高中数学数列 知识点和练习

一、知识点

1、等差数列

(1)a,-a=d-,a=a.+(n-l)J；S=n0l+a,'=a,+―—J=An*2+Bn；

Hn++iHn"ni'/〃n2ni2

(2)ap+aq=ap+k+aq_k,p,q,keN

2、等比数列

,n

⑴a”+i=a,xq(qH0,q为常数)；a^+i=anxan+2；an=alxq-'；an=amxq"-'；

(2)—=—b2=acb=+4ac

ab

na\q=1),。禽=1)

⑶s"(")”])变形S-

\-q[\-q

(4)公比为4的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为""(加为等距离

的项数之差)；

r

(5)apxaq=ap+kxa(1_k,p,q,kEN

二、经典题型

(一)通项公式主要类型

标准定义法：

1>递推式为%+]=*+d及%+]=<7*(d,夕为常数)。

(1)已知｛%｝满足。计|+2,而且q=1,求/。【解析】等差数列定义，an=2n-l

n+2

(2)已知｛4｝满足%+I=ga“，而且为=2,求【解析】等比数列定义，an=2-

叠加、叠乘法：

2、递推式为%+|=an+/(”)或见用=anx/(〃)。

(1)已知｛%｝中，4==*+〃，求a“。

n~一几+1

【解析】相邻两项系数相同且作差，使用“递推”和“累加”求解。*=---------O

2

(2)已知｛a“｝是首项为1的正项数列，且(〃+1)4什]一〃。“=0,求明。

【解析】相邻两项系数相同且作商，使用“递推”和“累乘”求解。a„=-o

n

待定系数法、构造法：

3、递推式为%+]=pan+cj(p,q为常数)

数歹|J｛%｝中，%+i=3%—2,卬=2,求明。

[解析]an+l+x=3(a”_]+x)=>x=-1=>an+1-1=3(a“-1)=a”-1=(%-1)3”“，得解an=3"~'+1«

4、递推式为=pan+an+b(p,a力为常数)(广东考题以证明组合形式考查)

数列｛a“｝中，怎+]=2%=1,求明。

a=2a„+3n-l

【解析】<0々4=>a“+i一凡=2(%-%T)+3,令a-%,所以

值=2%+3〃-4

bn=2bn_x+3,用公式法，可得到么=3x2"—3na”+[—a.=3x2"—3,递推累加,=3x2”-3〃一2。

5、递推公式为%+|=pa„+p"(p为常数)

数歹|J｛七｝中，a“+i=2a*+2",ai=1,求。

【解析】3=4+1=>4=3+(〃—==〃X2"T

2〃2"一[2"一]20〃

6、递推式为%+2=pan+]+q*(p+4=l)(广东考题以证明组合形式考查)

数列｛4｝中，见“1=一3%+4a“_i，/=1,g=2，求明。

【解析】根据得到a.-a。整体等比、累加，从而得出a='】。

>p=1-4/,/lIl++In=-4(、%ri—%n-1/।)itn5

通项与求和的关系：

S],〃=1

7、已知S求a，即〃=<

忧-九,〃22,

(1)在数列｛a,J中，已知5“=3+2%,求a,：

【解析】“三步曲"：“”=1,”22,检验〃=1"。a“=—3X2"T(〃21)。

(二)主要求和类型

1、等差数列求和公式

设｛%｝是公比大于1的等比数列，S“为数列｛对｝的前“项和。已知S3=7,且％+3,3。2，%+4构成等

差数列。⑴求数列｛%｝的通项；⑵令a=也内向,〃=1,2,...,求数列物,｝的前〃项和小

4+%+%=722„

【解析】\'=>2=2=>%=—,?=2g=>—>b2+2q=7,所以

%+3+%+4=6%qq

q=2或g=g(舍)。a=ln的“+i=ln23"=3〃ln2(等差数列)，所以，=即勺』1112。

2、等比数列求和公式

已知实数列｛斯｝是等比数列，其中的=1，且%，。5+1，。6成等差数列。（1）求数列｛乐｝的通项公式；（2）

数列｛%｝的前n项和记为S„,证明5„<128（/1=1,2,3...）

【解析】q==64（g）xnS=128[1—（：）"]<128。

3、裂项法：常见的裂项：一!—=-一————=-（-一——）

n（n+1）nn+1几（几十k）knn+k

—―---/-+1-y/~n——---/=—(J12+k.—

i_i__________!______］规律：首尾项数相等、符号相反

〃(〃+1)(〃+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)

