高中数学讲义：数系的扩充

高中数学讲义：数系的扩充

目录

1.正文........................................................................1

2.数系是怎样扩充的？.........................................................3

1.正文

数系的构造与逐步扩充：自然数系一一整数系和分数系一一实数系一一复

数系

从自然数到有理数，两个方向的需求：

（1）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细

分的量：度量单位一一分数单位一一分数。

m

问题1：为什么把“叫做“有理数”？“有理”在哪里？一一因为它的加

法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按照如下定义行事

acad-^-bcac_acaaca

bdbd'bdbd'a'beb°

在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、

分配律等都成立。

aca+c

问题2：为什么不把加法定义为了+7二订彳？

逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，没有意义。例如，

112

5+5=公，从度量的角度看是不合适的。

（2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通

行。为此，需要引进符号0以及-1,-2,—3,...,并定义aVb时，a—b

=-（b-a）,以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义（一1）义

（—1）=1。

问题3：为什么不是（一1）又（-1）=一1?

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与引入0和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除法消除了障碍：定

aa

义符号，称为分数，它服从bXb=a（bWO）。

这样，全体有理数一一整数和分数、正数和负数一一的纯算术意义就清楚

了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、

减、乘、除的封闭性一一这个封闭的数的范围叫做域。

上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一个重要特性一一使得

在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有

理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。

问题4：有理数有多少个？

从度量长度中得到启发，引进数轴的概念，可以用数轴上的点表示任意有

理数。借此可以容易地证明：有理点在数轴上是稠密的。

从有理数到无理数，也可以看成是两个方面需求的结果：

（1）前面已经谈到的度量线段中发现的存在着不可公度线段一一每一条

这样的线段都对应着借助于单位长度而给出的一个数，这样的数就是无理数。

“这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯

定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。”（柯

朗，什么是数学，72）

问题1：你能证明J5是无理数吗？你能用几何作图的方法构造出一些无

理数吗？

由此可以看到，实数是几何数（实数是大自然给的）。

关于实数理论的严格化，数学家们做出了长期坚持不懈的努力，直到十九

世纪末，在戴德金、康托、维尔斯特拉斯那里才真正建立了无理数的严格理

论。其中有些问题可以让高中生进行研究，例如：

极限与无穷递缩等比数列，无限循环小数与分数的互化；

用有理数逼近无理数；

构造一个无限不循环小数；等。

问题2：有理数多还是无理数多？

（2）从数学内部的需求看，与有理数域的扩充类似，为了解像x2=2这样

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的方程，需要构造一个比有理数域更广的实数域。

从实数到复数，主要是数学内部的需求：

最早要求应用复数的是为了解二次方程。16世纪，意大利数学家卡尔丹在

解三次方程时使用了复数。那时，数学家们对复数的意义充满疑惑，并一直想

要搞清楚复数的意义一一寻找几何表示，使它“看得见”。直到十九世纪初，

高斯给出了复数a+bi（a,b为实数）的几何意义，复数才有了合法地位。

引进一种新的数，就要定义它的运算；定义一种运算，就要研究它的运算

律。对于引进的“虚数单位”i,它服从i2=-l,现在有

问题1：根据已有的数系扩充理论，要使符号i能像对实数那样进行加、

乘运算，它应该有怎样的一般形式？

对于复数a+bi（a,b为实数），根据一以贯之的原则，即“使算术运算

的运算律保持不变”，应如何定义关于它的运算？

问题2：在复数域中，二次方程ax2+bx+c=0的解的情况如何？

问题3：类比用数轴上的点表示实数，如何对复数作出几何解释（复数的

几何表示）？由复数的几何表示出发，你能发现和提出哪些问题？得出哪些有

用的结论？（复数的模，共枕复数及其性质，复数加法的平行四边形法则，复

数的“三角形不等式”，复数的三角表示，等。）

问题4：借助于复数的三角表示，你能提出哪些问题？得出哪些结论？

（向量的旋转、伸缩与复数乘法，棣莫弗公式等）

问题5：借助单位圆，用棣莫弗公式研究单位根一一“在复数域中，1恰

有n个不同的n次方根，它们可以用单位圆的一个内接正n边形的顶点来表

示，z=l是其中一个。”……

问题6：从复数、三角函数、向量之间的联系性出发，你能发现和提出哪

些问题？（包括欧拉公式e"+1=0）

2.数系是怎样扩充的？

19世纪的数学家克罗内克说过：“上帝只创造了自然数，其余的都是人为

的”。

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数系的扩充

_计数的需要_自然数(正整数与零)

整数

解方程r+3=1

有理数

解方程3x=5

解方程一=2实数

自然数：计数的需要

自然数是什么？

表示物体个数的数叫自然数(Naturalnumber),自然数由0开始，一个

自然数的产生几乎是人类发展的必然，从古至今，人们在计算物体个数或

是表示物体次序的时候不可避免的会用到这些数字。早在五万年前，我们的先

人就已经在使用这些数字做着一些基本的计数和排序了。

所有的自然数组成了一个集合：自然数集N

PS如果再有人问你1+1为什么等于2,千万别再说“不就是这样的吗，

还有理由吗？”之类的话了，你应该这样说：“因为一个物体和另一个物体加

起来就是两个物体”。

分数：分配的需要

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把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或其中几份的数叫分数。

