空间向量基本定理4种常见考法归类（解析版） - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题03空间向量基本定理4种常见考法归类

解题策略

1.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p

=xa+yb-\~zc.

其中｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成

空间的一个基底.

思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？

(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x,y,z)是否唯一？

［提示］(1)不能.因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面.

(2)唯一确定.

2.空间向量基本定理的推论

设。，A,B,C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得万万

=xOA+yOB+zOC.

推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置.

3.正交分解

(1)单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底.常用

｛i,j,幻表示.

(2)正交分解

把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

4.对基底和基向量的理解

(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.

(2)基底中的三个向量a,b,c都不是0.这是因为。与任意向量共线，与任意两个向量共面.

(3)一个基底是由不共面的三个向量构成，是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二

者是相关联的不同概念.

5.基底判断的基本思路及方法

(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.

(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，

则不能构成基底.②假设运用空间向量基本定理，建立儿〃的方程组，若有解，则共面，不

能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.

6.基向量的选择和使用方法

(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底.

(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑

减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.

7.用基底表示向量的三个步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相

等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论：利用空间向量的一个基底｛a,b,c｝可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含

有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

8.用向量法证明线线平行与垂直

(1)要证两直线垂直，由数量积的性质a_Lbua・b=O可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明

这两个向量的数量积为0即可.

(2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a=2b即可.

9.基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤

(1)设出基向量.

(2)用基向量表示出直线的方向向量.

(3)用⑷=＜荔求长度，用。2=。2_1_分，用cos求夹角.

(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题.

10.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：

(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这

些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？

(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？

善高频考点

考点一基底的判断(-)利用空间向量基本定理证明位置关系

考点二用基底表示向量(二)用基底法求空间向量的数量积

考点三利用空间向量基本定理求参数(三)利用空间向量基本定理求距离、夹角

考点四空间向量基本定理的应用

考点一基底的判断

1.【多选】(2023•江苏•高二专题练习)设,,仇。｝构成空间的一个基底，下列说法正确的是()

A.a，b，c两两不共线，但两两共面

B.对空间任一向量P,总存在有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

C.a，a-c<a+c能构成空间另一个基底

D.若xa+yb+zc=0,则实数彳，九z全为零

【答案】ABD

【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.

【详解】因为｛。，仇c｝构成空间的一个基底，所以°,b,c两两不共线，但两两共面，故A正确;

对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,故B正确；

因为(a-c)+(a+c)=2a,所以°,°共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；

根据空间向量基本定理可知，若xa+yb+zc=0,则实数工，z全为零，故D正确；

故选：ABD

2.【多选】(2023•高二课时练习)关于空间向量，以下说法正确的是()

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.已知则0,〃与任何向量都不构成空间的一组基

C.若区4，BM，不构成空间的一组基，那么空间四点共面；

D.设伍,4c｝是空间的一组基，则｛a+b,b+Gc+。｝也是空间的一组基

【答案】ACD

【分析】根据空间向量的共面定理以及空间基底的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一

定共面，所以A正确；

对于B中，当时，若c与a、b不共面，则〃、b、c可构成空间的一个基底，所以B错误；

对于C中，若区4、BM、不构成空间的一个基底，则54、BM、BN3个向量在同一平面内，所以

共面，所以C正确；

对于D中，由｛a,b,c｝是空间中的一组基底，则向量a,伉c不共面，

可得向量。+。，人+c,c+a也不共面，所以｛a+"b+c,c+a｝也是空间中的一组基底，所以D正确.

故选：ACD.

3.【多选】(2023•高二课时练习)若｛小b,c｝构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()

A.Z?+c,b,b-cB.a9a+b,a—b

C.a+b,a—bcD.a+b>a+b+c»c

【答案】ABD

【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答.

