高中数学排列组合题型总结与易错点提示

排列组合

复习巩固

1.分类计数原理（加法原理）

完成一件事，有“类方法，在第1类方法中有㈣种不同的方法,

在第2类方法中有吗种不同的方法，…，在第〃类方法中有也种

不同的方法，则完成这件事共有：底正三三种不同的方法・

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，须要分成〃个步骤，做第1步有网种不同的方法,

做第2步有吗种不同的方法，…，做第“步有也种不同的方法,

则完成这件事共有：四三三种不同的方法•

3.分类计数原理分步计数原理区分

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完

成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事务的一个

阶段，不能完成整个事务.

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解：由于末位和首位有特殊要求,应当优先支配，以免不合要求

的元素占了这两个位置.

i'------------------------k

先排末位共有C；C：A；C；

然后排首位共有C；

最终排其它位置共有局

由分步计数原理得C：C；4：=288

练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种

在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种

法？

二.相邻元素捆绑策略

例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种

不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时

丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时

对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有

&其&=480种不同的排法

要求某几个元素必需排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将须要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素

一起作排列，同时要留意合并元素内部也必需排列.

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在

一起的情形的不同种数为20

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节

目不能连续出场,则节目的出场依次有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有北种，其次

步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个

空位共有种4不同的方法，由分步计数原理,节目的不同依

次共有种

|元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演

前又增加了两个新节目.假如将这两个新节目插入原节目

单中，且两个新节目不相邻，则不同插法的种数为30

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人依次确定共有多少不同的排

法

解：（倍缩法）对于某几个元素依次确定的排列问题，可先把这

几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排

列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不

同排法种数是：被乐

（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有

苗种方法，其余的三个位置甲乙丙共有，种坐法,

何共有苗种方法。

思索:方亍以先让甲乙丙就坐吗

（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四

人依次插入共有方法

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理

练习题：10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左

至右身高渐渐增加，共有多少排法？党

五.重排问题求塞策略

例5.把6名实习生安排到7个车间实习，共有多少种不同的分

法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生安排到车间有工种分

法.把其次名实习生安排到车间也有7种分依此类推，由分

步计数原理共有种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为探讨对象，元素不受位置的约束，可以逐一支配各个元素的位置，一般地n不

同的元素没有限制地支配在m个位置上的排列数为种

练习题：

1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又

增加了两个新节目.假如将这两个节目插入原节目单中，则

不同插法的种数为42

2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下

电梯,下电梯的方法乙

六.环排问题线排策略

例6.8人围桌而坐，共有多少种坐法

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之

分，所以固定一人"并从今位置把圆形展成直线其余7人

共有(8-1)!种排法即7!

一般地个不同元素作圆形排列，共有(1)!种排法.假如从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,

共有多少排法

解：8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排

成一排•个特殊元素有犬种，再排后4个位置上的特殊元

素丙有4种,其余的5人在5个位置上随意排列有8种,

则共有A鸿种

”1口1口］口r,」1

前排后排

一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段探讨.

练习题：有两排座位，前排n个座位，后排12个座位，现支

配2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这

2人不左右相邻，则不同排法的种数是346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内，每盒至少装一

个球，共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有q种方法.再

把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不扃的盒内有

三种方法，依据分步计数原理装球的方法共有空

解决排列组合混合问题.先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相像吗

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4

人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班

长有且只有1人参与,则不同的选法有192种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个

偶数夹1,5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

解：把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有货种排法,

再排小集团内部共有四种排法，由分步计薮原理共有

任迭种排法丁等还CD

练习题___

1.支配展出10幅不同的画,其中1幅水彩画，4幅油画，5幅

国画，排成一行陈设,要求同一品种的必需连在一

起，并且水彩画不在两端，则共有陈设方式的种数为上

2.5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相令而i

法有种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多

少种安排方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额

之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔

板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每

种插板方法对应一种分法共有c；种分法。

o|oo|o|oo|o|oo|o

目昌房图覆圈围

将n个相同的元素分成m份（n,m为正整数），每份至少一个元素，可以用1块隔板，插入n个元素排成一排的1个空隙

中，全部分法数为

练习题：

1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？C；

2・x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解的组数小

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使

其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

解：这问题中假如干脆求不小于10的偶数很困难，可用总

体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个

数含有3个偶数的取法有4只含有1个偶数的取法有生,

和为偶数的取法共有CC+1再淘汰和小于10的偶数始9

种，符合条件的取法共有Cc；+C；-9

I有些排列组合问题，正面干脆考虑比较困难，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反而，再从整体中淘汰.

