量地方向余弦，故满足cos2a+cos2(3=1.

sin(x2+y2)dx+cos(xy)Jy<£|sin(x2+y2)cosa+cos(孙)cos划ds

L

设向量〃=卜皿―+y2),cos(v)),ne=(cosa,cos(3)则

2222

<\n\\ne\=sin(x+y)+cos(xy)<A/2,

故[sin(x2+y2)6k+cos(xy)6fy<£|sin(x2+y2)cosa+cos(xy)cos同ds

JL

\L42ds=42l

§3Green公式

1.用曲线积分计算下列曲线所围平面图形地面积:

22

<1)椭圆：—7-+^-y=l;

a2b2

x=acos0,

解：若：L\\6:0—2%,则

y=bsin0

A=da=g[xdy-ydx

cos20+absin20^,0-7iab

2

<2)星形线：x=acos3t,y=asin3t0,0<t<.

x=acos3t

解：若：LA1:0921，则

y-asin31

A=J]。da=gLxdy-ydx

=gJo[3/cos41sin21+3a2sin41cos2

3/•2%.22/

smteastat

o

3a产乃.2c』

-----1sin2tdt

8J。

3a2r2^1-cos4r73

=----------------at--7ia2

8J。28

2.用格林公式计算下列曲线积分

<1）*D26一九2,公,其中乙为圆周（〃>0）,取逆时针方向;

<2)j^ex[(1-cosy)dx—(y-sin,其中L为闭区域。乃,0<y<sin%地正向边

界.

解：<1)P=-x2y,Q=xy2,:.^--^-=x~+y2,

oxdy

又L逆时针方向，设。：Y+y2<〃2,所以

xy2dy-x2ydx=^x2+y2^d(j

=fd0\r'rdr-^-Tca

JoJo2

〈注意[移2办一X2y公=乩(2+y2）dcr工口。〃2d■，为什么？）

xo

<2)P=ex(l-cosy),Q=~(y-siny),--二-yex

,~QXQy

所以[e*[(1-cosy)dx-(y-siny)dy]

广广(兀「sin%

=veW=yedy

JJD--JoH-'

严rsinx

=欧可。-ydy

=[exsin2xdx

2Jo

1「乃％l-cos2x,

二——e------------dx

2Jo2

1广乃「乃

_

=~[J0产公―J。e"cos2&Zx]

I"e")+'(e*T)=g(l-")

＜其中£excos2xdx=excos2x|=+2£exsinIxdx

=e"-1+2[exsin2%|2£excos2xdx]

=e"-1一4fexcos2xdx

Jo

所以J。/cos2Azzx=—1））

3.计算积分£吗器淇中L为圆周（x-l）2+y2=R2（Rwi）＜按逆时针方向）；

L4x2+y2

解

斛P=4__/__+<_y_2Od=4__/_2+_/__'一•烝y=0

<1）故当R<1时，尸=—;二,。=2*，在（X—1）2+/。：2（尺41）所围地区域

4x2+y24x2+y2

D内有连续偏导，满足格林公式条件.=ffQda=0

h4x2+y2JJ。

<2）故当R>1时，（x—l）2+y2〈R2（R/D所围地区域。含有（0一点，故

P=7,Q=2工2在区域D有点没有连续偏导,不满足格林公式条件.不能直接

4x2+y24x2+y2

用格林公式条件.

做曲线/：4/+丁2=£取得足够小保证/含在L所围区域）方向为逆时针，即

1Z）

,x=—2C0S“八

1<2e:0—2».

y=esinO

则曲线£+广围成复连通区域2且为Dx地正向边界.

故在复连通区域2f里口半满足格林公式条件，故

Jz+r4x2+y2

f等坐』（w=0即

JL+「4%+yJJQ

rxdy-ydx_rxdy-ydx_rxdy-ydx

2

JL4X+y2」「4x2+y14x2+y1

—s2cos20+—£2sin20

2-------------------de

g

=—1[c兀d0=7i

2Jo

<注之所以取曲线/：4/+y2=/是方便计算，若取/：/十,2=/则计算麻烦）

4.证明下列曲线积分在工»面上与路径无关,并计算积分.