【详解】"构成空间的一个基底，

对于A,(6+e)+(6-c)=26,因此b+c,b，b-c共面，A正确；

对于B,｛a+b)+｛a-b)=2a,因此a,a+b,日一力共面，B正确；

对于C,假定a+Z?,a-b»C共面，则存在九川^R使得

fZ+//=0

c=X(a+6)+—/?)=(/1+〃)〃+(/!—〃屹，而不共面，则〈。八，解得彳=〃=0，

［丸_4=0

于是2=0，共面，与占，瓦c不共面矛盾，因此a+匕，a-b»2不能共面，C错误;

对于D,(a+b)+c=a+b+c,因止匕a+h,a+b+c2共面，D正确.

故选：ABD

4.(2023春・河南开封•高二统考期末)若c｝构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是

()

A.a+b,a-b,aB.a+b,a-b,bC.a+b,a-b,b+cD.a+b,a+b+c,c

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A,a=g[(a+6)+(a-b)],因此向量a+共面，故不能构成基底，故A错误；

对于B,6=；[(a+b)-(a-b)],因此向量a+共面，故不能构成基底，故B错误；

对于C,假设向量a+b,a-b,b+c共面，则b+c=/l(a+b)+〃(。一6),

即c=(4+〃)a+(4-〃-1)人，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；

对于D,(a+Z?)+C=a+3+c,因此向量a+b,a+b+C,C共面，故不能构成基底，故D错误；

故选：C.

5.【多选】(2023秋•山西晋中•高二统考期末)｛。,dc｝是空间的一个基底，与〃+%、a+c构成基底的一个

向量可以是()

A.b-\-cB.b—cC.bD.c

【答案】ACD

【分析】根据空间向量基本定理判断即可.

【详解】由于6-c=a+6-(a+c),故b-c与a+6、a+c共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；

因为｛a,6,<;｝是空间的一个基底，由于不存在实数对无、使得8+C=x(a+%)+y(a+c),

x+y=0

若成立则，x=l,显然方程组无解，故a+b、a+e与b+c可以作为空间的一个基底，故A正确，同理

可得C、D正确;

故选：ACD

6.(2023秋•高二课时练习)已知｛a,6,c｝是空间向量的一组基底，p=6q=一定可以与向量p,q

构成空间向量的另一组基底的是()

A.aB.bC.cD.—p-2q

【答案】C

【分析】利用空间共面向量定理即可解决问题.

【详解】对于A,因为。=+所以p,q,a共面，故A错误；

对于B,因为B=所以p,g,b共面，故B错误；

对于C,因为4,瓦。不共面，所以不共面.

若存在羽ycR,使c==(x+y)〃+(x-y)Z?成立，则。力,c共面，这与已知｛〃,b,c｝是空间一组基底矛

盾，故p,/c不共面，故C正确；

对于D,显然2q共面，故D错误.

故选：C.

7.(2023秋•云南大理•高二统考期末)若｛《,e?,4｝是空间的一个基底，且向量

｛OA=q+e2+03,05=q—Ze2+2«3，℃=〃]+3e?+2ej｝不能构成空间的一•个基底，则后=()

A.»B.3C.-1D.2

3244

【答案】D

【分析】由题意可知，向量04、OB、0C共面，则存在实数尤、y使得OC=xOA+yOB,根据空间向量

的基本定理可得出关于X、y、上的方程组，即可解得女的值.

【详解】因为向量。4=6+62+63,OB=e1-2e2+2e3,OC=左q+3e?+263不能构成空间的一个基底，

所以OA、OB、0C共面，故存在实数X、，使得0c=xOA+yOB,

即kel+34+2q=+弓+q)+—2e2+2e3j=^x+ex+(x—2y)g+(x+2y)%,

因为｛4,49｝是空间的一个基底，贝小了-2y=3,解得＜y=-;.

x+2y=2

故选：D.

