高考文科数学真题及答案全国卷

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.(2013课标全国I,文1)已知集合人={1,2,3,4},13=以3=叱1162，则人08=().

A.{1,4}B.{2,3}C.[9,16}D.{1,2}

【答案】A

【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】VB={x|x=ri2,neA}={1,4,9,16},

.,.AnB={l,4}.

2.(2013课标全国I,文2)1I+、?i=().

(1)2

A.-1—MB.-1+J_iC.l+[iD.1-£i

2222

【答案】B

【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】1+2i_1+2i_(1+2i)i_-2+i=j+1i.

(1-i)2-2i222

3.(2013课标全国I,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对

值为2的概率是().

1111

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),

满足条件的事件数是2,所以所求的概率为1.

3

4.(2013课标全国I,文4)已知双曲线C：三一Zl=1(a>0,b>0)的离心率为更，则C

。2h22

的渐近线方程为().

A.y=±L%B.y=±bc.y=±LD.y=+x

432

【答案】c

【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】•:e=^，:.C=器,即C2=5.

Va~T£4

,,&21.b1

V02=82+02,工=・・・=.

〃24a2

•.•双曲线的渐近线方程为y=+\,

a

1

,渐近线方程为y=±_x.故选C.

-2

5.（2013课标全国I,文5）已知命题p：?xER,2x<3x；命题q：?x£R,X3=l—X2,则下列

命题中为真命题的是（）.

A.pAqB.-■pAqC.p/VrqD.』/\飞

【答案】B

【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

【解析】由2。=3。知，p为假命题.令h（x）=X3-14-X2,

Vh（0）=-l<0,h（l）=l>0,

.-.X3-l+X2=0在（0,1）内有解.

/.?xeR,X3=l—X2,即命题q为真命题.由此可知只有「p/\q为真命题.故选B.

6.（2013课标全国I,文6）设首项为1,公比为:的等比数列｛a｝的前n项和为S,则（）.

3nn

A.Sn=2dn—1nB.Sn=3（z—2nC.S=4n—3aD.Sn=3-n2d

【答案】D

【考点】本题主要考查等比数列前n项和公式。

1-2a

【解析】S=%（1-伙）L=3"=3—2a,

故选D.

n

“1-q1-qr_2

3

7.（2013课标全国I,文7）执行下面的程序框图,如果输入的te[-

1,3],

则输出的s属于（）.

A.[—3,4]B.[-5,2]

C.[-4,3]D.[-2,5]

【答案】A

【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。

【解析】当一时，s=3t,则se[-

3,3）.当IWt近3时，s=4t-t2.

•••该函数的对称轴为t=2,

该函数在[1,2]上单调递增，在⑵3]上单调递减.

s=4,s=3.

maxmin

Ase[3,4].

综上知se[-3,4].故选A.

8.（2013课标全国I,文8）0为坐标原点，F为抛物线C：警=4点x的焦点，P为C上一点，

若|PF|=S，则^POF的面积为（）.

A.2B.2展C.2*D.4

【答案】C

【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。

【解析】利用|PF|=Xp+企=4隹，可得\=3#.

.•.y=±2后.=l|0F|•|y|=2^.

PAPOF2P

■c.一

9.（2013课标全国I,文9）函数£（乂）=（1一（：05乂）5简乂在[一JT,九]的图像大致为（）.

【答案】C

【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。

【解析】由f（x）=（l-cosx）sinx知其为奇函数.可排除B.当x-0,小时，f（x）＞0,

I2^

除

川FP

A.

当Xe(3

2n)时，f'(x)=sin2x+cosx(l—cosx)=—2cos2x+cosx+1.令f'(x)=0,

得

X=-兀

3

2

故极值点为X=_K,可排除D,故选C.

3

10.（2013课标全国I,文10）已知锐角AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A

+cos2A=0,a=7,c=6,则b=（）.

A.10B.9C.8D.5

【答案】D

【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。

1C兀、口1

【解析】由23cos2A+COS2A=0,得coszA=.*/AF0,/.cosA=.

25（25

..A36+—49.1匚-P-,13/个、

・cosA=,・・b=5费=一(舍).

2x6)5

故选D.