(1)求数歹U」一,」一,一一“..,一*1—的前〃项和。

1x32x43x5n(n+2)

°二11、3/+5〃

【解析】----)，S〃=—(1------------)=------------

〃n(n+2)2n〃+222〃+1〃+24(〃+1)(〃+2)

（2）求数列明=/1的和。【解析】a„=14〃+174上色=1（74/7+1-1）

V4^3+V4^+l44

4、错位相减法求和（等差数列与等比数列相乘）

错位相减经典题型的练习：

综合题型分析:

⑴、在数列中，已知％=—1,且%川=2%+3〃-4。⑴求证：数列｛a,M—%+3｝是等比数列；（2）

求数列｛a,,｝的通项公式.

【解析】（1）4=2（2）%+]-*+3=2”|,递推累加,a„=2"-'-3«+1»

552

⑵设数列｛%｝满足：%=1,%=全。"+2=不明+1-铲"，（〃=L2…）。⑴令a=a“+i-%,（〃=1,2...）,

求数列例｝的通项公式；（2）求｛%｝的前〃项和S“。

)0M+l

n

【解析】⑴b„=(-r；(2)an=3-2(-)-'^S„=3n-6+-

（3）设数列｛a“｝的前〃项和为S.=2a,2"。①求外,如；②证明：｛«„+1-2%｝是等比数列；③求｛怎｝的

通项公式。

1

【解析】（1）。1=2,。2=6,%=16,%=40；（2）q=2；（3）an+]—2a“=2"=>an=（〃+1）2"o

（4）已知数列｛%｝中，/=5且a“=2a,i+2"—l（〃Z2,〃eN"）。（1）求出,%的值；（2）是否存在实数

4,使得数列为等差数列？若存在，求出见的值；若不存在，请说明理由。

I2"

【解析】（1）々=13,%=33；（2）2=-1

1、（S“求知,裂项法求和）已知正数数列｛%｝的前〃项和为S“，且对任意的正整数〃满足2向=*+1。

（1）求数列｛*｝的通项公式；（2）设a,数列也,｝的前〃项和为纥，求证：<-o

%%+12

4S,,=（见+1）2

【解析】2后=%+ln{=%+i-%=2,q=ln%=2〃-1。

11

2〃+1）<——O

（2〃一1）（2〃+1）22〃一12n+12

2、（等差中项、S“求明的经典陷阱，错位相减法求和）已知数列｛对｝中，

32

«1=1,。2=3,2%+|=%+2+%（〃€*）,嬲IJ也,｝的前”项和为S"，期1仇=一2也+1=-]S"（〃eN*）。

（1）求数列｛%｝与也“｝的通项公式。（2）若T“=幺+”+...+M,求T”的表达式。

仇b2bn

---3-,n-\,

（）时A=（2〃_1）3"2=T,=_2+（〃_I）3'T.

【解析】⑴an=2n-l,bn="；2“N2

（|r2,»>2b.3

3、已知数列｛a,,｝是公比q>1的等比数列，且％+%=40,%%=256,又bn=log2an.

（1）求数列｛〃｝的通项公式；

（2）若7；*一7；="且4=0.求证：对V〃EN*,〃之2有一〈乞―<二・

3i=2Tt4

4=8

解（1）解法1：•.♦4+。2=40,a。=256,且q>l解得《---------2分

氏=32

2,,+|

二q=殁=4二an=a©』=8x"=2------------------------------4分

%

2n+1

bn=log2%=log22=2n+l-----------------------6分

【解法2：由6+〃2=40,a14=256,且q>1

a.=8aa,

；.q===4一-2分2+]-=log2a“+1-log2a“=108^^=1。824=2,—3分

a2=32aa„

{{

又A=log24=logz8=3,——4分.•・｛2｝是以3为首项，2为公差的等差数列,5分

••bn=34-(«-1)x2=271+1：-------------------------6分]

(2)当〃22时，=么_|=2〃-1,

•••力,=(，一)+((--(—2)+・一(73—乙)+(乙一工)+4

=伽7)+(2〃_3)+一.+5+3=("D(；T+3)=(“—1)6+])；---------8分

:当〃22时,1=__1__=if_L_n10分

Tn(H-1)(H+1)2(〃一1H+1J

13,115

+|.—12分••—l----

n+14H+1Jn〃+l446

.3Ifl1^315_1又上+1

>0

471+1J4263n〃+142\n1y4

i〃[3

即对V〃eN*,2,-<¥—<-.-----------------------------------14分

34

4、已知/（%）=—4+与，数列｛%｝的前〃项和为S“，点P”（a”,——匚）在曲线y=/（x）上（〃wN*）,且

Vx%+i

q=1,%>0。（1）求数列｛*｝的通项公式；（2）数列也J的前〃项和为7；,且7；满足

"蓑=乌+16〃2_8〃—3,设定仇的值使得数列也｝是等差数列；（3）求证：S.>-（74/2+1

%见用2

【解析】(1)%=/J.；(2)7；=(4〃—3)((+〃-l)n仇=1=a=8〃—7；

一3

/、V4/?+1—J4.-31r.~八

(3)a>------------------------S>―(V4〃+1—1)

