高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (39)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（39）

一、单项选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1.如图所示，在三棱锥P-48c中，AB1BC,AB=3,BC=2,点尸在

平面ABC内的投影。恰好落在AB上，且4。=1,PD=2,则三棱锥

P-4BC外接球的表面积为（）

A.97r

B.107T

C.127r

D.147r

如图，锐二面角a-的棱上有A,B两点，直线AC,分别

在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.己知AB=4,

AC=BD=6,CD=8,则锐二面角a一1一0的平面角的余弦值是（）

A."B.|C.|D.

3

4

3.已知球的直径SC=6,A、8是该球球面上的两点，且4B=S/=SB=3,则棱锥S—ABC的体

积为（）

A「巫B*C/D*

4422

4.从长方体48。。一4/1的。1的顶点4发出的一束光线,依次经平面8/6（7,。6。1。和。。送14反

射后到达顶点名.记光线与三个平面的交点依次为M,N,Q.若AB=五，AD=3,AA,=3vL

点尸在侧棱CCi上，且不=2抽，则三棱锥P-MNQ的外接球的半径为

A.立B.IC.在D.西

222

5.在长方体4BCD-AiBiG/中，AAt=AD=1,AB=2,P,Q分别为A。，CO的中点，过P,

Q的平面与底面AiBiGA交于R,S两点，R,S分别在邑C「上，=%与棱441交于

点T,则直线TS与侧面久久。4所成角的正切值为

A.1B.2C.V3D.在

，2

二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）

6.空间四边形A8C。中，AB=CD,且异面直线AB与CO所成的角为40。，E、尸分别为BC和AO

的中点，则异面直线EF和AB所成角的大小是.

7.如图所示，正方体4BC。一41勺6。1的棱48=2,点E,F分别为棱BB[,CCi上的动点，记

a=4E+EF+D/.当a取最大值时，三棱锥久-AEF的体积为匕，当a取最小值时，三棱锥

C]_4EF的体积为瞑，则匕=：7=.

8.已知直线/和m是两条不同的直线,它们都在平面a外.给出下列三个论断:①，1m；@m//a；

③，la.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：

9.传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持

为圆柱体，其底面半径原为12c”?且以每秒1c优等速率缩短，初始高度不为零，且以每秒20a”

等速率增长.已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm为止，且知在这段变形过程中，当底面

半径为10cm时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最大时定形成金箍棒，则此时金箍棒的体积

为cm3.

10.有一根高为30cm,底面半径为5c机的圆柱体原木（图1）.某工艺厂欲37MA

将该原木加工成一工艺品，该工艺品由两部分组成，其上部分为一归

个球体，下部分为一个正四棱柱（图2）.问该工艺品体积的最大值是

——--h

3O,

图1图2

11.在棱长为1的正方体4BCD-41B1C15中，P、。分别为棱BQ和BBi上的动点，则周长

的最小值为.

12.正方体力BCD-aBiaDi中，瓦F分别是BBi，CG的中点，则力瓦BF所成的角的余弦值是

13.如图，正方体ABCD-的棱长为1,有下列四个命题:

①与平面BCO^i所成的角为45。；

②三棱锥A-aBD与三棱锥6-4BD的体积比为1：2；

③存在唯一平面a,使得平面a〃平面4BD且a截此正方体所得截面为正六边形；

④过点A作平面a,使得棱AB,AD,A4在平面a上的正投影的长度相等，则这样的平面a有且

只有一个；

上述四个命题中，正确命题的序号为

14.已知等边三角形ABC的三个顶点都在以点。为球心、2为半径的球面上，若三棱锥。-力BC的

高为1,则三棱锥。一ABC的体积为.

15.己知点F是抛物线C：/=丫的焦点，直线y=kx+；与抛物线C交于点A,与x轴交于点B.若

A为8尸的中点，则以线段F8为半径的球的体积为.

16.动点尸从正方体ABCD-A/iGDi的顶点4出发，沿着棱运动到顶点好后再到A,若运动中恰

好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为（用数字作答

）.

17.已知球的表面积为20兀，球面上有A、B、C三点.如果4B=4C=2,BC=2班,则球心到平

面48c的距离为.

