奥数工程问题集锦

L修一条水渠，单独修，甲队须要20天完成，乙队须要30天完成。假如两队合作，由

于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工

作效率只有原来的非常之九。现在安排16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能

少，那么两队要合作几天？

解：由题意得，甲的工效为1/20,乙的工效为1/30,甲乙的合作工效为

1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。

又因为，要求"两队合作的天数尽可能少"，所以应当让做的快的甲多做，16天内实在

来不与的才应当让甲乙合作完成。只有这样才能"两队合作的天数尽可能少"。

设合作时间为x天，则甲独做时间为(16-x)天

1/20*(16-x)+7/100*x=l

x=10

答：甲乙最短合作10天

2.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别须要20小时，16小时.丙水管单独开，排

一池水要10小时.，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水

池注满还是要多少小时？

解：

1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率

9/80x5=45/80表示5小时后进水量

1-45/80=35/80表示还要的进水量

35/80-?(9/80-1/10)=35表示还要35小时注满

答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

3.一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙

合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？

解：

由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量

(1/4+1/5)“2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。

依据"甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成"可知甲做2小时、乙做6小时、

丙做2小时一共的工作量为1。

所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量。

1/10+2=1/20表示乙的工作效率。

1+1/20=20小时表示乙单独完成须要20小时。

答：乙单独完成须要20小时。

4.一项工程，第一天甲做，其次天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮番做，

那么恰好用整数天完工；假如第一天乙做，其次天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交

替轮番做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独

做这项工程要多少天完成？

解：由题意可知

1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+......+1/甲=1

1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+......+1/乙+1/甲x0.5=l

（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最终结束必需如上所示，否则其次

种做法就不比第一种多0.5天）

1/甲=1/乙+1/甲x0.5（因为前面的工作量都相等）

得到1/甲=1/乙x2

又因为1/乙=1/17

所以1/甲=2/17,甲等于17+2=8.5天

5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完

成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？

答案为300个

120+（4/5+2）=300个

可以这样想：师傅第一次完成了1/2,其次次也是1/2,两次一共全部完工，那么徒弟

其次次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5,刚好是120个。

6.一批树苗，假如分给男女生栽，平均每人栽6棵；假如单份给女生栽，平均每人栽

10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？

答案是15棵

算式：lv(1/6-1/10)=15棵

7.一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完,

丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,

丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水

放完？

答案45分钟。

1+(1/20+1/30)=12表示乙丙合作将满池水放完须要的分钟数。

1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水,

也就是甲18分钟进的水。

1/2+18=1/36表示甲每分钟进水

最终就是1+(1/20-1/36)=45分钟。

8.某工程队须要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要

超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日

期为几天？

答案为6天

解：

由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，

恰好如期完成，"可知：

乙做3天的工作量=甲2天的工作量

即：甲乙的工作效率比是3：2

甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3

时间比的差是1份

实际时间的差是3天

所以3+(3-2)x2=6天，就是甲的时间，也就是规定日期

方程方法：

[1/x+l/(x+2)]X2+1/(x+2)X(X-2)=1