8.（2023秋•河北邯郸•高二统考期末）已知&4_1_平面ABC,ABJ.AC,SA=AB=1,BC=后,则空间的一

个单位正交基底可以为（）

AB,-AC,ASB.{ABACAS}

2

AS,AB,^-BC

AB,-AC,-AS

22

【答案】A

【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为L

【详解】因为SAL平面ABC,AB.AC都在面ABC内，

所以S4_LAB,SA±AC.

因为AB1AC,AB=l,BC=5所以AC=2,又&4=1,

所以空间的一个单位正交基底可以为1A民AS，.

故选：A

考点二用基底表示向量

9.（2023春・福建龙岩•高二校联考期中）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，E为棱AG的中点.设8A

BB『b，BC=c，则BE=（）

1/

明一

—Q+Z7-I----CB.—a—b+c

22

ClH----bH-----CD.—〃+Z?+c

222

【答案】A

【分析】由空间向量线性运算即可求解.

【详解】由题意可得BE=BB[+4A+4月=BBi+BA+|

^BB,+BA+-AC^BB.+BA+-（BC-BA\=-BA+-BC+BB.^-a+-c+b.

22、'2222

故选：A.

10.（2023秋•高一单元测试）在正四面体A-P3C中，过点A作平面尸3c的垂线，垂足为。点，点M满足

3

AM=~AQ,则丹/=()

4

131

A.-PA——PB+-PCB.-PA+-PB+-PC

444444

131113

C.-PA+-PB+-PCD.-PA——PB+-PC

444444

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.

【详解】由题知，在正四面体A-PBC中，

因为平面P3C,

所以。是,PBC的中心，

连接PQ,贝UPQ=gx；(M+PC),

-3

所以尸M=PA+AM=PA+-AQ

4

=PA+1x(AP+P2)=PA-1PA+|P2

1QO11-|1

=-PA+-x-x-(PB+PC)=-PA+-PB+-PC.

4432、7444

故选：B

11.（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥尸-ABC中，点。为△ABC的重心，点O,E,

尸分别为侧棱以，PB,PC的中点，若〃=A尸，b=CE,c=BD,则。P=（）

A.UB.1C.343222

——a——b—cD.—4—b~\—c

333333333333

【答案】D

【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.

【详解】取BC中点为M,

a=AF=PF-PA=-PC-PA,

2

b=CE=PE-PC」PB-PC,

2

c=BD=PD-PB=-PA-PB

2

三个式子相加可得a+b+c=-g(PA+PB+PC)nPA+P2+PC=-2(a+〃+c),

AP-AO=-PA--AM=-PA--x-(AB+AC^=-PA--(PB-PA+PC-PA^

=-PA--(PB-PA+PC-PA\=--PA--PB--PC=--(PA+PB+PC]=-(a+b+c

3、,3333、,3、

12.（2023秋•浙江丽水•高二统考期末）在平行六面体ABC。-中，AC,8。相交于。，M为。C的

中点，设AB=a,AD=b，A4j=(S则CM=()

A.L+4-LB—+L

442442

-11,1c31]1

C.——a——b+—cD.——a+—b——c

442442

【答案】C

【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.

DiG

13.（2023秋・广西百色・高二统考期末）在正四面体Q4BC中，OA=a>OB=b<OC=c，。为中点，E

为AD靠近。的三等分点，用向量〃，b，c表示OE=()

12

A.OE=-a+—b+-cB.OE——ciH—b+c

33323

C.OE=-QH—b-\—cD.OE=—a+—b+—c

242244

【答案】A

【分析】利用向量加法和减法和数乘的运算，用a,b,c表示出OE.

【详解】因为。为8c中点，

所以42）=42+2。=42+与0=AB+U衣-AB）」AB+』AC,

22、'22

因为E为AD靠近。的三等分点，

2

所以=

21

所以。E=Q4+AE=OA+§AD=OA+§（A8+AC）

=OA+1（OB-OA+OC-OA）,

OE=-ciH—h—c.

333

故选：A.