11.(2013课标全国I,文11)某几何体的三视图如图所示,

则该几何体的体积为().

A.16+8JIB.8+8n

C.16+16nD.8+16n

【答案】A

【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。

【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组

合体.

V=JiX2?X4=8兀，

半圆柱2

V长方体=4X2X2=16.

所以所求体积为16+8冗.故选A.

12.(2013课标全国I,文12)已知函数f(x)=[r2+2x，x40,若1f(x)|»ax,则a的取值

[ln(x+l),x>0.

范围是().

A.(—8,0]B.(一8,1]

C.[—2,1]D.[—2,0]

【答案】D

【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析

能力有较高要求。

【解析】可画出(x)|的图象如图所示.

当a>0时，y=ax与y=|f(x”恒有公共点，所以排除B,C；

当aWO时，若x>0,则|f(x)|2ax恒成立.

若xWO,则以y=ax与y=|—xz+2x|相切为界限，

y-ax,

由，得X2—(a+2)x=0.

y=x2-2x,

△=(a+2)2=0,.*.a=—2.

/.ae[-2,0].故选D.

第n卷(选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.(2013课标全国I,文13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(l-t)b.若

b•c=0,则t=.

【答案】2

【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。

【解析】Vb•c=0,a|=|b|=1,启，b)=60°,/.a•b=1x1xj_=\

22

.*.b•c=[ta+（1—t）b]•b=0,

即ta•b+（1—t）b2=0.

1r+1—1=0.

2

t=2.

14.（2013课标全国I,文14）设x,y满足约束条件

「-%-3,则z=2x-y的最大值为______.

-1<x-y<0,

【答案】3

【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。

【解析】画出可行域如图所示.

画出直线2x—y=0,并平移，当直线经过点A⑶3）时，z取最大值，且最大值为z=2X3

-3=3.

15.（2013课标全国I,文15）已知H是球0的直径AB上一点，AH：HB=1：2,AB_L平面a,

H为垂足，a截球0所得截面的面积为n,则球0的表面积为

【答案】\

2

【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。

【解析】如图，

设球0的半径为R,

则加=巴

3

OH=f.

3

又「Ji•EHb=JI,AEH=1.

(g

•.•在RtaOEH中，R2=l_+12,...R2=—.

⑶8

97r

・・S=4JIR2=—.

球2

16.（2013课标全国I,文16）设当x=。时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则

cos°=_____.

【答案】—续

【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。

【解析】Vf(x)=sinx-2cosx=JTsin(x-e),

其中sin,cos6=乂

5兀5

x巾kkfx

当一=2n+_（GZ）时，（）取最大值.

2

即。一小=21^+:小昼2）,0=2k“+：+6（keZ）.

2、2

..cos0=cos+（p——sinQ=-2.

匕J丁

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（2013课标全国I,文17）（本小题满分12分）已知等差数列｛a｝的前n项和S满足

S=0,S=—5.

35

⑴求｛a｝的通项公式；

"f11

⑵求数列j＞的前n项和.

【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。

【解析】(1)设｛a｝的公差为d,则S=〃

nn12

由已知可得｛3al+3d=0

Sal+lOd=-5

解得a=1,d=-1.

i

故｛a｝的通项公式为a=2-n.

⑵由⑴知1=1=1(111

a——a-------(3-2/?)(1-2ri)2-2〃-1)，

从而数列的前n项和为

~aa

12n-12n+1J

n

1一2〃

18.（2013课标全国I,文18）（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为

A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在

服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）.试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.9

3.03.12.32.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:

3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.1

2.51.22.70.5

⑴分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好?

⑵根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。

【解析】（1）设A药观测数据的平均数为三，B药观测数据的平均数为歹.

由观测结果可得

1

x=_（0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+

2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5）

=2.3,

1

y=—（0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+

2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2）

=1.6.

由以上计算结果可得土＞，，因此可看出A药的疗效更

好.（2）由观测结果可绘制如下茎叶图:

7

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有一的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验

10

7

结果有一的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好.

10

19.（2013课标全国I，文19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC—ABC中，CA=CB,AB

111

=AA,ZBAA=60°.