三、解答题（本大题共12小题，共144.0分）

18.如图，在四棱锥P—4BC0中，底面是边长为2的正方形，PA=PD=EE为PA中点，点F

在上且EF_L平面PCD,M在。C延长线上，FH//DM,交PM于H,且FH=1.

⑴证明：EF〃平面PBM；

(2)求点M到平而ABP的距离.

19.如图,是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从。。

中剪裁出两块全等的圆形铁皮OP与OQ做圆柱的底面，剪裁出一个矩形A8C。做圆柱的侧面(

接缝忽略不计),A8为圆柱的一条母线，点A,8在。。上，点P,Q在。。的一条直径上,4B〃PQ,

OP，OQ分别与直线8C、AD相切，都与。。内切.

P

(1)求圆形铁皮。P半径的取值范围；

(2)请确定圆形铁皮0P与。Q半径的值，使得油桶的体积最大.(不取近似值)

20.如图，在四面体A8CD中，平面ABC_L平面ACD,BC1CD,AB=BC.

(1)求证：AB1CD.

(2)若BC=CO=2,AC=2V3,求二面角C一AB—0的正弦值.

21.如图，四边形A8CD为矩形，4PDA=ZPDC=90°,PD=DC=2,BC=鱼，E是PC的中点.

(1)证明：PA〃平面EDB；

(2)求异面直线AO与8E所成角的大小.

22.如图所示，四面体A-BCD被一个平面所截，截面是一个矩形.

(1)求证：C。〃平面EFG”；

(2)求异面直线AB、CO所成的角.

23.将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分.

(1)在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；

(2)在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，设该长方体底面一边长为x分米

(如图)，求该长方体的体积V(x)及V(x)的最大值.

24.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC力是正方形.点E是棱PC的中点，平面4BE与棱

交于点F.

(1)求证：AB//EF-,

(2)若PA=4。，且平面PAD1平面ABC。，求证：AF1平面PCO.

25.四棱锥P-ABCD的底面ABC。是直角梯形=^ABC=90°,

PAABCD,PA=AD=2,BC=AB=1,E为P£>的中点.

(1)求证：CE〃平面PAB；

(2)求PA与平面ACE所成角的正弦值.

26.在四棱锥P—ABCD中，侧面△PAD为正三角形，底面4BCO为棱长AB=2,乙4BC=60。的菱

形，平面48co_L平面PAD.M,N分别是AZ)与尸。的中点，E在AP上且荏=工而.

4

(1)证明ME1平面MNC；

(2)若F为PA上一点，当二面角尸—CN—M为直二面角时，求直线B尸与平面ABCD所成角的

正弦值.

27.如图，在底面为菱形的四棱锥P-4BCD中，乙4BC=60°,PA=AC=

PB=PD=V2.点E在尸。上，且PE：ED=2：1.

(I)求证：P41平面A8CD；

(D)求二面角E-AC-D的正弦值；

(IE)在棱尸C上是否存在一点F,使得BF〃平面EAC?若存在，试求

出PF的值：若不存在，请说明理由.

28.如图，在正三棱锥S-4BC中，M,P,。分别为棱SC,SA,A8的中点，R为棱BC上一点，且

BC=4BR.

(1)证明：4M〃平面尸。R；

(2)若4s=AB=4,求三棱锥P-QRB的体积.

29.已知四边形SBCD,点A为线段的中点，且4S4B=乙SDC=90°,AD=2DC=2,

AB=SD=4,现将△S4B沿AB进行翻折，使得Z54D=90°,得到图形如图所示，连接SC,AC.

(1)若点尸在线段SC上，证明：BDLAF-.

(2)若E点为SB的中点，求点B到平面AEC的距离.

【答案与解析】

1.答案：。

解析：

结合已知构造直三棱柱PAB-MNC,则直三棱柱P4B-MNC的外接球即为所求，球心。为直三棱

柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，结合球的性质及勾股定理可求.

本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

解：由题意可知，PDABC,POu平面PAB,

所以平面P4BJ_平面ABC,

又因为AB1BC,平面P4B0平面ABC=AB,

所以BC1平面PAB,

构造直三棱柱248-MNC,如图，

则直三棱柱P4B-MNC的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球,

球心。为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，

因为PDJ.AB,PD=2,AD=1,BD=2,

则PA=y/PD2+AD2=V5.乙PBD=彳，

△/MB中，由正弦定理可得外接圆半径为焉=零，

2

2sin4-

・•・外接球半径为J1+噜2="，

••・三棱锥P-ABC外接球表面积为47rx（手）2=147n

故选：D.