14.（2023春•高二单元测试）在平行六面体ABC。-AAG。中，M为Ag与3Q的交点，若A"Z,AD=b，

AA=c,则下列向量中与3M相等的向量是（

1.171.1c1-17

A.—ciH—b+cB.—aH—b7cC.D.—ci—b+c

22222222

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.

【详解】在平行六面体ABCD-ABCR中，M为AG与8a的交点，

BM=5A+/L4j+4A/=—A3+/L41H—（44+4。］）=—a+cH—a—b=—ci—b+c

故选：B

15.（2023•江苏•高二专题练习）在正四面体ABC。中，。为△BCD的重心，记ABF,AC=b^AD=c-若

2一

AP=-AO,CM=2MD,则PM=.（用a，b，c表示）

214

［答案］--^+―^+―

【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.

【详解】依题意，O为△3CD的重心，贝++

2

所以尸M=AM—AP=AC+CM——AO

3

=AC+-CD——（AB+BO\

33、）

222

=AC+-CD——AB——BO

333

（）22

AC+|AD-AC——AB——婀+而）］

33

2.2-2-2-2-

AC+-AD——AC——AB——BC——BD

33399

2222/\2/

=AC+-AD——AC——AB——AC-AB——（AD-AB

3339、）9、）

2222222

=AC+-AD——AC——AB——AC+-AB——AD+-AB

3339999

214214

=——AB+-AC+-AD=——Q+—匕z+―C.

999999

214

故答案为：-+

A

16.（2023•全国•高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD-4耳GA中，尸是CA的中点，点。在CA上,

且设ABF,AO=Z?,A4j=C.则()

777

B.QP=—a-\--b----c

101010

333

C.QP=—a+—b——cD.QP=-a+—b+—c

101010101010

【答案】C

【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】因为P是CA的中点,

所以ApTM+AojAVAB+AroWm+b+c),

又因为点。在CA上，且CQ:OA=4:1,

1114

所以AQ=AVAQMAVgAC：朋+不水:-血外/女+二照

14114

=-(AB+AD)+-AA=-a+-b+-c

55月5559

1-114333

所以QP=AP—AQ=5(Q+Z?+C)—yQ—1人一二0=而。+而万一而c,

故选：C.

17.（2023春・江西南昌•高二校联考阶段练习）半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的

正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，

得到一个有八个面的半正多面体，如图，点尸，A,B,C,。为该半正多面体的顶点，若PA=〃，PB=b，

PC=c，贝!)PD=)

A.——a+b+—cB.儿--

2222

-171

C.a—bH—cD.

2222

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】如下图所示PC=PA+AC=PA+23O=PA+2PO-2PB，

所以9=-工尸4+尸2+!尸。=一工。+6+工。.

2222

故选：A.

18.（2023秋•高二课时练习）如图，空间四边形0ABe中，G、”分别是；ABC、△O3C的重心，D为BC

的中点，设。4=q,OB=b，OC=c，试用试用基底｛a，。，。｝表示向量OG和GH.

［答案］OG=^a+b+c),GH=-^a

【分析】由已知得AO=g（A2+AC）,AG=^AD,可得O&=Q4+AG;

2

由。8=§。£>可得G"=G4+AO+OH可得答案.

【详解】由已知得08-04=6-a，OC-OA=c-a，

因为G是ABC的重心，。为BC的中点,

所以AD=g(AB+AC)=；(6+c-2a),

所以OG=OA+AG=a+-2a+6+c)=§(a+6+c

又因为H是△QBC的重心，

r\r\-i[

所以OH=—O力=—x—(0C+05)=—仿+c),

332、)3、)

GH=GA+AO+OH=-g仅+c-2a)—a+g(b+c)=-ga.