।।

⑴证明：AB±AC；

i

⑵若AB=CB=2,AC=j6»求三棱柱ABC—A摩的体积.

【考点】本题主要［查线面垂直问题，考查空向港象能力、逻

辑思维能力、运算能力及转化能力。

【解析】

⑴取AB的中点0,连结0C,0A,AB.

1i

因为CA=CB,所以0C1AB.

由于AB=AA,ZBAA=60°,

11

故AAAB为等边三角形，所以0A1AB.

11

因为OCCOA=O,所以AB,平面0AC.

1i

又AC?平面0AC,故AB1AC.

⑵由题设知AABC与4AAB都是边长为2的等边三角形,

1

所以0C=0A|=J7.

又AC=乖:则AC2=0G+OA2,故0AL0C.

1111

因为OCnAB=O,所以OA_L平面ABC,OA为三棱柱ABC-ABC的高.

11I1I

又ZXABC的面积S谢=召,故三棱柱ABC-A耳工的体积V=S/XOA=3.

20.(2013课标全国'I,文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)—X2—4x,曲

线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.

⑴求a,b的值;

(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.

【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。

【解析】(l)f'(x)=ex(ax+a+b)—2x—4.

由已知得f(0)=4,fz(0)=4.

故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.

⑵由⑴知,f(x)=4ex(x+l)—X2—4x,

(n

f'(x)=4ex(x+2)—2x—4=4(x+2)•Iex-I.

IF

令f'(x)=0得，x=—ln2或x=-2.

从而当xe(—8,-2)U(-In2,+8)时，户(x)>0；

当xw(—2,—In2)时，『(x)<0.

故f(x)在(一8,-2),(-In2,+8)上单调递增，在(一2,一In2)上单调递

减.当x=-2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(-2)=4(l-e-0.

21.(2013课标全国I,文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x+l)2+y2=l,圆N：(x-l)2

+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)1是与圆P,圆M都相切的一条直线，1与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，

求|AB|.

【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和

计算能力。

【解析】由已知得圆M的圆心为M(—1,0),半径r=l；圆N的圆心为N(l,0),半径r=3.

12

设圆P的圆心为P(X,y),半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|+|PN|=(R+r)+(r-R)=r+r=4.

1212

由椭圆的定义可知，曲线c是以M,N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为阴的椭圆

(左顶点除外)，其方程为:+2=1(xW—2).

43

⑵对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2W2,

所以RW2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2.

所以当圆P的半径最长时，其方程为(x-2)2+y2=4.

若1的倾斜角为90°,则1与y轴重合，可得|AB|=2褥.

若1的倾斜角不为90°,由rWR知1不平行于x轴，设1与x轴的交点为Q,则=人，

1\QM~\7

可求得

Q(—4,0),所以可设1：y=k(x+4).

由1与圆M相切得」4=1，解得k=±立.

VI+724

当1<=也时，将y=2+应代入上+_=1,并整理得7X2+8X—8=0,解得X=-4±班,

4443127

所以1AB|=J由|x—x|=化.

Y217

当k=—这时，由图形的对称性可知lABUl8.

47

综上，回|=2不或阀=:.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则

按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂

黑.22.(2013课标全国I,文22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B,点C在圆上，NABC的角平分线BE交圆于点E,DB

垂直BE交圆于点D.

(I)证明:DB=DC;

(II)设圆的半径为1,BC=V3,延长CE交AB于点F,求4BCF外接圆的半径。

【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。

【解析】⑴连结DE,交BC于点G.

由弦切角定理得，ZABE=ZBCE.

而NABE=NCBE,

故NCBE=NBCE,BE=CE.

又因为DB±BE,

所以DE为直径，ZDCE=90°,

由勾股定理可得DB=DC.

(2)由(1)知,ZCDE=ZBDE,DB=DC,

故DG是BC的中垂线,

所以BG=1巨.

2

设DE的中点为0,连结B0,则NB0G=60°.

从而NABE=NBCE=NCBE=3(r,

所以CF±BF,

故Rt^BCF外接圆的半径等于迈.

2

23.(2013课标全国I,文23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线

C的参数方程为f=4+5C0S/,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

11y=5+5sinr

坐标系，曲线C的极坐标方程为P=2sin0.