解得x=6

9.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天

晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，

发觉粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？

答案为40分钟。

解：设停电了x分钟

依据题意列方程

l-l/120*x=(l-l/60*x)*2

解得x=40

一件工作，甲、乙、丙三人合作6小时，乙、丙合作2小时,可以完成这件

工作的4/9。假如甲、乙合作3小时，丙做6小时，可以完成这件工作的

3/4,甲、乙、丙单独完成这件工作各需多少小时？

解：设甲的工作效率为X,乙的工作效率为Y,丙的工作效率为Z。

则(X+Y+Z)*6=1；

6X+2Y+2Z=2/3；

3X+3Y+6Z=2/3

解的:X=l/12,Y=l/36,Z=l/18

故甲乙丙单独完成这件工作分别须要12,36,18小时

接着追问：我不会3元方程，能不能不用方程解答

补充回答：甲工效=2/37/6X2)+4=1/12,甲须要12天

丙工效=(2/37/6X3)+3=1/18,丙须要18天

乙工效=[4/9-(8义1/18)-(6X1/12)]/(2+6)=1/36,乙须要36天

补充回答：

订正：甲乙丙工效之和为1/6

乙丙合作两小时，完成了4/9

如下三人合作2小时的话应当完成了3*1/6=1/2

所以甲工效为(1/2-4/9)/2=1/36,甲须要36天

甲乙合作三小时，丙做6小时，相当甲乙丙合作3小时，然后丙再做3小

时

所以丙工效为(3/4-1/2)/3=1/8,丙须要8天

乙工效为1/6-1/8-1/36=1/36,乙须要36天

工程问题是探讨工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用

题。我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“1”，

因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是：工作总量;工

作效率=工作时间。

工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。下面列举

有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要的评点，旨

在使同学们驾驭“工程问题”的解题规律和解题技巧。

例1一项工程，由甲工程队修建，须要12天，由乙工程队修建，须

要20天，两队共同修建须要多少天？

［思路说明］①把这项工程的工作总量看作“1”。甲队修建须要12

天，修建1天完成这项工程的1/12；乙队修建须要20天，修建1天完成

这项工程的1/20。甲、乙两队共同修建1天，完成这项工程的1/12+1

/20=2/15,工作总量“1”中包含了多少个2/15,就是两队共同修建

完成这项工程所须要的天数。

14-(1/12+1/20)=1+2/15=15/2(天)

②设这项工程的全部工作量为60(12和20的最小公倍数)，甲队一

天的工作量为60912=5,乙队一天的工作量为60・20=3,甲、乙两队

合建一天的工作量为5+3=8。用工作总量除以两队合建一天的工作量，

就是两队合建的天数。

604-(604-12+604-20)=60+(5+3)

=604-8=15/2(天)

评点这是一道工程问题的基本题，也是工程问题中常见的题型。上面

列举的两种解题方法，前者比较简便。这种解法把工作量看作“1”，用

完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率

和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采纳这种方法求

解。

练习：一段马路，甲队单独修要10天完成，乙队单独修要12天完成，

丙队单独修要15天完成，甲、乙、丙三队合修，须要几天完成？

例2一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，两队合做，

多少天完成全部工程的3/4?

［思路说明］①把这项工程的工作总量看作“1”，甲队独做8天完

成，一天完成这项工程的1/8；乙队独做10天完成，一天完成这项工程

的1/10。甲、乙两队合做一天，完成这项工程的1/8+1/10=9/40,

工作总量“1”中包含多少个甲乙效率之和，就是甲乙合做所须要的天数。

甲乙合做所需时间的3/4,就是甲乙合做完成全部工程的3/4所需的时

间。

14-(1/8+1/10)X3/4

=14-9/40X3/4=10/3(天)

②把甲、乙两队合做的工作量3/4,除以甲、乙两队的效率之和1/

8+1/10=9/40,就是甲乙合做完成全部工程的3/4所须要的时间。

3/44-(1/8+1/10)=3/44-9/40=10/3(天)

评点思路①是先求出两队合做一项工程所需的时间，再用乘法求出完

成全部工程的3/4所需的时间。思路②是把“3/4”看作工作总量，工

作总量除以两队效率之和,就可以求出完成全部工程的3/4所需的时间。

两种思路简捷、清楚，都是很好的解法。

练习：一项工程，单独完成，甲队需8天，乙队需12天。两队合干

了一段时间后，还剩这项工程的1/6没完成。问甲、乙两队合干了几天？

例3东西两镇，甲从东镇动身，2小时行全程的1/3,乙队从西镇动

身，2小时行了全程的1/2。两人同时动身，相向而行，几小时才能相遇？

［思路说明］①由甲2小时行全程的1/3。可知甲行完全程要291

/3=6(小时)；由乙2小时行全程的1/2,可知乙行完全程要2+1/2

=4(小时)。求出了甲、乙行完全程各须要的时间，时间的倒数便是各自

的速度，进而可求出两人速度之和，把东西两镇的路程看作“1”，除以

速度之和，就可求出两人同时动身相向而行的相遇时间。

综合算式：

14-(1/(24-1/3)+1/(24-1/2))

=14-(1/6+1/4)=14-5/12=12/5(小时)

②由甲2小时行了全程的1/3,可知甲每小时行全程的1/34-2=1

/6；由乙2小时行全程的1/2,可知乙每小时行全程的1/24-2=1/4。

把东西两镇的路程“1”，除以甲、乙的速度之和，就可得到两人同时动

身相向而行的相遇时间。

综合算式：

14-(1/34-2+1/24-2)

=14-(1/6+1/4)=14-5/12=12/5(小时)