考点三利用空间向量基本定理求参数

19.（2023春・甘肃临夏•高二统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于

底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥尸-ABCD为阳马，B4JL平面ABCD,且EC=2PE,若

DE=xAB+yAC+zAP,贝！|x+y+z=（）

A.1B.2

C.-

3

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】因为EC=2PE,所以PE=gpC,

所以£>£=AE-AD=AP+尸£一AD

1

=AP+-PC-AD

3

=AP+^AC-AP^-AD

=-AP+-AC-AD

33

=tAP4AC-(AC+CD)

22

=-AP——AC-CD

33

22

=-AP——AC+AB,

33

x=l

2e।

^DE=xAB+yAC+zAP,所以＜y=一§,贝ij%+y+z=l

2

z=—

3

故选：A

20.(2023春・甘肃兰州・高二兰州一中校考期末)已知矩形ABC。,P为平面ABC。外一点，PA,平面ABC。,

19

点",N满足?”二52。，PN=-PD.=xAB+yAD+zAP,贝！Jx+y+z=()

A.—1B.1C.——D.—

【答案】C

【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.

1?

因为—PC,PN=—PD,

23

°[01、

所以MN=PN—PM=—PD――PC=-(AD-AP]——(AC-AP

323、72V

=-(AD-AP]--(AB+AD-AP}=--AB+-AD--AP,

3、)2、'266

--1I11

因为A77V=xAB+yAD+zAP,所以％=——，V=—，z=一一,

266

所以x+y+z=-/.

故选：c

21.（2023秋・广东阳江•高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥O-ABC,点尸为平面A5C上的

一点，OP=^OA+mOB+nOC（m,〃£R）则相，〃的值可能为（）

1111

A.m=l,n=——B.m=­,n=1C.m=——=—1D.m=—,n=-1

2222

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.

【详解】因为点P为平面ABC上的一点，0。=（。4+机05+〃。。，则=+m+几］++

于是:+根+〃=1,即用+篦=；,显然选项BCD都不满足，A选项满足.

故选：A

22.（2023・全国•高三对口高考）已知正方体ABCD-A耳CQ中，侧面CGA。的中心是尸，若

AP=AD+mAB+nAA^,贝ij机=,几=.

【答案】—/0.5—/0.5

22

【分析】用表示出QP，从而得出加，〃的值.

【详解】由于AP=AZ>+DP=AD+g⑷C+DAhAD+;AB+gAA,,

所以"=［,

22

故答案为：y;y.

23.（2023・高二课时练习）如图所示，在平行六面体48。-4与6。］中，〃是底面ABCD的中心，N是侧

3

面BCC.B,对角线8G上的3分点.

4

12

(1)化简5A^+^^+^人台，并在图中标出其结果.

(2)设间/=工46+｝；>1£)+2441,试求x,>,z的值.

【答案】(1)答案见解析，FE

113

⑵元=5,y=~,z=~.

【分析】(1)根据向量的线性运算即可求解，’

(2)根据基底法表示空间向量，即可由空间向量基本定理求解.

2

【详解】(1)取CG的中点£，取A5取一点尸，^FB=-AB,连接EF.

171

^mA^+BC+gABumCCi+BC+FBuCE+BC+FBuBE+FBuFE.

0D\0

AFB

1313

(2)因为MN=MB+BN=~^DB+1BC、=-(AB-AD)+-ADi

13113

=-(AB-AD)+-(AP+A41)=-AB+-AD+-A41,

所以％=；，y=J，z=l-

244

24.(2023・江苏・高二专题练习)已知尸是乙抽。所在平面外一点,〃是8。的中点,若41/=e4+丁尸3+2尸。,

贝IJ()

A.x+y+z=0B.x+y+z=\

C.x-y-z=lD.x-y-z=-l

【答案】A

uuuriuunuum

【分析】推导出AM=］（zAB+AC）x,利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出无、>、z的值,

即可得出合适的选项.

【详解】如下图所示：

因为M为8C的中点，贝i|AM=A8+&W=A3+；BC=AB+g（AC—AB）=g（A8+AC）,

所以，AM=-（PB-PA+PC-PA\^-PA+-PB+-PC,

2、>22

又因为AM=xPA+yP3+zPC,且PA、PB、PC不共面，则x=-l,y=z=J,

x+y+z=O,x—y—z=—2,

故选：A.