“22

且满足%+（〃）为=工。（）求证：>是等差数列;

5、已知数列｛%｝的前n项和为S“2s“S.T=022,1

2S.,

(2)求明的表达式；(3)若/?〃=2(1-〃)%,(〃22)时，求证：/?；+/?；+...+

’1।

—,n=1

【解析】(1)-!........-=2,—=2；(2)an^r,；(3)勿=,，所以

S“S,iS,..T”2〃

2n(n-1)

111111

Z?2+bg+...+b：=-H—彳+…4<---------1----------F...4----------------1--<1

2232n21x22x3(n-l)nn

6、己知数列｛%｝是各项不为0的等差数列，公差为d,S“为其前”项和，且满足4=S2,,_„neN",麴J物,｝

满足么=―7；为数列物,｝的前〃项和。（1）求和T”；（2）若对任意的〃eN*,不等式

川

27；<“+8x（—1）"恒成立，求实数X的取值范围；（3）是否存在正整数〃?,“（1<机<〃），使得成等

比数列？若存在，求出所有用，〃的值；若不存在,请说明理由。

解:(I)解法一:在a\=中,令n==2,

是随n的增大而增大.

得｛『,,叱匕X33a(2分)n

Iaj=03.I(a>+a)=3a)+3a,・・・nul时2〃一费取得最小值一6.

解得ai=l,d=2,(3分)

.,•此时久需满足久<-21.（9分）

:.an=2n-1.

综合①，②可得人的取值范围是4<-21.（10分）

又‘°ia.4.।一(2n-l)(2n♦1)-2(2n-1-2n+1)'

（2.4兀=焉,北=舟，

M+d+…去rUn)若成等比数现剧（品）:+（舟），

即嬴缶7r品.⑴分）

解法二：；I%I是等差数列.=a*,

•L解法,由鬲2r舟用吟=三吟3>。.

.；.S2n.i■S+『T（2n-1）=（2n-l）a.（2分）

n即-2m?+4m+I>0,（12分）

31

由Sja・i，得=l）aM,；・1-整<刑<1+4.（13分）

又Ya.0O,/.a,»2n-l.Ma（s1,</s2.（3分）

（以求法同解法一）又mWN,且m>l,所以m=2,此时n=12.

（D）①当n为偶数时，要使不等式AF.<。+8・（-I尸恒成立.因此，当且仅当m=2,。=12时,数列17；｝中的力，兀，7；成等比

即需不等式人<9^3羽上•=2“+&+17恒成立.（6分）数列.（14分）

nn解法二:因为£。a=—与*<4«

ora+J,Jo

6+—.

：2n+等号在n=2时取得.n

.;此时久需满足2<25.（7分）故5~~i，f~A----14，即2m2-4m-1<0,

4m+4m+1o

②当n为奇数时,要使不等式AT,<n+8・（-1）"恒成立，即需不

等式2<心空加土。=2-&-15恒成立.（8分）•••1-彖m<l+年（以下同上）,（13分）

nn

7、已知数列｛4｝、｛£｝满足q=2,%—l=a”（a“M—1）,bn=an-l,数列｛%｝的前〃项和为S“。（1）求数

H1

列也』的通项公式；（2）设7；=S2“—S“，求证：Tn+i>Tn;（3）求证：对任意的〃eN*有l+^WS*<]+〃

成立。

【解析】解⑴由么=氏一1得4=2+1代入%-1=。.（八一1）得么=（包+1）%

整理得"一"+1=〃也用，—1分：w0否则a“=1,与4=2矛盾

从而得」——-=1,-------3分•.•仿=%-1=1二数列｛-!-｝是首项为1,公差为1的等差数列

%b“b”

=n,即々=一4分

bnn

11

—T—S2n—S=1H------1------1-------b+----

=1+1+1+...+n2nn...±.11...1)

23n23n〃+1++2〃(1+2+3++n

111

---------1----------+••.--------6分

〃+1〃+22n

11+羡一（11

证法1：...，+「7；----------1-------------------1----------

〃+2〃+3〃+1几+22〃

-----1------------------------------------->0

2〃+12〃+2几+12〃+12〃+2(2〃+1)(2〃+2)

8分

11/.7；,-7；>—!—+—-----—=0

证法2：2〃+1<2〃+2---->-----+,

2〃+12〃+22〃+22“+2n+1

--------------------------------------------8分

--Tll+1>Tn.