练习题：我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、

团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种

十二.平均分组问题除法策略

例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解：分三步取书得竺竺种方法，但这里出现重复计数的现象,

不妨记6本书五7卷第一步取,其次步取,第三步取该分

法记为（），则空色中还有（），（），（）（），（）共有用种取法，

而这些分法也寂一种分法,故共有c；c25种分法。

平均分成的组，不管它们的依次如何,都是一种状况，所以分组后要确定要除以A：（〃为均分的组数）避开重复计数。

练习题：

1将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多

少分法？（《《屐/人”

2.10名学生分成3组,其中一组4人，另两组3人但正副班长

不能分在同一组，有多少种不同的分组方法（1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要

支配到该年级的两个班级且每班支配2名，则不同的支配方案

种数为

（C：C；A：/A；=90）

十三.合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会

跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选

派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演

员。选上唱歌人员为标准进行探讨只会唱的5人中没有

人选上唱歌人员共有空种，只会唱的5人中只有1人选

上唱歌人员竺造种，运唱的5人中只有2人选上唱歌人

员有Cs2c；种，由分类计数原理共有c；c；+Cc；c：+c2种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事务发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次

清晰，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题：

1.从4名男生和3名女生中选出4人参与某个座谈会，若

这4人中必需既有男生又有女生，则不同的选法共有此

2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人，2号船最多乘2

人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船，但小孩不

能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法.（27）

本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准

*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准

*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准

都可经得到正确结果

十四.构造模型策略

例14.公路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要

关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不

能关掉两端的2盏,求满意条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入

3个不亮的灯有4种

一些不易理解的排列组合题假如能转化为特别熟识的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都

有空位，则不同的坐法有多少种？（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个

盒子,现将5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个

球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投

法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有q种还剩下3球3盒

序号不能对应，利用实际操作法，彳前口剩下3,4,5号球,

3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种

装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装

法，由分步计数原理有2《种

金*■

3号盒4号盒5号盒

对于条件比较困难的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

练习题：

1.同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿

一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的安排方式有多少

种？⑼

2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,

则不同的着色方法有72种

十六.分解与合成策略

例16.30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2

X3X5X7X11X13,依题意可知偶因数必先取2,再从其

余5个因数中任取若干个组成乘积，全部的偶因数为：

c+c+c+c+c

练习：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共

*12=58,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连

成3x58=174对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个困难问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后

的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案，每个比较困难的问题都要用到这种解题策略

十七.化归策略

例17.25人排成5X5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一

行也不在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3义3方阵,现从中选3人,要

求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1

人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如

此接着下去.从3X3方队中选3人的方法有ccc种。再从5X5

方阵选出3X3方阵便可解决问题.从5X5方队中选取3行3

列有空选法所以从5X5方阵选不在同一行也不在同一列的3

人有选法。

处理困难的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解

决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表

小公路，从A走到B的最短路径有多少种？（6=35）

十八.数字排序问题查字典策略

例18.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重

复的比324105大的数？

解：N=2A；+2A：+用+A；+A；=297

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数，依据分类计数原理求出其总数。

练习：用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,

将这些数字从小到大排列起来,第71个数是3140

十九.树图策略

例19.3人相互传球，由甲起先发球,并作为第一次传球,经过5

次传求后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有

N=1O

对于条件比较困难的排列组合问题，不易用

练习：分别编有1,2,3,4,5号码的人与椅，其中，•号人不

坐i号椅3=1,2,3,45）的不同坐法有多少种?N=44

二十.困难分类问题表格策略

例20.有红、黄、兰色的球各5凡分别标有A、B、C、D、E

五个字母,现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备,

则共有多少种不同的取法

:红111223

黄123121

321211

取法C©C©C2C：C；

•些困难的分类选取题，要满意的条件比较多，无从入手，常常出现重复遗漏的状况，用表格法，则分类明确，能保证题中须

满意的条件，能达到好的效果.