25.（2023秋・山东聊城•高二统考期末）己知四棱锥尸-ABC。的底面A8CD是平行四边形，若

PD=xPA+yPB+zPC,贝1|型=.

【答案】-I

【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.

【详解】因为四棱锥P-ABCD的底面ABC。是平行四边形，所以「£>=尸4+4。=巳4+"=24+2。_28,

y.PD=xPA+yPB+zPC,由空间向量基本定理可得，x=l,y=-l,z=l,故盯z=-l.

故答案为：-1.

26.（浙江省七彩阳光联盟2023-2023学年高二上学期期中数学试题）在空间四边形Q45c中，M为。4中

IXX

点，N为8c的中点，^OG=-OA+-OB+-OC,则使G、M,N三点共线的x的值是.

【答案】1/0.5

【分析】根据空间向量的运算，结合向量共线定理即可求得使G、M、N三点共线的x的值.

【详解】由题意可知,

OA=2OM，ON=^OB+^OC,则2ON=O2+OC，

1丫^丫-2x/.\22丫

:.OG=-OA+-OB+-OC=-OM+-(OB+OC]=-OM+—ON,

33333、>33

22x1

G,N,〃三点共线，.—+e=l,「=_1.

332

故答案为：

考点四空间向量基本定理的应用

（一）利用空间向量基本定理证明位置关系

27.（2023・江苏•高二专题练习）已知空间四边形。48c中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且。4=O8=OC,M,

N分别是。4,BC的中点，G是的中点，求证：OGJ_BC.

【答案】证明见解析

【分析】取定基底向量OA,OB,OC,并分别记为a,b,c,再用基底表示出OG和BC,然后借助数量积即可计

算作答.

【详解】在空间四边形0ABe中，令0A=aQR=bQC=c,则|；|=|访=|），

令NAOB=NBOC=NAOC=。,G是MN的中点，如图，

则0G=L(0M+QN)=，dQA+L(O8+0C)]=gm+6+c),BC=OC—OB=c—b，

22224

11-2-2--

于是得0G・5C=—(〃+b+c)・(c-。)=—(々•c-q・A+b・c-匕+c-b-c)

44

=—（|<?|2cos0-\a|2cos0-1a『+1a/）=0,

4

因此，0G_L8C，

所以0G_L2C.

28.（2023•全国•校联考一模）如图所示，已知空间四边形A8C£>的每条边和对角线长都等于1,点、E,F,

G分别是AB,AD,的中点.设=AC=b，AD=c

⑴求证EG±AB,

（2）求异面直线AG和CE所成角的余弦值.

【答案】（1）证明过程见解析；

*

【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出从而得到线面垂直，进而证明线线垂直;

（2）用c表达AG与EC，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦值.

【详解】（1）证明：连接。E,

因为空间四边形ABC。的每条边和对角线长都等于1,且E,G分别是48,C。的中点，

所以AC=3C,8D=AO,

i^CE±AB,DE±AB,

又因为=CE,DEu平面CDE,

所以AB人平面CDE,

因为EGu平面CDE,

所以AB_LEG.

(2)由题意得：！ABC：.ACD,\ABD均为等边二角形且边长为1,

所以AG=E。=立

2

AG=：仅+c),EC=1(BC+AC)=|(AC-AB+AC)=Z?-1^,

所以AG-EC=-(b+c^\b--a\=-b^-—a-b+—cb-—ac

2y2J24-24"

二；一；忖.Wcos60°+；kHWcos60°—Jq.卜1cos60°

-2-84-8-2?

