高中数学-正弦型函数教学设计学情分析教材分析课后反思

正弦型函数尸4sin（3/4））

教学目的：

知识与技能目标：

1.理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律；

2.会用“五点法〃画出片Z\sin（u）x+4））的简图.，明确43和0对函数

图象的影响作用；

过程与方法目标：

L培养学生数形结合的能力。

2.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。

情感'态度价值观目标：

通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。

教学重点：考察参数3、巾、A对函数图象的影响，理解由尸sMx

的图象到片Asin（3x+0）的图象变化过程。这个内容是三角函数的基

本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数

片Asin（3x+0）的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐

运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中

具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。

教学难点：对片Asin（3x+0）的图象的影响规律的发现与概括是

本节课的难点。因为相对来说，①、A对图象的影响较直观，3的变

化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这种图象变化，不会观察，造

成认知的难点，在教学中，抓住“5对图象的影响”的教学，使学生

学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难

点的关键。

教学教学内容师生互动设计意图

环节

引

入精整

1、复习正弦函数y=sinx的图象和性质的动画，

使学生

2、创设情境：观览车问题

了解大

如图，观览车的半径为R，转动的角速度为3,致的正

弦型图

P（）为初始位置，止匕时NXOP（）=W

创设情境教师提出问题，学象的大

引入新课生回答致形状

转动t秒后，射线OP的转角小3+0

以及实

P点纵坐标y与p际生活

时间t的关系为：/0的应用，

提高学

生的学

y二心111（3/+拉、/习兴趣，

陶冶学

ZZA生的情

操.

3、学习振幅、周期、频率、初相相关概念为学生认识正

弦型函数奠定

函数y=Asin（3x+6）,其中A>0,o>0表示基础

一个振动量时，A就表示这个量振动时离开

平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的

振幅；往复一次所需的时间T=',称为这

CD

个振动的周期；单位时间内往复振动的次数

/=，=£■,称为振动的频率；然+。称为

相位；x=0时的相位6称为初相。

一、振幅变化.学生上利用“五点

法"画图。

例1画出函数y=2sinxxeR；片;sinxxeR的

教师提问：y=2sinx

（二）图象（简图）.

xeR和y=-sinx

2

动手实验,解：画简图，我们用“五点法”

xwR的图象与1、让学生动手

总结规律

...我们先画它们在［0,2兀］上的简图.列表：在白板上演示

y=sinx的图象间

713乃

X0T712n的关系怎样？

学生回答：（l）y=

sinx100

2sinx,xWR的值域

0-1

是［-2,2］

2sinx200

图象可看作把

0-2

y=sinx,%GR上所

1.

-sinx有点的纵坐标伸长

2\_

000到原来的2倍而得

2

2（横坐标不变）.

（2）y=；sinx,x2.通过作图，使

•这两个函?故都是周期函数，5L周期为2兀学生加强对“五

作图:GR的值域是［一点”法的理解。

3.观察图象间的

关系，通过对

图象可看作把比，探求有关性

y=sior,%GR上所质以及图象间

有点的纵坐标缩短的变换。4.鼓励

到原来的,倍而得学生大胆猜想，

〜2使学生将直观

、横坐标不变）.问题抽象化，揭

椒师提问：一般地示本质，培养学

y=Asinx的图象与y生思维的深刻

=sinx的图象间具性。

利用这类函数的周期性，我们把上面的简图有怎样的关系呢？5.培养学生由特

向左、向右连续平移21,4万…就可以得出y=学生回答：y=Asinx,殊到一般的解

xeR（A>0且Awl）的决问题方法，以

2sinx,x£R,&y=Jsinx,x£R。的简图图象可以看作把正及归纳概括的

数曲线上的所有点能力。

（l）y=2sinx,xGR的值域是［-2,2］的纵坐标伸长（八>1）

图象可看作把y=siiix,xCR上所有点的纵或缩短（05<1）到原

坐标伸长到原来的2倍而得（横坐标不变）.来的人倍得到的.

（2）y=—sinx,九GR的值域是［―',J_］

222

图象可看作把y=sior,xGR上所有点的纵

坐标缩短到原来呜倍而得（横坐标不变）.

一般地，函数y=Asinx的值域是

［-］闻闻最大值是何，最小值是-网，由此可

知，同的大小，反映曲线丁=45皿犬波动幅度的

大小。因此网也称为振幅。

引导，观察，启发：与片sinx的图象作比较，

结论：

1.片Minx,xeR(4>0且4W1)的图象可

以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸

长依>1)或缩短(O<A<1)到原来的A倍得到的.学生在利用“五点

2.它的值域［一人,川，最大值是4最法"画图。

小值是一A

网称为振幅，这一变换称为振幅变换.教师提问：y=sin(x

+y),和y=sin(x

二、相停变换

例2画出函数一生)的图象与

TTTT4

y=sin(x+y),xWR,y=sin(x——),xGR

y=sinx的图象间

的简图.

解:歹!表的关系怎样？

学生回答：⑴

712%17151

X71函数y=sin(x+

~6T~6T

T

工)，xdR的图象可

7171343矍过运?