二H—L：住店法策略

解决“允许重复排列问题”要留意区分两类元素：一类元素可

以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能

重复的元素看作“店”，再利用乘法原理干脆求解.

例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获

得冠军的可能的种数有.

分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列,

将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个

“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.

排列组合易错题正误会析

1没有理解两个基本原理出错

排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原

理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前

提.

例1从6台原装计算机和5台组装计算机中随意选取5台,其

中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有一种.

误会：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原

装与2台组装计算机，所以只有2种取法.

错因分析：误会的缘由在于没有意识到“选取2台原装与

3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务

的两“类”方法，每类方法中都还有不同的取法.

正解：由分析，完成第一类方法还可以分成两步：第一步

在原装计算机中随意选取2台，有四种方法；其次步是在组装

计算机随意选取3台，有武种方法，据乘法原理共有或C种方

法.同理，完成其次类方法中有或c种方法.据加法原理完成全

部的选取过程共有*Ch6制=35。种方法.

例2在一次运动会上有四项竞赛的冠军在甲、乙、丙三人中

产生，则不同的夺冠状况共有()种.

(A)A：(B)4，(C)3，(D)

误会：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.

正解：四项竞赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每

项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3x3x3x3=34种.

说明：本题还有同学这样误会，甲乙丙夺冠均有四种状况,

由乘法原理得43这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺

得后，其他人就不再有4种夺冠可能.

2推断不出是排列还是组合出错

在推断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组

成有没有依次性，有依次的是排列，无依次的是组合.

例3有大小形态相同的3个红色小球和5个白色小球，排成

一排，共有多少种不同的排列方法？

误会：因为是8个小球的全排列，所以共有廉种方法.

错因分析：误会中没有考虑3个红色小球是完全相同的，

5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种

排法.

正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当

于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由

于这3个红球完全相同，所以没有依次，是组合问题.这样共

有：=56排法.

3重复计算出错

在排列组合中常会遇到元素安排问题、平均分组问题等，

这些问题要留意避开重复计数，产生错误。

例45本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一

本，不同的分法种数为（）

（A）480种（B）240种（C）120种（D）96

种

误会：先从5本书中取4本分给4个人，有用种方法，剩下的

1本书可以给随意一个人有4种分法，共有4内=48。种不同的分

法，选A.

错因分析：设5本书为八八八八e,四个人为甲、乙、丙、

丁.依据上述分法可能如下的表1和表2：

甲乙丙T甲乙丙T

abCdebcd

ea

表表

1?

表1是甲首先分得八乙分得八丙分得八丁分得“，最终一本

书e给甲的状况；表2是甲首先分得e、乙分得八丙分得八T

分得d,最终一本书”给甲的状况.这两种状况是完全相同的，

而在误会中计算成了不同的状况。正好重复了一次.

正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第

一步：从5本书中随意取出2本捆绑成一本书，有以种方法；

其次步：再把4本书分给4个学生，有羽种方法.由乘法原理，

共有=240种方法,故选B.

例5某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天

支配一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有()

种.

(A)5040(B)1260(C)210(D)630

误会：第一个人先选择2天，其次个人再选择2天，剩下的3

天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：弓慧川=1260,选B・

错因分析：这里是匀称分组问题.比如：第一人选择的是周一、

周二，其次人选择的是周三、周四；也可能是第一个人选择的

是周三、周四，其次人选择的是周一、周二，所以在全排列的

过程中就重复计算了.正解：萼1=63。种.

4遗漏计算出错Mil叵

在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗

漏某些状况，而出错。

例6用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的比1000

大的奇数共有()

(A)36个(B)48个(C)66个(D)72个

误会：如右图，最终一位只能是1或3有两种取法，又因为第

1位不能是0,在最终一位取定后只有3种取

法，剩下3个数排中间两个位置有房种排法，共有23宙=36个.

