高考数学二轮复习 考前回扣9 计数原理讲学案 理-人教版高三全册数学学案

回扣9计数原理

IT基础回归--------------------

1.分类加法计数原理

完成一件事，可以有〃类办法，在第一类办法中有以种方法,在第二类办法中有麽种方法，…，

在第n类办法中有血种方法，那么完成这件事共有以+加+…+园种方法(也称加法原

理).

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要经过〃个步骤，缺一不可，做第一步有的种方法，做第二步有血种方法，…，

做第〃步有应种方法，那么完成这件事共有血X…Xa,种方法(也称乘法原理).

3.排列

(1)排列的定义：从〃个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做

从〃个不同元素中取出小个元素的一个排列.

(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出加辰M个元素的所有不同排列的个数叫做从n

个不同元素中取出〃个元素的排列数，用AZ表示.

(3)排列数公式：A7=〃(〃-1)(〃-2)…(〃一/+1).

(4)全排列：A个不同元素全部取出的一个排列，叫做A个元素的一个全排列，9=n・(n—

nI

1)•5—2)....2•1=加.排列数公式写成阶乘的形式为A；=T—y-，这里规定0!=

{n~nr)!

1.

4.组合

(1)组合的定义：从〃个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从〃个不同元素中

取出0个元素的一个组合.

(2)组合数的定义：从〃个不同元素中取出"个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃

个不同元素中取出〃个元素的组合数，用比表示.

(3)组合数的计算公式：———=-——-——尸-------由于0!=1,所

A“m\(n—/n)!初

以璘=1.

(4)组合数的性质：①&②CM=C2+C尸.

5.二项式定理

(a+6)"=C：a"+C：a"…+Ca""力"+…+C76"(AGN*).

这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+6)"的二项展开式，其中的系数C：(k=

0,1,2,…，〃)叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用71+1表示，即展

开式的第4+1项：Tk+l=片.

6.二项展开式形式上的特点

(1)项数为〃+L

(2)各项的次数都等于二项式的幕指数n,即a与6的指数的和为n.

(3)字母a按降哥排列，从第一项开始，次数由〃逐项减1直到零；字母6按升幕排列，从

第一项起，次数由零逐项增1直到〃

(4)二项式的系数从点,C,一直到C式,

7.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

(2)增减性与最大值：二项式系数C],当人号时，二项式系数是递增的；当左＞号时，

二项式系数是递减的.

当〃是偶数时，那么其展开式中间一项，的二项式系数最大.

-+1

2

当〃是奇数时，那么其展开式中间两项Ti和，+i的二项式系数相等且最大.

——+1——+1

22

(3)各二项式系数的和

(a+6)”的展开式的各个二项式系数的和等于2",即C：+C+e+…+C+…+&=2".

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C+C：+C：+…

=C：+C[+C：+i=2"T.

易错提醒

1.关于两个计数原理应用的注意事项

(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于:

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以

做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完

成了才算完成这件事.

(2)混合问题一般是先分类再分步.

(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.

（4）要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.

2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：

（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.

（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.

3.排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）特殊元素优先安排.（2）合理分类与准确分步.（3）排列、组合混合问题先选后排.（4）

相邻问题捆绑处理.（5）不相邻问题插空处理.（6）定序问题排除法处理.（7）分排问题直排

处理.（8）“小集团”排列问题先整体后局部.（9）构造模型.（10）正难则反，等价条件.

4.对于二项式定理应用时要注意

（1）区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.

项的系数与a,6有关，可正可负，二项式系数只与〃有关，恒为正.

（2）运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k,再求所需的某项；有时

需先求n,计算时要注意〃和4的取值范围及它们之间的大小关系.

（3）赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0,±1.

（4）在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a,b.

m回归训练

1.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样,

则不同的抽取方法数为（）

A.224B.112

C.56D.28

答案B

解析根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生

1名男生的方法数为dCl=112.

2.5人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有（）

A.12种B.24种

C.48种D.60种

答案C

解析可先排甲、乙两人，有度=2（种）排法，再把甲、乙两人与其他三人进行全排列，有

A：=24（种）排法，由分步乘法计数原理，得共有2X24=48（种）排法，故选C.

3.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）,

要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）

A.210种B.420种

C.630种D.840种

答案B

解析因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况,1男2女或2男1女.若

选出的3位教师是1男2女，则共有C/谑=180（种）不同的选派方法；若选出的3位教师是

2男1女，则共有ClC：A；=240（种）不同的选派方法，所以共有180+240=420（种）不同的方

案，故选B.