在历史上，分数几乎与自然数一样古老。早在人类文化发明的初期，由于

进行测量和均分的需要，引入并使用了分数。比如说，有一家三兄弟要分配财

产，其中大哥得到二分之一的土地，二哥得到三分之一的土地，老三得到六分

之一的土地。

通过分数，我们就能在头脑中想象出三兄弟各自得到了多少财产。如果没

有分数，事情就远远没有这么简单。

在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。早

在公元前2100多年，古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就是用了分母是60的

分数。公元前1850年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数。

分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。我国春秋时代（公

元前770年〜前476年）的《左传》中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超

过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之

-o秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。

插曲：“0”的出现

到了公元5〜6世纪，数字“0”在印度诞生。这时的“0”才真正算是一

个数字，代表“空，无，什么都没有”。

PS早在美索不达米亚文明与玛雅文明中，就已经有了这个符号的身影，

但那时“0”并不是一个数字，更类似于一个占位符。

负数：相反意义

负数与正数表示意义相反的量，任何正数前加上负号便成了负数。

这就是负数的定义。

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-5-4-2-1015

-5-4-3-2-1012345

数轴

在历史上，负数应该算是欠出来的。在借贷中，逐渐产生了负债的概念，

人们需要一个与盈利相反意义的量来表示“负债”的概念，负数就应运而生。

据记载，我国三国时期的数学家刘徽于公元250年前后首先给出了负数的

定义，写法及运算法则。到了7世纪，印度也出现了描述“负债”数量的负

数，在当时的印度，正数代表的是“资产”，而负数代表的是“负债，损

失”。

事实上，A有100元的负债相当于A有-100元的资产。这两者是等价的

（虽然这样表述起来很别扭），当你能掌握负数的表现形式时，恭喜你，你已

经学会了从相反的方向看待问题了（-U-），〜

至此，一个新的集合出现了：有理数集Q

"0"从“空的”引申至U“平衡”：

负数的出现，使我们能通过一个概念看到事物的另一面。譬如，如果不使

用负数，做生意的人就必须同时考虑资产与损失两个概念。这样计算不仅繁琐

而且复杂。但是，如果我们将损失理解成负的资产，我们就能够在以盈利为正

方向，收支平衡点为原点的数轴上，讨论销售额和盈亏状况。

从以上的例子里大家能够看到，这时的“0”已经不是“空的”意思了，

现在它代表收支平衡，也就是“正数和负数同时存在且势均力敌的状态”，即

“平衡”。

事实上，物理学中力的平衡和化学中正负离子的反应等，都与这个“平

衡”有异曲同工之妙。

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无理数：无法抓住的数

无理数(Irrationalnumber),就是不讲道理的数无限不循环小数。

生活在公元前五世纪的古希腊人，坚信所有的数都可以用整数的比来表示

(即所有的数都是有理数)。尤其是以毕达哥拉斯为首的毕达哥拉斯学派成

员，认为“万物皆数”，他们坚信万物的规律都可以用有理数来表示。

事实上，在这个学派里，已经有人发现了无法用整数之比来表示的数。讽

刺的是，这个数恰恰是利用毕达哥拉斯定理证明出来的。于是我们可以这样理

解，毕达哥拉斯自己发现的定理否决了他自己的学说。

b

勾:a2+b2=cJ

勾股定理：a2+b2=c2

毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现，下面这种直角三角形的斜边长度无法用

分数表示。

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'.r_克—

据说，毕达哥拉斯在听到这个说法后十分震惊，要求所有成员不得泄露这

个数的存在，甚至杀害了可怜的小哥希帕索斯。这是数学史上第一次发现无理

数。

自根号二被发现以后，越来越多的无理数被发现，人们逐渐接受了无理

数，并把无理数和有理数统称为实数。实数能够和数轴上的点一一对应。

那为什么毕达哥拉斯宁可杀人也不愿承认无理数的存在呢？无理数像是一

个只有“大概值”的数，我们能通过种种方法看到它们，画出它们，却终究无

法知道它们的确切值。可能这才是毕达哥拉斯无法接受无理数的原因吧。

例：根号二的画法

至此，有理数与无理数构成了一个集合一一实数集R

例：根号二的画法

复数：从想象穿越到现实的数

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虚数(Imaginarynumber),直译过来就是“想象中的数”。在数学史上，

有一段时间内，虚数不被人们所接受，被认为是荒谬的数字。

1637年，笛卡尔首先给出了"Imaginarynumber”这个命名，而命名为

虚数的原因，正是因为在当时的观念里这是不存在的数。

到了1777年，欧拉出现了，他在自己的论文中首次用“i”表示根号下负

-o这里的“i”就被称作是“虚数单位"，i2=-l»

复数(Complexnumber),指二元有序实数对(a,b),记为z=a+bi,这里a和

b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re⑵称为实部，b=Im⑵称为虚

部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等

于零时，常称z为纯虚数。

1830年，高斯详细论述了用直角坐标系复平面上的点来表示复数，使复

数有了立足之地，人们才真正承认了复数。到今天，复数已经成为现代科技中

普遍运用的数学工具之一。