322

<1）,；《）（6移2_j；）+（6xy-3xy）dy

解：p=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2，所以单连通区域面有连续偏导，且

C2=12x—3y2=gt，所以曲线积分在面上与路径无

dxdy

322

法一：［禺)(6移2-y)dx+(6xy-3xy)dy

3

=(J_+J_)(6孙之一y)公+伊%2y_3呼2)dy

—x-x—x-3

其中xA^3BC:\y:234

。=21y=y

=J；(6xx22-23)Jx+|j6x32xy-3x3xy2)dy=236

法二设：u(x,j)=J(6xy2-j3)dx=3x2y2-xy3+0(y)

则包=6凸-3盯2+型2=6心-3盯2得皿Lo

dydydy

22

w(x,y)=3xy一盯3+c,故

f()(6xy2-y3)dx+(6x2y-3xy2)dy=w(3,4)-w(l,2)=236

J(1,2)

<2)))(2xy—y，+y)dx+(%2-)Qy

解：P=2孙—y4+3,。=%2一4盯3，所以单连通区域％处面有连续偏导，且

义=2x-4y3=当,所以曲线积分在xoy面上与路径无关.

oxdy

法一：

r(2,l).0a八C<2

Ji。)(2盯-y，+3)办:+(f-4xy3)67y

A<1B<2

=(J_+J_)(2呼-y4+3)dx+(x2-4xy3)dy■-------

—x-x—x-2

其中XA^IBCAy:031

y=01y=y

二J：(2%X0_04+3四+j"_4x2xV)力=5

2

法二设：”(%,y)=J(2冲-V+y)dx+0(y)=xy-xyi，4+3X+°3

-=x2-4xy3+如二x2-4xy3，得")

=0,所以

dydydy

w(x,y)=x2y-xy4+3x+C,

故J：襦-V4+y)dx+(x2-4孙3)dy="(2,1)—“(1,0)=5

5.用适当地方法计算下列曲线积分

222

<1)JL(xsin2y-y)dx+(xcos2y—l)dy,其中L为圆周x+y=R

依逆时针方向到点(0,R)地弧段；

解：由P=xsmly-y.Q=x2cos2y—1,有—空=1

dxdy

卜L丽(xsin2y-y)公+(X2cos2y-1)办=

,,—x—x—x-0

其中OA:《x:O^R,BO:\y:R^0

y=01y=y

jJxsin2y-y)dx+(x2cos2y-V)dy

=■__(xsin2y-y)dx+(x2cos2y-1)Jy

IJOA+L+BO..

-[J_+J_](xsin2y-y)dx+(x2cos2y-X)dy

=JL小必+\B5sin2y-y)dx+(x2cos2y-V)dy

——J：(xsin(2x0)-0)公-J：(。cos2y-l)dy

=^--0-f°(0cos2y-l)dy=-R

4JR4

<2)JJ/xdy，其中乙为从点⑵])到点&2)地直线段.

X

解：由P=M，Q=—有些一¥=。

%2xdxdy

积分与路径无关，则

।ydx-xdy_〔j+j1ydx-xdy

--X—X---X-1

其中AC:<x:2->l,CBJy:l.2

y=l[y=y

rydx-xdy_rrydx-xdy_：xdxr2-dy3

2ACCB22IJ2

Jz,xJJXJ2xJ2

〈注意：若应用积分与路径无关，则必须保证在添加地曲线与原曲线所围地区域是单连通地,

和P,Q在区域有连续偏导数，如该题中区域就不能含原点）

6.解下列全微分方程

<1)(x3-3xy2)dx+(_y3-3x2y)dy=0；

解：尸=好一3孙2,。=y3—，在xoy面有冬=-6xy=—，得方程为全微分方程.

dxdy

法一"(x,y)=J(d_3孙2.+0(y)=；x4_3x2y2+o(y)，故

普-3凸+中=八3取得用»即心）=》

A

dydydy4

B<x

▲

所以方程通解为一i/——3+1-J=。

424A<x

法二，令〃(x,y)=一3盯2)a:+(y3一3%2,)力

-------------------------

=(J_+J_)(x3-3xy2)Jx+(y3-3x2y)tfyO<0,

--X—X--X—X

其中。4Mx:0fxAB:<y:0fy

y=01y=y

=£(%3-3%x0)tZx+0++0+J。(V3-3x2y)dy

=~1x4+—1y4——3x2y2

402-

所以方程通解为一i/—33/2+-1y4=。

42.4.

小、xdx+ydy.,„

<2)+xdy+ydx=0.