评点本题没有干脆告知甲、乙行完全程各需的时间，所以求出甲、乙

行完全程各需的时间或各自的速度，是解题的关键所在。

练习：打印一份稿件，小张5小时可以打完份稿件的1/3,小李3小

时可以打完这份稿件的1/4,假如两人合打多少小时完成？

例4一项工程，甲、乙合做6天可以完成。甲独做18天可以完成，

乙独做多少天可以完成？

［思路说明］把一项工程的工作总量看作“1”，甲、乙合做6天可

以完成，甲、乙合做一天，完成这项工程的1/6,甲独做18天可以完成，

甲做一天完成这项工程的1/18。把甲、乙工作效率之和，减去甲的工作

效率1/18,就可得到乙的工作效率：1/6—1/18=1/9。工作总量“1”

中包含了多少个乙的工作效率，就是乙独做这项工程的须要的时间。

14-(1/6-1/18)=14-1/9=9(天)

评点这是一道较困难的工程问题，是工程问题的主要题型之一。主要

考查同学们运用分数的基本学问与工程问题的数量关系，解决实际问题的

实力。解答这类工程问题的关键是：先求出独做的队或个人的工作效率，

然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队

或个人独做的工作时间。

有的同学在解这道题时，由于审题马虎，而且受基本工程问题解法的

影响，错误地列成：1+(1/6+1/18),这是同学们应引起留意的地方。

练习：一批货物，用大小两辆卡车同时运输，5小时可以运完。假如

用小卡车单独运，15小时可以运完。问大卡车单独运几小时可以运完？

例5加工一批零件，单独1人做，甲要10天完成，乙要15天完成,

丙要12天完成。假如先由甲、乙两人合做5天后，剩下的由丙1人做，

还要几天完成？

［思路说明］题目要求剩下的工作量由丙1人做，还要几天完成，必

需知道剩下的工作量和丙的工作效率。

加工一批零件，单独1人做，甲要10天完成，甲一天加工一批零件

的1/10；乙要15天完成，乙一天加工一批零件的1/15；丙要12天完

成，丙一天加工一批零件的1/12。甲、乙合做一天，完成这批零件的1

/10+1/15=1/6,合做5天完成这批零件的1/6X5=5/6,工作总量

1”减去甲、乙合做5天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工

作量除以丙的工作效率，就可以求出剩下的工作量由丙1人做还要几天完

成。

综合算式：

[1-(1/10+1/15)X5]4-1/12

-[1-1/6X514-1/12

—1/64-1/12=2(天)

评点这是一道较困难的工程问题，是工程问题中的主要题型之一，也

是升学或毕业考试中最常见的试题之一。它的特点是求剩余部分的工作量

完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“1”中减

去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同学由于审题不细，又

受前面几例工程问题的解法的影响，简洁错误地列成：[1+(1/10+1/

15)X5]4-1/12.

练习：加工一批零件，甲独做要8天完成，乙独做要7天完成，丙独

做要14天完成，三人合作2天后，甲因病休息，乙、丙两人接着合做还

要几天完成？

例6一件工程，甲、乙合作6天可以完成。现在甲、乙合作2天后，

余下的工程由乙独做又用8天正好做完。这件工程假如由甲单独做，须要

几天完成?

[思路说明]一件工程，甲、乙合作6天可以完成，可知甲、乙合作

1天完成这件工程的1/6,甲、乙合作2天，完成这件工程的1/6X2=1

/3o用工作总量“1”减去甲、乙合作2天的工作量1/3,所得的差1一

1/3=2/3,就是余下的工作量。又知余下的工程由乙独做用了8天正好

做完，用余下的工作量除以8,就可以求出1天的工作量，即乙的工作效

率。把甲、乙工作效率之和减去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。

求出了甲的工作效率，只要把工作总量“1”除以甲的工作效率，就可得

到甲独做这件工程所须要的天数了。

综合算式：

14-[1/6-(1-1/6X2)4-8]

=14-[1/6-(1-1/3)4-8]=14-[1/6-2/34-81

=14-[1/6-1/12]=14-1/12=12(天)