错因分析：误会只考虑了四位数的状况，而比1000大的奇数

还可能是五位数.

正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有2X3洲=36个，再由前

面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D.

5忽视题设条件出错

在解决排列组合问题时确定要留意题目中的每一句话甚

至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.

例7如图，一个地区分为5个行政区耍着色,

要求相邻区域不得运用同一颜色，现有4

种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以

数字作答）

误会：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区

域，即有一种颜色涂相对的

两块区域，有=12种，由乘法原理共有：4x12=48种.

错因分析：没有看清题设“有4种颜色可供选•择•”，不确定须

要4种颜色全部运用，用3种也可以完成任务.

正解：当运用四种颜色时，由前面的误会知有48种着色方法;

当仅运用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有《种方法，先

着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能

是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2

种着色方法，由乘法原理有C：x3x2=24种.综上共有：48+24=72种.

例8已知小-…是关于x的一元二次方程，其中八be{1,2,3,4},求

解集不同的一元二次方程的个数.

误会：从集合”23,4｝中随意取两个元素作为八〃，方程有"个，

当八6取同一个数时方程有1个，共有温+i个.

错因分析：误会中没有留意到题设中：“求解•集•不•同•的……”

所以在上述解法中要去掉同解状况，由于『同它同解、归2和

同解，故要减去2个。正解：由分析，共有13-2=11个解集不

同的一元二次方程.

6未考虑特殊状况出错

在排列组合中要特殊留意一些特殊状况，一有疏漏就会

出错.

例9现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民

币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不

同的币值种数是()

(A)1024种(B)1023种(C)1536种(D)1535种

误：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种状况，

减去全不取的1种状况，共有*―1=1023种.

错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误会中被计算

成4种状况，事实上只有不取、取一张和取二张3种状况.

正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种状况，100元

人民币的取法有3种状况，再减去全不取的1种状况，所以共

有29x3-1=1535种.

7题意的理解偏差出错

例10现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三

人不能相邻的排法有()种.

(A)Al-Al(B)Al-At-Al(C)&(D)履-4

误会：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有反种排法，

5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有成种方法，

这样共有内年种排法，选A.

错因分析：误会中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的

含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互•不•相•邻•”的状况.“甲、

乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但

允许其中有两人相邻.

正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的

方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即否一限A；,

故选B.

8解题策略的选择不当出错

例10高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进

行社会实践，其中工厂甲必需有班级去，每班去何工厂可自由

选择，则不同的安排方案有（）.

（A）16种（B）18种（C）37种（D）

48种

误会：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2

个班均有4种选择，这样共有3卬4加种方案.

错因分析：明显这里有重复计算.如：。班先派去了甲工厂，

，班选择时也去了甲工厂，这与八班先派去了甲工厂，〃班选择

时也去了甲工厂是同一种状况，而在上述解法中当作了不一样

的状况，并且这种重复很难解除.

正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，

再扣除甲工厂无人去的状况，即：4x4x4-3x3x3=37种方案.

排列与组合习题

1.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同

的乘车方法数为（）

A.40B.50C.60D.70

［解析］先分组再排列，一组2人一组4人有=15种不同的

分法；两组各3人共有=10种不同的分法，所以乘车方法数

为25X2=50,故选B.

2.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位

相邻的不同坐法有（）

A.36种B.48种C.72种D.96种

［解析］恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位

不相邻，先排三个人，然后插空，从而共=72种排法，故选

C.

3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必需同

时运用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）

A.6个B.9个C.18个D.36个

［解析］留意题中条件的要求，一是三个数字必需全部运用，

二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有=3（种）选法，即

1231,1232,1233,而每种选择有X=6（种）排法，所以共有3X6

=18（种）状况，即这样的四位数有18个.

4.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1

人，共有30种不同的选法，其中女生有（）

A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4

人

［解析］设男生有〃人，则女生有(8—〃)人，由题意可得=30,

解得〃=5或〃=6,代入验证，可知女生为2人或3人.

5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级,

也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法

有()

A.45种B.36种C.28种D.25种

［解析］因为10-8的余数为2,故可以确定一步一个台阶的

有6步，一步两个台阶的有2步，则共有=28种走法.

