高中数学高效作业16函数的最大小值含解析新人教A版必修第一册

函数的最大(小)值

［A级新教材落实与巩固］

一、选择题

1.函数y=—在区间［2,3］上的最小值为(B)

X-1

A.2B.1C.­D.一J

【解析】作出函数的图象，可知y=」在区间［2,3］上单调递减，所以其最小值为

X—1

f(3)=77=可•

0—12

2.若函数y=ax+l在［1,2］上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是(C)

A.2

B.-2

C.2或一2

D.0

【解析】a>0时，由题意得2a+l—(a+1)=2,BPa=2；水0时,a+1—(2a+1)=2,

所以a=-2.所以a=±2.

［2x+6,l〈xW2,

3.若函数f(x)=「―/则f(x)的最大值、最小值分别为(A)

lx+7,一1WX<1,

A.10,6

B.10,8

C.8,6

D.以上都不对

【解析】因为f(x)在［-1,2］上单调递增，所以最大值为f(2)=10,最小值为f(一

1)=6.

4.函数f(x)=^——1］的最大值是(C)

1-X(1-X)

43

°，3D，7

【解析】因为1—X（l—x）=X°—x+l=（x—9+,2,，所以o<-----'r

\2）441—x（1—x）

W34,所以f（x）的最大值转4.

5.函数y=|x【+|x—l|的最小值为（C）

11

---

2B.2

Ac.1D2

—2x+l,xWO,

【解析】易知y={l,(KxWl,结合图象可知，其最小值为L

2x—1,x>l,

6.已知f(ax+1)=x“一2x(a/0),则f(x)的最小值为(B)

A.0B.-1

C.1D.-2

t——i

【解析】f(ax+1)=x2—2x=(x—I)2—1,令ax+l=t,则x=----，所以f(t)=

a

(t41-1)—(t—1—a)之一1,所以f(x)=*(x—1—a)"—1,当*=4+1时，f(x)

取得最小值一1.

二、填空题

7.函数f(x)=2—3在区间［1,3］上的最大值是

x

3

【解析】因为函数f(x)=2—"在［1,3］上单调递增，所以f(x)的最大值为f(3)=2

3

-3=2T=L

8.设函数y=f(x)的定义域为［―4,6］,且在区间［—4,—2］上单调递减，在区间［一

2,6］上单调递增，且f(-4)〈f(6),则函数f(x)的最小值是f(—2),最大值是f(6)_.

【解析】根据函数y=f(x)在［-4,6］上的图象的变化趋势，可知f(xLn=f(-2).又

由题意知f(-4)<f(6)，故f(x)Bax=f(6).

[x+1,x£]—3,-1]>

9-函数y=-T,xe（-1,4]的最小值为最大值为-J

【解析】由题意可知，当x£［—3,—1］时，ymin=­2,ymax=O；当x£(—1,4］时,

y<0,y„in=-5,无最大值，故所求最小值为一5,最大值为0.

10.已知函数f(x)=-x'+4x+a,xW［0,1］,若f(x)有最小值一2,则f(x)的最大值

为1.

【解析】因为f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=—(x-2)2+4+a,所以函数f(x)图象的

对称轴为直线x=2.又因为函数图象开口向下，所以f(x)在［0,1］上单调递增.又因为f(x).in

=-2,所以f(0)=-2,即a=-2.所以f(x)““x=f(1)=-1+4—2=1.

11.已知f(x)=x2—2x+3在区间［0,t］上有最大值3,最小值2,则t的取值范围是

［1,2］.

【解析】因为f(0)=3,f(l)=2,函数f(x)图象的对称轴为直线x=l,所以f(2)=3,

结合图象，可得lWtW2.

三、解答题

12.求二次函数f(x)=x?—tx—1在xG［t,t+1］上的最小值g(t),tGR.

解：f(x)=^x_l)_卜

当x=2Wt,即t20时，f(x)在［t,t+1］上单调递增，

所以f(X)inin=f(t)——1；

当XM：E(t,t+1),即一2<t<0时，

f(X)min=ll2I=_］-1；

当x=：2t+l,即t<一2时，

f(x)在［t,t+1］上单调递减，

所以f(x)min=f(t+1)=t.

'-1,t20,

t2

综上可得，g(t)-—-1,—2<t<0,

、t,tW—2.

13.某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不

低于进价，单位:元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：

X4550

y2712

(1)确定X与y的一个一次函数关系式y=f(x),并写出函数定义域；

(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销

售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润.

解：(1)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)=ax+b(a¥0),

45a+b=27,a=-3,

由表格得,解得，

50a+b=12,b=162,

所以y=f(x)=­3x+162.

又y20,所以30WxW54,

故所求函数关系式为

y=f(x)=-3x+162,xe[30,54].

⑵由题意得，

P=(x—30)y=(x—30)(162—3x)

=-3X2+252X-4860

=—3(x—42)+432,xe[30,54].

当x=42时，最大的日销售利润P=432,

即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润.

[B级素养养成与评价]

14.函数y=x+，2x—1的最值情况为(A)

A.最小值为g,无最大值

B.最大值为g,无最小值

C.最小值为3，最大值为2

D.最大值为2,无最小值

上单调递增可得，函数最小值为g,无最大值，故选A.

【解析】由函数在

—x+a,xWO,

15.设函数f(x)=,1若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是

x+一，x>0,

X

A)

A.(一8,2]B.(-8,2)

C.(2,+8)D.[2,+8)

【解析】由题意,当x>0时,f(x)的最小值为f(l)=2；当xWO时，f(x)的最小值为

f(0)=a.若f(0)是f(x)的最小值，则aW2.

____「17\

16.函数g(x)=2x—dx+l的值域为—=,+°°J.

【解析】令5+1=t(t2O),则x=t'一1,所以y—2(t2—1)—t—2V—t—2—

117

.因为t》0,所以当t=7时，y取得最小值一不，所以g(x)的值域为

o4o

17.已知函数y=x+(有如下性质：如果常数t>0,那么该函数在(0,亚]上单调递

减，在[亚，+8)上单调递增.

4X2-12X-3

(1)已知f(x)=,xG[0,1],利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和

2x+l

值域;

(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-2a,若对于任意的XiC[0,1],总存在

x2e[0,1],使得目&2)=£&|)成立，求实数a的值.

4x2—12x—34

解：(l)f(x)=—.~~L=2x+l