X+——071271

3T看作把正弦曲线上几何画板演示,

所有的点向左平行增强直观性，帮

sin(x+y)010-10

移动上个单位长度助学生迅速准

描点画图:3确地发现相关

而得到.的数量关系.提

⑵函数y=出问题后，引导

学生发现变化

sin(x—?),xGR的

规律

图象可看作把正弦

曲线上所有点向右

平行移动巳个单位

4

长度而得到.

教师提问：一般地

兀345万749万

X

7TTTTy=sin(x+。)的图

71兀3万

X——0乃271象与y=sinx的图象

4

sin(x-间具有怎样的关系

010-10呢？

学生回答：一

般地，函数y=sin（x

引导，观察，启发:

+0）,xWR（其中0

H0）的图象，可以看

作把正弦曲线上所

有点向左（当0>0

时）或向右（当0<0

（1）函数y=sin（x+g）,xeR的图象可看作时）平行移动I（pI

个单位长度而得到.

把正弦曲线上所有的点向左平行移动七个单位

3（用平移法注意讲

长度而得到.清方向："加左""减

右”）

（2）函数y=sin（x——）,xGR的图象可看作

4

把正弦曲线上所有点向右平行移动2个单位长

4

度而得到.

一般地，函数y=sin（x+0）,xWR（其中0*0）

的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当

0>0时）或向右（当0Vo时）平行移动I°I个

单位长度而得到.（用平移法注意讲清方向："加

左""减右"）

y=sin（x+o）与y=sinx的图象只是在平面

直角坐标系中的相对位置不一样,这一变换称为

相位变换.

三、周期变换

例3画出函数y=sin2xxeR；y=singx

学生利用"五点法"

xeR的图象（简图）.画图。

2万教师提问：y=sin2x

解：函数y=sin2x,的周期T=一

2和片sin；x的图象

=7t

我们先画在［0,兀］上的简图，在［0,兀］上作

与y=sinx的图象

图,列表：

间的关系怎样？

713万

2x0n2兀

22学生回答：（1）

函数y=sin2x,

R的图象，可看作通过运用

几何画板演示,

所有点的横坐标缩增强直观性，帮

短到原来的，倍助学生迅速准

2确地发现相关

（纵坐标不变）而得的数量关系.提

到的.出问题后，引导

（2）函数y=sin学生发现变化

规律

-x,xWR的图象，

2

可看作把^=$10¥,

xWR上访有点的

12万横坐标伸长到原来

函数y=sin—的周期T=—=4兀

的2倍（纵坐标不

2变）而得到.

我仅画［0,上的简图，列表：教师提问，为什么

Xn3万w的变化影响了函

02兀

2771T数的周期？

教师提问：一般地

X0汽2713714兀

y=sinu）x的图象与y

.X

sin—010-10

2=sinx的图象间具

有怎样的关系呢？

（1）函数y=sin2x,x£R的图象，可看作把学生回答：函

y=sinx,上所有点的横坐标缩短到原来的数y=sinu）x,xeR

,倍（纵坐标不变）而得到的.（W>0且3W1）的图

2象，可看作把正弦

曲线上所有点的横

⑵函数尸singx,xGR的图象，可看作把

坐标缩短（0）>1）或

y=siiu-,x£R上所有点的横坐标伸长到原来的伸长（0<w<l）至【」原

2倍（纵坐标不变）而得到.来的工倍（纵坐标

引导，观察启发：与片sinx的图象作比较CD

1.函数片sinax,xeR（3>0且3A1）的图象，不变）

可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（3>1）

或伸长（0<3<1）到原来的‘倍（纵坐标不变）

（0

通过运用几何

。决定了函数的周期，这一变换称为周期变

画板演示，增强

换.

直观性，帮助学

四、综合变换

rr生迅速准确地

例4画出函数^=5皿（2%+彳），xGR的简发现相关的数

量关系.提出问

图.学生在黑板上利用

题后，引导学生

解：（五点法）由丁=一，得了=兀列表："五点法"画图。

教师提问：y=发现变化规律

sin(2x+g),的图象

717171745兀

X~~6~6

12

T12与y=sinx的图象

713乃

2x+-

07T~227r

32间的关系怎样？

3sin(2x+y010-10

让学生在函数)=

sin2x,xGR的图象

函数y=sin(x+—)

xGR的图象的坐

方案一：这种曲线可由图象变换得到：即:标系内画出函数y

71

y=sinx左移1个单位y=sin(x+?)=3sin(2x+—),x

纵坐标不变ER的简图的图

»JI象，观察图象之间

由，“l*d1，+y=sin(2x+—)

横坐标变为一倍,'3的变化关系。

2教师在利用课件让

士安一.纵坐标不变横坐标.c

万条一：y=sin*------------^=sin2x学生观看图象的变

缩短到原来的(1/2)化关系。

向左平移("/6)