(3)用数学归纳法证明:

①当〃=1时1+2=1+_L,S”=l+-,-+n=-+l,不等式成立;------9分

222222

②假设当〃=k(Zr>l,AeN*)时，不等式成立，即

k1

1+—WS,,〈一+k,那么当〃=火+1时.

222

,111,11,女11

sc户=1+/…+/+…+而力5+3有+…+而>1+5+而+…+河

k1

—+-=1+----------------------------------------12分

22

c.1111,111,11

=1--F•••d--V'+…d--r-r«--F女H--:---F…-I--<----\-k-\..-+…d--:

2kA+I

22”2川22+12222^

=■!■+(左+i).•.当〃=女+1时，不等式成立

2

由①②知对任意的“wN*,不等式成立.14分

8、已知数列｛a",。1=%=2,。/]+2?_](〃/2)。(1)求数列｛〃〃｝的通项公式a”；(2)当〃N2时,求

ffi:—+—+—<3；(3)若函数/(x)满足：/(I)=a,,f(n+1)=/2(n)+/(«).(neTV*),

qa2an

1

求证:s1

tr/w+i2

蜂•.・%+]=an+解=,两边加%得:an+i+an=2(%+(n>2),

｛an+l+an｝是以2为公比,q+q=4为首项的等比数列.

4川+。“=42"7=22"——-①——2分

a

由％=„+2%-1两边减2ali得：an+i-1an=一(%-2a0T)(〃22)

/.{an+l-2an}是以—1为公比，4-2%=-2为首项的等比数列.

...an+i-2an=-2(―1产=2(-1)"------②——4分

2

①-②得：3%=2[2"-(-1)"]所以,所求通项为o„=-[2H-(-ir]------6分

J-+_L=3[_L_+_L_]=3___

aa22,,-|+12"-122n-12"+2"-2,,_|-1

⑵当〃为偶数时,n+]n

32n-1+2"32-'+2"=,(击+f(〃22)

22"-12"+2"~'-1<22"''2"

—+—+—<-(1+-+-4+-+—)=--^-=3-3—<3

8分

2

qa2a„2222"2」2"

2

2I

当〃为奇数时，•••。“=一[2"—(―1)”]>0,.•.6+]>0,」—>0,又〃+1为偶数

3«,口

由(])矢口，---1----F...H------<------1----F...H--------1--------<3-----10分

aaaa

%。2„%2„„+l

⑶硼：•••/(〃+1)-/(n)=/2(n)>0/(〃+1)>/(«),.-./(»+1)>/(«)>/(n-l)>-->/(l)=2>0

又_______=_____________=______________=_______________•_________=_______________

f(n+l)f\n)+f(n)/(n)[/(n)+l]f(n)/(n)+l"f(n)+lf(n)f(n+l)

■,tr/w+i=l7(i)-7(2_+w-W+"+7w-/(«+D

1111

=7(i)-/(«+i)<7a)=2'

9、已知函数"x)的定义域为(T,1),且"L=l,对任意x,yw(—LD，f(x)-f(y)=

21-xy

数列｛6｝满足4=L,a“+i=』r"eN*).⑴证明函数/(x)是奇函数；(2)求数列｛打a,J｝的通项公

21+"

式(3)令.=&+%+…+"y〃N"),证明：当〃N2时，~«

〃i=li=l2

（口解；由于对任意M）W（一|/）・拈有/（x）-/（y）=/

0-0

令x=p=O.得/(0)-/(0)=/;=〃0)・

1-0x0

髀用/(O)=o.I分

令X=0.电〃0)_〃的=/jT^21]=f(_y).

7/(0)=0.

・・・0-/(力=〃->，)・即〃-)，)=-/&).2分

・•・#数/■（*）是奇居数3分

（2）M：先用数学归纳法证4

①当〃=1时.«?!=—.得0<。<1.结论成立.

②霰设〃=«时,结论成立,即0<q<1,

当〃=A+|时.由于0<a.<1,a..=>0.