2.答案:B

解析：

本题主要考查二面角和余弦定理，属于中档题.

首先过B点作BE〃4C,且BE=4C可得出4DBE是二面角a—1-夕的平面角，RABiffiDUE,然后

根据题意计算出QE的长，利用余弦定理进行计算即可.

解：过B点作BE〃/IC,S.BE=AC,

vAC1AB,

:.BE1AB,

vBD1ABfBDC\BE=B,

・•・408E是二面角a—I-夕的平面角，且481面DBE,

・•・AB1DE,

••CE1DE,

vAB=4,CD=8,

DE=y/CD2-CE2=V82-42=4%，

，八BE2+BD2-DE236+36-481

JCOS乙DBE=-------------------------=------------------=

2BEBD2X6X63

故选B.

3.答案：D

解析：

本题考查棱锥体积的求法，设球心为例，三角形ABC截面小圆的圆心为01，根据条件作出对应的直

观图，求出棱锥的高和底面边长，计算出锥体的体积即可.

解：设经过A、B和SC垂直的截面小圆的圆心为。1，

因为SC为直径，所以z54c=90。，所以A。=/SC2-S>P=匹,

又SC，OH，所以。|八=丝20=包竺=善，同理QB=或，

SC622

所以三角形AO1B为等腰三角形，设高为力，则仁J（亨）2_铲=竽,其面积

013g...9\/2

=5XF-X3=-p'

^S-AHC=^S-OiAB+=彳（SAQ.ABXO|S+-S&cx

JJ

4.答案：C

解析：

本题考查几何作图以及三棱锥的外接球，属于较难题.解题关键在于运用光线的反射原理，根据对称

性确定光线在三个平面的反射点，然后根据条件可以发现三棱锥N-MPQ的三条侧棱NQ,NM,NP

两两垂直，故可将三棱锥N=MPQ补形成长方体计算外接球的半径.

解：把长方体4BCD-48传1。1左右两侧拼接与长方体4BC。一&B1GD1相同的长方体ADGH-

A1D1G1H1^BEFC-B1E1F1Cl,

则四边形与F&GiG的边长都为3夜的正方形，

点A与E关于平面BBiGC对称，点名与当关于平面4415。对称，分别取E/与FG1的中点/与

则四边形G/i〃i与EF/J的边长都为3的正方形，〃1，平面F&G1G,“山与E/】关于直线〃1对称，

所以根据光线反射原理，点N与。重合，HJi与平面4DD14,Eh与平面BCC$i的交点分别为Q,

M,

且MQ=2,MN=NQ=或，4MNQ=90°.

因为#=2PC.由平面几何知识可得PN=1,连接&G,则点P为尸忑与CCi的交点，在正方形FFiGiG

中，

&G1G1F,又&GJ_EF,所以&G_L平面EFGi"i，即FGL平面MNQ,

PN1平面MNQ,故三棱锥N-MPQ的三条侧棱NQ,NM,NP两两垂直,

将之补形为棱长企,也,1的长方体，可计算其外接球半径R=等亘=亨,

故选C.

5.答案：A

解析：

本题考查线面角的解法，难度适中.首先完成截面尸。?5,利用平行得比例，解得BiS=g

L4

4j=|,可得解.

解:如图，延长PT交54的延长线于点E,连接ES,则E,S,R三点共线,且直线75与侧面所成

的角为NST4.连接&G,因为PQ〃&G,PQ〃RS,所以RS〃&G,所以修=誓■，因为AB=2,

B.S=p所以黑=；，因为AD=1，所以//?=：.因为&R〃/1住，所以氏=震，所以&E=

同理得，A1T=l，所以tan/SMi=等=1

5I/

故选A.

6.答案：70。或20。

解析：

本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

取4c的中点G,连接GE与GF,根据题意求出NFGE的大小，然后根据AB=CD则GEGF，可

求出E尸与AB所成的角.