个单位y=sin(2x+(7t/3))

n3冗

2x07n2n

n7134

X0兀

7~2T

y=sin2x010-10

71712乃7万5万

X"T~6T~6T

717134

x+—071271

3~2T

通过列表观察横坐

sin(x+y)010-10标之间的关系

评述：由y=sinx的图象变换出y=sin（twx+0）

的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途

径，才能灵活进行图象变换.引申：

途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）y=sin（2x+勺的图

先将y=siiu的图象向左（°>0）或向右（°

象，纵坐标变为3

倍，横坐标不变，

V0）平移1（p1个单位，再将图象上各点的横坐

得到

标变为原来的‘倍便得y=sin（&;x+0）y=3sin（2x+§）的

a）

的图象.图象。

途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换

*

先将y=sim的图象上各点的横坐标变为原一般地，函数y

来的，•倍3>0）,再沿x轴向左（0>0）或向右（0

=Asin（（yx+0）,x

CO

<0）平移回个单位，便得y=sin3x+o）的图GR（其中A>0,co

（O>0）的图象，可以

象.看作用下面的方法

课堂练习：得至U：

1.若将某函数的图象向右平移上以后所得先把正弦曲线

2上所有的点向左让学生自己动

手，可以大大提

到的图象的函数式是y=sin（x+?）,则原来的函（当0>0时）或向右

高学生学习的

数表达式为（）积极性和主动

（当0Vo时）平行移

A.y=sin（x+今）性同时可以检

验学生的学习

动101个单位长

效果，进一步帮

B.y=sin（x+y）

（三）度，再把所得各点学生巩固所学

内容。

课堂实践C.y=sin（x-^）的横坐标缩短（当3

检验真知>1时）或伸长（当0

TF<co<\时）到原来

D.y=sin（x+—）

的工倍（纵坐标不

2.函数y=3sin（2x+g）的图象，可由y=sintCO

变），再把所得各点

的图象经过下述哪种变换而得到（）的纵坐标伸长（当A

4向右平移生个单位，横坐标缩小到原来的工>1时）或缩短（当0

32<A<1时）到原来

倍，纵坐标扩大到原来的3倍的A倍（横坐标不

B.向左平移三个单位，横坐标缩小到原来的,变）.巩固本节课所

32学习内容

倍，纵坐标扩大到原来的3倍

答案：A

（四）C.向右平移卫个单位，横坐标扩大到原来的2

深化知识6

思维拓展倍，纵坐标缩小到原来的‘倍

3

D.向左平移工个单位，横坐标缩小到原来的,

62

倍，纵坐标缩小到原来的■倍

3

知识深化：

1.将函数y=sin2x的图象经过怎样的变换，就得答案：B

到函数y=-sin（2x+（n/5））的图象?

教师提问：

思考当A<0以及

w<0

如何平移变换。

可做学生课下思考

题

本节课小结：合理的分解内容，

（五）对所学内容的总

1、考察参数3、巾、A对函数图象的影响，理解由结，帮学生巩固了

自我反思知识，有为下节课

本节小结y=sinx的图象到y=Asin（<”x+的图象变化过程做了铺垫。使课堂

2、数学思想：数形结合、从特殊到一般思想、化归思与课堂之间顺畅连

想。接。

（六）复习回顾

巩固所学一：A、1、(2)

布置作业2、(3)(4)

■血r:A、2、(2)

RML1-3B1、2、3

学情分析

1、知识方面：学生已经掌握了三角函数线及诱导公式，以及正弦函数的图

像和性质。对具体形象的实例比较感兴趣，具有一定的数学基础及分析解决问题

能力。

2、能力方面：职业学校学生普遍学习缺乏自觉，学习主动性不强，但是爱动手，

对于通过自己的探索得出的结论格外感兴趣。

效果分析

1.在学生动手实践、观察、思考问题的过程中，关注学生发现问

题、解决问题的能力；并在进一步的学习过程中，观察学生的类比学

习能力；

2.在各组共同学习、解决问题的过程中，观察学生合作交流、学

习的能力；

3.对不同方案的对比学习中，了解学生把握事物本质的能力；

4.通过课堂活动与交流，了解学生对知识的掌握程度，通过反馈，

对易错、易混的知识点，做出启发性的指导；

教材分析

《正弦型函数的概念》是学生在学习了三角函数线及诱导公式后，为学习

函数图像的周期、相位变换提供了依据；在正弦函数的图像和性质的基础上，进

一步地加深对三角函数的认识，为刻画物理学中简谐振动和电工学中交流电的电

压、电流变化提供数学模型，它是三角函数知识从理论到生活实践中的连接桥梁。

函数y=Asin（（yx+。）的图象与性质练习题

一、选择题

1.为得到y=2sin（±+X）,xeR的图像，只需把y=2sinx,xwR的图像上所有点（）

36

A.向左平移七个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的［倍（纵坐标不变）

63

B.向右平移工个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的工倍（纵坐标不变）

63

C.向左平移£个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

6

D.向右平移出个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

6

JI\

2.将函数y=2sin(2x+g)的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的;，得到新函数的图

象，那么这个新函数的解析式是)

7171

Ay=sin(2x+1)By=2sin(x+y)

Cy=2sin(x+—)Dy=2sin(4x+y)

n