评点这也是一道困难的工程问题。解题的关键是正确求出甲的工作效

率。要求出甲的工作效率，解题的步骤较多，只有熟识和驾驭工程问题的

结构特点和解题思路，娴熟驾驭前面5道例题的解题方法与解题的技能、

技巧，才能正确顺当地解答本题。

练习：一项工程，甲、乙两队合做9天完成，乙、丙两队合做12天完

成，现在甲、乙两队合做了3天，接着乙、丙两队又合做了6天，最终由

丙队单独12天完成了整个工程。假如整个工程由甲、丙两队合做须要几

天完成？

工程问题是探讨工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用题。

工程问题是小升初奥数一个重要的分类，下面小编就为大家整理工程问题

的基本思路

工程问题的基本数量关系是：

工作效率X工作时间=工作总量

工作总量+工作时间=工作效率

工作总量+工作效率=工作时间

上面这些数量关系式是在题目中给出（或间接给出）工作总量和

工作效率的详细数量状况下进行解题用的。

假如题目中没有给出工作总量的详细数量，也没有给出工作效率

的详细数量，那么我们通常把工作总量看作整体“1”，工作效率表示单位

时间内完成工作量的几分之几。

例1：完成一件工作，须要甲干5天，乙干6天；或者甲干7天,

乙干2天。问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？

分析与解答：

分析：先对比如下

一项工作甲干5天、乙干6天，或甲干7天、乙干2天，自不待

言甲干2天的工作量，若换成乙干，则须要4天。因此，甲干1天的工作

量，若换成乙来干，则须要2天。

解答：甲完成这件工作须要的天数：

5+64-2=8（天）

乙完成这件工作须要的天数：

5X2+6=16（天）

评注：我们在解难题无从下手时，不妨把题目所交代的条件排列

下来，仔细地视察、比较，有时会柳暗花明的。本题运用了整体代换的数

学思想，使题目的解答奇妙、简练，更具创建性。

例2：一件工程，甲队单独做12天可以完成，甲队做3天后乙队

做2天半可完成一半。现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，

做完后发觉两段所用时间相等。问：共用多少天？

分析与解答：

分析：甲队的工作效率的1/12,乙队的工作效率是1/8,甲、乙

两队的工作效率和是1/8+1/12=5/24。由于甲、乙两队合做的时间与乙队

单独做的时间相同，所以甲、乙两队合做的工作量与乙队独做的工作量之

比是:

(1/8+1/12)：1/8=5：3o

解答：乙队的工作效率：（1/2—1/12X3）4-2=1/8

甲、乙两队合做工作量是这件工程的5/8,乙队单独做的工作量是

这件工程的3/8。

完成这件工程的总天数：

3/84-1/8X2=6（天）

说明：适时、恰当地运用正、反比例概念，会使问题简洁化。

例3：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每

小时加工5个。完成任务时，徒弟比师傅少加工120个。这批零件共有多

少个？

分析与解答：

分析：徒弟每小时比师傅少加工4个零件，徒弟比师傅少加工120

个零件须要120+4=30小时，那么这批零件的总个数是（9+5）X30=420

个。

例4：一件工程，甲、乙合做需6天完成，乙、丙合做需9天完成，

甲、丙合做需15天完成。现在甲、乙、丙三人合做，需多少天完成？

分析：由已知条件可知，甲、乙的工作效率和是1/6,乙、丙的工

作效率和是1/9,甲、丙的工作效率和是1/15,1/6+1/9+1/15=31/90,

这是甲、乙、丙三人工作效率和的2倍，甲、乙、丙三人的工作效率和是

31/904-2=31/180,那么甲、乙、丙三人合做须要的天数是1・

31/180=180/31天。

例5：一件工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完

成。假如先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙

工作1小时……两人如此交替工作，那么完成任务用了多少小时？

分析：由已知条件可知甲的工作效率是1/12,乙的工作效率是1/18。

先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，看作是甲、乙合做1小

时。可得甲、乙合作完成任务须要的时间是1+(1/12+1/18)=36/5小

时，事实上可以理解为甲工作了7小时，乙工作了7小时，剩下的1/36

的工作由甲再单独完成。

例6：甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程，B工程的工作量比A

工程的工作量多1/4,甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是

20天、24天、30天。为了同时完成这两项工程，先派甲做A工程，乙、

丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A,结果A、

B两项工程同时完成。问：丙队与乙队合作了多少天？

分析：令A工作总量为1,则B工程的工作总量是5/4,A、B两项

工程的工作总量是9/4,则甲、乙、丙三队完成A、B两项工程的时间就可

以求出，是9/4+(1/20+1/24+1/30)=18天。乙队干18天的工作量为

1/24X18=3/4,剩下的5/