2a

又J3=1

[+aj27fx.2a.

0<%.]<1.

即〃=4+1时，结论也成立

由①②知对任意〃€、，0<O,<I.4分

求数列｛/（a.）：的通小公式奥供下面丙种方法.

法”（5《言:

=〃%)-〃-q)•5分

•・•居数/"（X）是奇曲数.

•••/(r.)=-/(4“)・

•・'-•.\'■-I6分

数列｛/（a.）｝是首厘为/（%）=/（；）=1,公比为2的等比数列.

数列｛/（凡）｝的递项公式为/（见）=2-7分

5分

—

・・・/(j)=2/m).6分

•••依列｛/（凡）｝是苜项为〃aj=公比为2的等比数列.

・•・数列｛/（凡）｝的通项公式为/（凡）=2"".7分

(3)证法L由(2)»]0<on<l.

>0.

・・“.川人」8分

,q=；!<凡.且"22)

0<0,-ow<€N*.\n>in).9分

当k"kwN•时.

,q+a,+…+a*

(日一生)+(。・-%)+…―

10分

11分

•；0<%-4<J..................12分

・・当〃时区一

•22,0<££4<0.13分

!■!I2

;当〃N2时,14分

忙q-力卜*

IlaiX|•

证法2：由（2）知

・・・a.7>a...................8分

工q=：，!<。“<1(〃wN，•1L〃N2)

e

..|oBeN*)..................9分

卜面用数学归纳法二受不等式E。,-上乂卜?戌立.

①当〃=2M・左边=a♦%-；q+。；":j=^-|a,-o,|<-^x之右功.

・・・〃=2时.不等式成立..........10分

②假设〃=上"N2/wN・)lH.不等式成立.即-£•«<?,

副〃=上+1时.

左边二11分

■停一切.3号产国

忸,-&卜告|(。.“-4)+(。”,-%»”+(%.-o.)|

12分

=也等1=右边.

13分

”=*+1时,不等式也成立.

②知，当”22时.£a,-£.4,成立.

14分

1=12

证法丸由(2)知0<q<1(A=],2,3,…,n).故对有

O<Va<Ar,0<£q<”-h

8分

由于对任意x>O,y>0.有|x-y|<max｛x,y｝・耳中max｛x,y：表示x与y的^大值.

于是对14A4”-1・书

心小小谑”去9分

川

<max1《展-泊,｝10分

4max

=I—(上=1,23…，”-1)......11分

n

故|£0-£“二卜'|=|(a-/：)♦(,«-省)♦…♦(4-/..J

12分

引4-4|+|4-4|+”・+|4-4一,|

13分

...1+2+3♦…♦(”一1)

=(/!—!)—■■

n

n(n-l)

n-

=(n-l)-----=—2H分

77])

10、已知数列｛q｝和也｝满足为=伉，且对任意“CN*都有4+"=1,」±L=y『⑴求数列｛%｝和

也｝的通项公式；

(2)证明:生+，旦+…+4±L<ln(l+〃)</%■+&+…+%。

bb

24"bn+l伉b2久„

(1)解：•.•对任意〃eN*都有凡+"=1,也=-^,.♦.—=_^=工4=」_

41—41—1—。；1+4

」+即」—-=

Li,i.,•,2分

4+1%氏+1%

.••数列—I是首项为-,公差为1的等差数歹U.

•••q=A，且q+4=1,

IAJ4

a.=b,=—.•*•—=2+(〃—1)=〃+1.,•,4分

112

1,n八八

,b=l-an=-----.…6分

M+1----""n+1

(2)证明：：bn=—^―,-

n+1n+1bnn

，所证不等式"+&+幺+•••+♦<ln(l+〃)<—生+••.+”

瓦与"%瓦b2%%

Hn1111।八一111

234n+1v723n

①先证右边不等式：ln(l+〃)<l+'+J■+…+L

23n

1y

令/(x)=ln(l+x)-x,则/(%)=------1=——:—.

1+X1+X

当x〉0时，f(X)<0,所以函数“X)在[0,+8)上单调递减.

.••当x〉0时,/(x)</(0)=0,即ln(l+x)<x.-8分

分别取x=l,L,‘\_

23n

得

ln(l+l)+ln[l+g)+ln[l<1+1+1+-+

23n

<iii-1

即In(1+1)11+11+-I・•.I1+—+++•d----.

3n23n

tf34n+1

也即In2x—x—x…x<l+l+l+...+l.

I23n23n

11

即ln(l+〃)<l+5H-----1-…-I----.••,10分