4.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、清华大学、浙江大学三所大学就读，则每所

大学至少保送一人的不同保送方法有（）

A.150种B.180种

C.240种D.540种

答案A

解析先将5个人分成三组，（3,1,1）或（1,2,2）,分组方法有僚+心孚=25（种），再将三

组全排列有8=6（种），故总的方法数有25X6=150（种）.

5.（2016•四川）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）

A.24B.48

C.60D.72

答案D

解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数

中选一个作为个位数有C；种选法，再将剩下的4个数字排列有A：种排法，则满足条件的五位

数有点•A；=72（个）.故选D.

6.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池

内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为

A.180B.240

C.360D.420

答案D

解析若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有用种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则

2,4两个花池栽同一种颜色的花，或3,5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2只种；若5

个花池栽了3种颜色的花卉，方法有点种，所以最多有屋+2魔+屋=420（种）.

7.某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节.在排

课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数

为（）

A.408B.480

C.552D.816

答案A

解析数学在第（1,2）节，从除英语外的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排，故

有C：A：=96（种）排法；数学在第⑵3）节，从除英语、生物外的3门课中选1门安排在第1

节，从除英语外剩下的3门课中再选1门安排在第4节，剩下的任意排，故有C/A；=54（种）

排法；数学在（3,4）,（4,5）,（5,6）情况一样，当英语在第1节时，其他任意排，故有A；=

24（种）排法，当英语不在第1节时，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再

从除英语外剩下的3门中选2门放在数学课前1节和后1节，乘J下的任意排，有C；A加=36（种）

排法，故共有3X（24+36）=180（种）排法；数学在第（6,7）节时，当英语在第一节时，其他

任意排，故有解=24（种）排法，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安

排在第1节，再从除英语外的剩下的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，有C/A；=

54（种）排法，故有24+54=78（种）排法，根据分类加法计数原理，共有96+54+180+78

=408（种）排法.故选A.

8.设i为虚数单位，则（x+i＞的展开式中含x4的项为（）

A.-157B.15/

C.-20iyD.20i/

答案A

解析由题可知，含x4的项为《式2=-15f.故选A.

9.在二项式（*一^”的展开式中，所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为

（）

A.32B.-32

C.0D.1

答案C

解析依题意得所有二项式系数的和为2〃=32,解得〃=5.

因此，令x=l,则该二项展开式中的各项系数的和等于（I?-；）=o,故选Q

10.已知（1+父+（1+分？+（1+^，+…+（1+分"=&+&不+。23+…+&/,且为+2+〃2

+…+a=126,那么［5一的展开式中的常数项为（）

A.-15B.15

C.20D.-20

答案D

2”-1

解析令x=1得为+功+/+…+a=2+2?+…+2"=2~=2/?+1—2=126=>2/7+1=128

N—1

n2"+i=2'n〃=6,又，+1=底（正）-｛一力"=或（一1）"一",

所以由3—"=0,得常数项为一日=-20.

故选D.

11.已知等比数列｛aj的第5项是二项式Q+；）展开式中的常数项，则a-&=.

答案36

解析（叶今的展开式的通项为加尸区个

令4-24=0,得#=2,.,.常数项为以=6,即a=6.

,.,｛@〃｝为等比数列，...@3・@7=@看=62=36.

12.书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插入方法共

有种.

答案336

解析由题意得3本不同的书，插入到原来的5本不同的书中，可分为三步，第一步：先插

入第一本，插入到原来5本不同的书排成的一排所形成的6个间隔中，有&=6（种）方法；

第二步：再插入第二本，插入到原来6本不同的书排成的一排所形成的7个间隔中，有A；=

7（种）方法；第三步：再插入第三本，插入到原来7本不同的书排成的一排所形成的8个间

隔中，有忘=8（种）方法，共有6X7X8=336（种）不同的插入方法.

13.某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分

别乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的

挛生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式

共有种.

答案24

解析分类讨论，有2种情形.挛生姐妹乘坐甲车，则有索或以=12（种）乘车方式；享生姐

妹不乘坐甲车，则有C；C；C；=12（种）乘车方式.根据分类加法计数原理可知，共有24种乘车

方式.

14.已知（l+2x）6=ao+aix+a2V+…+贝！11ao|+|ai|+|a?|+…+|a|=.（用

数字作答）

答案729

解析|劣1+|&|+,+・“+,相当于（1+24的展开式中各项系数绝对值的和，令x=

1,WISo|+|31I+I32|+,••+|36|=36=729.

（1A