Jl+?+y2

X+y,。=y+x,在wy面有丝=空，得方程为全微分方

解:P=/

Jl+f+y2，1+%2+/6X②

程.

c、

法一式(x,y)=f/%=+[dx+(p(y}=yjl+x2+y2+盯+。(丁),故

u+f+vJv

%力^+x+竺L^^+X,得坐

0,即心)=0

SyJl+f+VdyJl+f+ydy

▲

2B<x

所以方程通解为^i+JC+y+xy=CA

法二，令"（x,y）$；肃等+*+*A<x

T>-----------------

O<0,

xdx+ydy

+xdy+ydx

=也+1通）y/l+^+y2

,,---X—X----X-X

其中OA:<%:03%AB:<y:0fy

7=0

=[,%=dx+0+0+，，+x)力

Jo22J2

Vl+x+0O71+X+/

=y/l+x2-1+(y]l+x2+y2+xy)|Q

=Jl+%2-1+Jl+%2+y2+孙—M+%2_0)

=J1+尤2+y~+xy-1

所以方程通解为Jl+d+V+xy-l=C

7.计算曲线积分心+-(襄V)力淇中乙：

<1）闭区域+>24.3〉。〉。）地正向边界;

字4,Q="UJ等?

x+yx+ydydx

显然在a2<x2+y2<b2（b>a>O）fyP=与土£,Q=乎?有连续偏导数，满足格林

x+yx+y

公式条件，故J(x+y)dx-(x-y)dy

x2+y2

<2）圆周/+y2=a2（a>0）按逆时针方向;

解：圆周/+/=/所围区域含原点，故尸=*,Q=h在其内没有连续偏导,

x=Rcos0

数，不能用格林公式.直接计算L:e：o―2万，故

y=Rsin0

万―

(x+y)dx-(x-y)dy•2=a-d。=-2%

Lx2+y2oa2

<3)从点A（一肛一4）沿曲线y=icos%到点5（凡一1）地弧段.

由=丝，则积分路径无关，故:

解:dP

dydx

(x+y)dx-(x-y)dy

AE%2+,y2

(x+y)dx-(x-y)dy

x2+y2

•(x+y)dx-(x-y)dy

EBx2+y2

(x+y)dx-(x-y)dy

22

_r+y

X--71——x=xX-71

其中〉：一71TnCD：<X、.一7lf冗、DB\\y:nf一冗

[y=^y=y

加「(x^y)dx-(x-y)dy

x+y

[+](x+yM-(x-y)办

L22

JAEJEB,x_1_y

二必+图+/而+/而］(x+y)dx-(x-y)dy

27

x+y

(x+y)dx-(x-y)dy

=^AC+JCD+JDB]

x2+,y2

•(x+y)dx-(x-y)dy

Lx2+y2

产7T+V71〃717T+V,clX+7T.

=I——出+|-----+1—■~孙=3l---------dx

n+yJ"％+7J—%"+yx+/r

c冗Y+77P7lXrnTCC7TJT

=3[--dx=3\--dx+3\^-dx=0+6\--dx

九+»J-+»J-»X+〃J0%+%

/%1%3

=6arctan—L=—

7l'2

8.利用曲线积分与路径无关地条件,求待定参数或函数.

<1)确定。地值，使曲线积分/=。4+4xya)dx+(6X“Ty2_5^4)力与路径无关；

解：尸=/+4盯“,Q=6xNy2—5y4,欲使曲线积分与路径无关当且仅当当=吆，即

oyox

4a=6(^-1)

4卬"一1=6(〃_1)£一2,2,即(〃_2=]得a=3

a—l=2

ey

<2)求可微函数°(y)9⑴=e,使曲线积分Z=Ly(p(y)dx+(----(p(y))xdy

y

在y>0地开区域内与积分路径无关.