6.某公司聘请来8名员工，平均安排给下属的甲、乙两个部

门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电

脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的安排方案共有

()

A.24种B.36种C.38种D.108种

［解析］本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻

译人员分到两个部门，共有2种方法，其次步将3名电脑编程

人员分成两组，一组1人另一组2人，共有种分法，然后再分

到两部门去共有种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一

组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两

人所去的部门就已确定，故第三步共有种方法，由分步乘法计

数原理共有2=36(种).

7.已知集合7={5},7={1,2},C={1,3,4},从这三个集合

中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不

同点的个数为（）

A.33B.34C.35D.36

［解析］①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有•

=12个；

②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有•

+=18个；

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有=

3个.

故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个，故选

A.

8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5

相邻的六位偶数的个数是（）

A.72B.96C.108D.144

［解析］分两类：若1与3相邻，有•=72（个），若1与3不相

邻有•=36（个）

故共有72+36=108个.

9.假如在一周内（周一至周日）支配三所学校的学生参观某展览

馆，每天最多只支配一所学校，要求甲学校连续参观两天，其

余学校均只参观一天，则不同的支配方法有（）

A.50种B.60种C.120种D.210种

［解析］先支配甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一

共有6种：（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7）,甲任选一

种为，然后在剩下的5天中任选2天有序地支配其余两所学校

参观，支配方法有种，依据分步乘法计数原理可知共有不同的

支配方法•=120种，故选C.

10.支配7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班

天，其中甲、乙二人都不能支配在5月1日和2日，不同的

支配方法共有种.（用数字作答）

［解析］先支配甲、乙两人在后5天值班，有=20（种）排法，

其余5人再进行排列，有=120（种）排法，所以共有20X120=

2400（种）支配方法.

11.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分,

将这9个球排成一列有种不同的排法.（用数字作答）

［解析］由题意可知，因同色球不加以区分，事实上是一个组

合问题，共有••=1260（种）排法.

12.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各

1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不

排方案有种（用数字作答）.

［解析］先将6名志愿者分为4组，共有种分法，再将4组人

员分到4个不同场馆去，共有种分法，故全部安排方案有：•=

1080种.

13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的

花，要求相邻区域不同色，有种不同的种法(用数字作答).

［解析］5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法.若1、

3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，，有

4X3X2X(1X2+1X1)=72种.

14.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的

信封中.若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同

一信封，则不同的方法共有

(A)12种(B)18种(C)36种

(D)54种

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有G种方法；其他四封

信放入两个信封，每个信封两个有呆无种方法，共有《年7二”

种，故选B.

15.某单位支配7位员工在10月1日至7日值班，每天1人,

每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排

在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的支配方案共有

A.504种B.960种C.1008种

D.1108种

解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有种方法

甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有

4&(+A；A；&)种方法

故共有1008种不同的排法

16.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5

相邻的六位偶数的个数是

(A)72(3)96(C)108(D)

144*s5*o*m

解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法*s5*。*四

①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3A32用=

24个

②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排,

共3A透—12个

算上个位偶数字的排法，共计3(24+12)=108个

答案：C

17.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允

许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字

只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相

同的信息个数为

A.10B.11C.12D.15

【答案】小

【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：，

第一类；与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C：=6(个)，

第二类，与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C：=4(个)“

第三类，与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C?=l(个)“

与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6+4+1=11(个).故选B.，

【命题意图】本题考查组合问题与分类加法计数原理.属中档题."