设异面直线AG和CE所成角为巴

I,\|\AG-EC\I2

川I\/I\AG[\EC\3

~TX^2

29.【多选】(2023秋・辽宁葫芦岛•高二兴城市高级中学校考期末)如图，在三棱柱ABC-A4a中，M,N

分别是A#,3G上的点，且5M=24",C、N=2B、N.设即二。，AC=b^AA.=c,若NB4C=90。,

o

ZBA41=ZCA41=60,AB=AC=AAl=l1则下列说法中正确的是(

A.MN=-a+-b+-cB.阿邛

333

C.AB]_LBC]D.COS〈AB1,BQ=£

【答案】BD

【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.

【详解】因为,C,N=2B\N,

所以4"=:43=；(42-朋)，AlN=AlBl+BlN=AB+^BiCl=AB+^AC-AB^^AB+^AC,

所以MN=AN-AMngAB+gAC-'AB—AAjWAB+gAC+gAA=1a+|z?+|c,

故A错误；

因为卜|=W=H=1，a-b=O，a-c=b-c=^,

所以MN2=g(d+6+c『=1(<z2+Z?2+c2+2a-Z7+2a-c+2fe-c)=1(3+2)=|,

所以，双卜1,故B正确；

因为AS]=AB+=a+c,BC1=BC+BB1-AC—AB+—h-\-c—a,

所以AB]=(Q+C)・仅+c-〃)=〃•/?+/?•(?—〃2+02=3，故C错误；

因为AB]2=(a+c)2=〃2+。2+2〃.o=3,所以,瓦卜^3,

因5G=(-a+b+c)=Q?+/?2+/_2。.—2〃.c+2/?♦c=3,

所以I南卜技

1

所以cos破,g=F,BQ=J■尸=L故D正确•

网gxg6

故选：BD.

30.(2023・高二单元测试)如图所示，三棱柱ABC-A4C|中，C4=a，CB=b，CQ=c,CA=CB=CC1=1,

(a,b)=(“,c)=:，S©吟,N是AB中点.

(1)用a,b,e表示向量A”；

(2)在线段上是否存在点“，使AM,AN?若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由.

[答案]⑴-;4+gb-C

2

(2)当§G4时，AM1A.N

【分析】(1)根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；

(2)设C]M=/IC[3],(2e[0,1]),用a,b，C表示向量AM，依题意可得AM-AN=0,根据空间向量数

量积的运算律求出入，即可得解.

【详解】(1)解：因为N是A5中点，所以=

所以4N=4A+A2V=C；C+gAB

=-CC1+1(CB-C4)=-1t7+|z>-c；

(2)解：假设存在点使设C阳=几6耳，(彳可。」]),

显AA/=+AG+=c—ci+Ab,

因为AM_L4N,所以AM.AN=0,

即(c—a+Ab)'(——d+^b—c)=0,

—c,tzH—c,b_g2~i—〃2—a•b+c•a—A-ci,b—Ab_Xb,c=0

222222

CA=CB=CCX—1,(a,b)=(〃,<:)=g,卜,c)=1,

:.—c-a—c2+—a2—(—+—2)«-Z7+—2Z?2=0

22222

gpixlxlx(—!-)-l2+lxl2-(l+12)xlxlx(--)+12-l2=0,

2222222

22

解得彳=§，所以当GM=§C再时，AMl^N.

31.(2023春•浙江杭州•高二统考期末)如图，在四面体A3CD中，AE=XAB，AH=AAD，CF=(1-X)CB,

CG=(l-/l)CD,2e(0,l).

⑴求证：E、F、G、H四点共面.

(2)若彳=§,设M是EG和FH的交点，。是空间任意一点，用Q4、OB、OC、。£>表示OM.

【答案】(1)证明见解析

4212

(2,)OM=-OA+-OB+-OC+-OD

9999

【分析】(1)证明出EH//FG，即可证得结论成立；

-1FMFH11

(2)由(1)可得出可得出EH//FG,^-=—=-,由此可得出=再结合空

2MGFG22

间向量的线性运算可得出加关于。4、OB、OC、