/QPQQ

解：尸=y叭y),。=(——<p(y))x，积分与路径无关当且仅当丁二¥，即

yoyox

9(y)+y”/=--一9(y),得

dyy

差2+%-}=o,〈这是以y自变量0(y)为未知函数地一阶线性微分方程)

又批l)=e得°(y)=$

9.证明-包公=0地充分必要条件为：丸+匕=0

LSxdydx2dy2

其中L是单连通开域G内地一条简单闭曲线,v(x,y)在G内具有连续地二阶偏导数

证明：对曲线积分办-?公P=-,,Q=S,故｛8力—，办=0地充分必要条

I1dxdydydxLdxdy

22

心且HPBQ「dPdvdQdv

4牛z9—=----J/,—=--------------------

dydx，dydy2，dxdx2

故f包办一生公=0地充分必要条件为一些=B，即乌+B=o

〃法/dydy2dx28x2dy2

§4对面积地曲面积分

1.计算下列曲面积分

<1)JJdS,其中E为抛物面z=2-(必+/)在双？面上方地部分。

Z

解：£：z=2—(y+y2)：%2+,2<2

则dS=J1+z；+zjdxdy=Jl+(-2x)2+^-2y^dxdy=，1+4/+4y)dxdy

故JJdS二JI。Jl+4%2+4/=jj"dSj：+4rlrdr

二2»x(/Jl+4「2d(4、+i)=?x[g(l+4/)5p]■»

<2)jj(%2+y2)dS,其中£为锥面z=旧+/及平面z=l所围成闭区域地边界曲面.

解：如图£=%+%，其中

4：Z=G+y2,(%,y)££>,£>：%2+y2

22

%：z=1,(九,y)GD,D:%+j；<1,故

Jj(x2+y2)dS=JJ(x2+y2)dS+jj(x2+y2)dS

Si

I2

严

+jj(%2+y2)Vl+02+02t&Jy

D

=(四+1)J[，+y2)dxdy

D

<3)jj(xy+yz+zx)dS，其中£为锥面z=^x2+y2被柱面x2+y2=2ax(a>0)所截得

地部分。

解：E:z=不大2+/y^D.Dix2+y2<lax

/、2(\2

贝!JdS-Jl+z；+zjdxdy=.1+/x+iy.dxdy=血dxdy

y[G+刊

故JJ(Xy+yz+z%)dS=jjy^Jx2+y2+^/x2+y2x)yf2dxdy

z

2

=41^Dxydxdy+j£y^x+y-dxdy+乩&2+yxdxdy}

xdxdy

〈区域关于X轴对称涵数W,孙是关于y奇函数）

l~f—p2acos。i-f—p2acos。

=V2j21Jr•rcosOrdr=V2j?兀cosOdO^Vosdr

一万一万

_71

=4缶手35田。

=8行/JIcos5ede=80a4x|xj=^|6M4

<4)jj(x2+V)ds,其中z为上半球面z=.

解：Z：z=^4-X2-3；2(%,y)£Z),£>：%之+y2V4,则

dS=Ql+z：+zjdxdy

/、2\2

2

1+/—xdxdy二dxdy

J"/_y2

/

22

故：j(x+y2)dS=j£(x+y^-^^==dxdydd^^^rdr

=r2d(—14—户)=47r[-『4-产'14—户rdr]

3.计算曲面壳

X:2=g(%2+y2)(042«1)地质量，面密度p=Z.

解：质量M=[ps=JJzdS

zz

其中Z：2=;(f+y2),(x,y)££),z)：x2+y2<2

dS=Jl+z；+zjdxdy=++y」dxdy

贝！JM=jjzdS=+y：)Jl+%2+y'dxdy

=J：dej；；r2J1+r2rd厂="J；/J1+户dr=r2d；(1+/>

=拈(1+产>产僻_居0+产]

=§6省—广(1+/评(/2+1)]

2

=|[673-|(l+r)^|f]

=||(1+6我

4.求密度为常数p地均匀半球壳Z=亚_",2对于0Z轴地转动惯量Iz.

2

解：Iz=\\{jc+y}pds

£在xoy面上地投影区域％:x2+y2<a2

2

rdr

L=J(x2+WpdS=p\\D^+y2)&2：_yjy=夕aJ：dd\lC—2

=2.r2d(-yja2-r2)=2pa7r[-y/a2-r2产「+J：[a2-r1dr2}

=2夕初[一][a2-r2d(a2-r2)]=2pa7r[-—^a2-r2^^]=—7ipa4

§5对坐标地曲面积分

计算联合形式JJPdxdy+Qdydz+Rdzdx

法一：直接计算：则分别计算JJP公办JJQ力龙JJR/Z公

EZZ

(1)计算jjPdxdy时

<I)将曲面E投影在无。丁面<且只能投影xoy面，即使投影为曲线而非区