18.现支配甲、乙、丙、丁、戌5名同学参与上海世博会志愿

者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,

每项工作至少有一人参与。甲、乙不会开车但能从事其他三项

工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同支配方案的种数是

A.152B.126C.90D.54

【解析】分类探讨：若有2人从事司机工作，则方案有C；“E8；

若有1人从事司机工作，则方案有C；xC：y*O8种，所以共有

18+108=126种，故B正确

19.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2

名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人

中恰有1名女同学的不同选法共有（D）

（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种

解：分两类（1）甲组中选出一名女生有CCC=225种选法；

（2）乙组中选出一名女生有c；yc=i2o种选法.故共

有345种选法.选D

20.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至

少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不

同分法的种数为

A18B.24C.30D.36

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的

种数是玛，依次有段种，而甲乙被分在同一个班的有相种，所以

种数是CM_父=30

21.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站

两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数

是

A.60B.48C.42

D.36

【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,

（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B,两名男生

分别记作甲、乙；则男生甲必需在A、B之间（若甲在A、B

两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，

此时就不能满意男生甲不在两端的要求）此时共有6X2=12

种排法（A左B右和A右B左）最终再在排好的三个元素中

选出四个位置插入乙，所以，共有12X4=48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作

A,（A共有c；&=6种不同排法），剩下一名女生记作B,两名男

生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类状况：

第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共

有6AM=24种排法；

其次类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和

男生甲只有一种排法，此时共有6用=12种排法

第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”

A和男生甲也只有一种排法。

此时共有油=12种排法

三类之和为24+12+12=48种。

22.从10名高校生毕业生中选3个人担当村长助理，则甲、

乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位

A85B56C49D

28

【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的

选法有：C--C-42,另一类是甲乙都去的选法有c；c=7,所以共

有42+7=49,即选C项。

23.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站

两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数

是

A.360B.188C.216D.96

解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻

的排法有&C=332种,其中男生甲站两端的有=144,

符合条件的排法故共有188

解析2：由题意有2&.©.&）.4.（7；+&.（2.&）.&=188,选Bo

24.12个篮球队中有3个强队，将这12个队随意分成3个组

（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（）

A.±B.3C.1D.1

555543

解析因为将12个组分成4个组的分法有笑G种，而3个强队

恰好被分在同一组分法有受支，故个强队恰好被分在同一组

的木既率为C；C；C；C：A&C；C：A；=5o

25.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站

2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数

是（用数字作答）.

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有可种；若有一

个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同

的站法种数是336种.

26.锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆

4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中随意舀取4个汤

圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）

A.AB."C.竺D.如

91919191

【解析】因为总的滔法我而所求事务的取法分为三类，即芝麻

馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1,

2,1；2,1,1三类，故所求概率为

爆xCy+CxCxC+CixCxC：_48

一91

27.将4名高校生安排到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一

名,则不同的安排方案有种（用数字作答）.

【解析】分两步完成：第一步将4名高校生按，2,1,1分成

三组，其分法有生注；其次步将分好的三组安排到3个乡镇,

4

其分法有所以满意条件得安排的方案有生等a=36

28.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒

子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，

则不同的放球方法有（）

A.10种B.20种C.36种

D.52种

解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个

盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编

号，分状况探讨：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号

盒子，有种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2

号盒子，有盘=6种方法；则不同的放球方法有10种，选A.

29.将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少

1名，最多2名，则不同的安排方案有

（A）30种（B）90种（C）180种

（D）270种

解析：将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至

少1名，最多2名，则将5名老师分成三组，一组1人，另两

组都是2人,有牛=15种方法,再将3组分到3个班，共有y

种不同的安排方案，选B.

30.某校从8名老师中选派4名老师同时去4个边远地区支教

（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则

不同的选派方案共有种

解析：某校从8名老师中选派4名老师同时去4个边远地区支

教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去,

可以分状况探讨，①甲、丙同去，则乙不去，有最㈤二240种

选法；②甲、丙同不去，乙去，有仁川二240种选法；③甲、乙、

丙都不去，有用=12。种选法，共有600种不同的选派方案.

31.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其

中数字1,2相邻的偶数有个（用数字作答）.

解析：可以分状况探讨：①若末位数字为0,则1,2,为一

组，且可以交换位置，3,4,各为1个数字，共可以组成2代=12

个五位数；②若末位数字为2,则1与它相邻，其余3个数

字排列，且0不是首位数字，则有2.用=4个五位数；③若末位

数字为4,则1,2,为一组，且可以交换位置，3,0,各为1

个数字，且0不是首位数字，则有2.（2.9二8个五位数，所以全

部合理的五位数共有24个。

32.有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或

绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能

同时点亮，依据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来

表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少

种？

［解析］因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以须要把3

个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间与两端的6个

空上，共有种亮灯方法.然后分步确定每个二极管发光颜色有

2X2X2=8（种）方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有

X2义2X2=160（种）.

33.按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的

分法？

（1）各组人数分别为2,4,6个；（2）平均分成3个小组；（3）平均分

成3个小组，进入3个不同车间.

［解析］⑴=13860（种）；（2）=5775（种）;

（3）分两步：第一步平均分三组；其次步让三个小组分别进入三

个不同车间，故有•=••=34650（种）不同的分法.

34.6男4女站成一排，求满意下列条件的排法共有多少种？

⑴任何2名女生都不相邻有多少种排法？（2）男甲不在首位，

男乙不在末位，有多少种排法？

⑶男生甲、乙、丙排序确定，有多少种排法？（4）男甲在男乙

的左边（不确定相邻）有多少种不同的排法？

［解析］（1）任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排

男生再让女生插到男生的空中，共有•种不同排法.

（2）方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位,

则有种排法，若甲不在末位，则甲有种排法，乙有种排法，其

余有种排法，

综上共有（十•）种排法.

方法二：无条件排列总数

一错误！

甲不在首乙不在末，共有（一2+）种排法.

（3）10人的全部排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有种,

又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序确定的

排法有种.

（4）男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的

10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满

意条件的有种排法.

35.已知m,n是正整数，/(x)=(l+x)m+(l+x)n的绽开式中X的系数为7,

(1)试求小)中的I的系数的最小值

(2)对于使/⑺的/的系数为最小的〃7,〃，求出此时1的系数

(3)利用上述结果，求〃0.003)的近似值(精确到0.01)

解：依据题意得：C；+C：=7,即〃什〃=7(1)

/的系数为叱+C”吗心+普工曲［士^

将(1)变形为〃=7一〃,代入上得：/的系数为加2_7加+21=(吁12+5

2

故当m=3或4fl、j,x的系数的最小值为9

(1)当m=3,n=4或机=4,”=3时,x3的系数为为C；+C：=5

(2)/(0.003)»2.02

排列与组合习题

1.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同

的乘车方法数为()

A.40B.50C.60D.70

［解析］先分组再排列，一组2人一组4人有=15种不同的

分法；两组各3人共有=10种不同的分法，所以乘车方法数

为25义2=50,故选B.

2.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位

相邻的不同坐法有()

A.36种B.48种C.72种D.96种

他我恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相

邻，先排三个人，然后插空，从而共=72种排法，故选C

3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必需同

时运用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）

A.6个B.9个C.18个D.36个

［解析］留意题中条件的要求，一是三个数字必需全部运用，

二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有=3（种）选法，即

1231,1232,1233,而每种选择有X=6（种）排法,所以共有3X6

=18（种）状况，即这样的四位数有18个.

4.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1

人，共有30种不同的选法，其中女生有（）

A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4

人

［解析］设男生有n人,则女生有（8—〃）人，由题意可得=30,

解得〃=5或〃=6,代入验证，可知女生为2人或3人.

5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级,

也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法

有（）

A.45种B.36种C.28种D.25种

［解析］因为10-8的余数为2,故可以确定一步一个台阶的

有6步，一步两个台阶的有2步，则共有=28种走法.

6.某公司聘请来8名员工，平均安排给下属的甲、乙两个部

门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电

脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的安排方案共有

（）

A.24种B.36种C.38种D.108种

［解析］本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻

译人员分到两个部门，共有2种方法，其次步将3名电脑编程

人员分成两组，一组1人另一组2人，共有种分法，然后再分

到两部门去共有种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一

组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两

人所去的部门就已确定，故第三步共有种方法，由分步乘法计

数原理共有2=36（种）.

7.已知集合A={5},7={1,2},C={1,3,4）,从这三个集合

中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不

同点的个数为（）

A.33B.34C.35D.36

［解析］①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有•

=12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1

的有・+=18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有

2个1的有=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3

=33个，故选A.

8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5

相邻的六位偶数的个数是（）

A.72B.96C.108D.144

［解析］