解：取AC的中点G,

连接GE与GF,则AB与CD(异面直线)所成角为30。,

•.EG//AB,FG//CD,

.•.NEGF=40或NEGF14(),

而ABCD.

则GE—GF，

.-.ZCEF=7()或NCEF=20.

.-.EF与48所成的角是7()或2().

故答案为70或20.

7.答案：|;3

解析：

本题考查了三棱锥的体积和组合体的结构特征，属于中档题.

第一空根据V|V[E『；WBLABC的出答案；第二空：根据等体积法求出/，然后可以求出机

解：（1）显然，当E与当重合，尸与C重合时，a取最大值，此时V|V正方曲一4VB「ABC..

O

(2)

如图，当E,尸为三等分点时，。取最小值，取棱的三等分点G,

易得GF//力E,GFC面。遇E,AEu面

所以GF〃面DiAE,

所以匕=^F-D1AE-^G-DiAE~^E-D^AG

=-x(-x2x-)x2=-,

3、23,9

所以a=3.

V2

故答案为I；3

8.答案：若/_La,11m,则m〃a

解析：解：由/,机是平面a外的两条不同直线，知：

若，_La,/1m,则?n〃a.

故答案为：若［1a,，1?n,则m〃a.

由/,根是平面a外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若，_La,，_Lm,则m//a.

本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查

推理能力与计算能力，属于中档题.

9.答案：1(了万

解析：

设原来定海神针的长度为acm,♦秒时神针体积为V(t),则V(t)=n(12-t)2•(a+20t),0<t<8,

求导，求出a的值，再根据导数和函数的最值的关系即可求出.

本题考查了导数的最值在实际生活中的应用，属于中档题.

解：设原来神针的长度为a。"，f秒时神针体积为V(t),则l/(t)=兀(12-t)2.(a+20t),其中

0<t<8.

所以v[t)=[-2(12-t)(a+2(R)+2<)(12-t)2]^.

因为当底面半径为lOcro时其体积最大，所以10=12-3解得t=2,此时，'(2)=0,

解得Q=60,

所以V(t)=7T(12-t)\(60+23),其中0<t<8,

V(2)=1()47T,

故答案为10%

10.答案：1000+等兀

解析:

本题考查了几何体的体积和导数在解决实际问题中的应用，属于中档题.

设球的半径为r,(0<r<5),v(r)=蜉+(50产(302r)，利用导数求最大值即可.

解：设球的半径为r,(0<r<5),正四棱柱的高为30-2r,

由底面半径为5cm的圆柱可得正四棱柱底面边长为5VL

则该工艺品体积为v(r)=与-+(5\/2)2(3()2r)

M

4仃3

=——l(M)r+1500，(0<r<5),

v(r)=4?rr2一KM),

5

令i/(r)=。得r=万€(0耳

J)时，vz(r)<0；

当rW(0,当rW(行，5)时,v\r)>0,

所以贝r)在(().上单调递减，在(合・5)上单调递增,

v(0)=1500,v(5)=1000+深7T>1500,

所以当r=5时，该工艺品体积的最大值是1000+拳江,

故答案为1000+

11.答案：74+2V2-

解析:

本题考查了棱柱的结构特征，以及对称点的运用.由对称点，求出最短距离，得到三角形周长的最小

值.

解：将三角形D1C/绕轴旋转到平面OiOB,由三角形全等易知，C]P=DP；

同理将平面BCG/绕轴BBi旋转到与对角平面DiDBBi所处同一平面上，则三角形C】PQ的周长的最

小值转化为对角平面矩形的对角线长，

由勾股定理计算得J（或+1）2+/=V4+2V2.

故答案为J4+2a-

12.答案：1

解析：

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，

利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.

取的中点G,由GA〃BF得出异面直线AE与BF所成的角为NG4E,然后在AGAE由余弦定理计算出

COSZ.GAE,可得出结果.

解：取的中点G,由GA〃BF且G4=

可得NG4E为ZE,BF所成的角，

设正方体棱长为1,AGAD中利用勾股定理可得AE=4G=1+三=匹,

\42

又EG=近,

由余弦定理可得2=£+e_2x迪X遗cosNEAC.，

4422

/.cosZEAG।.

5

故答案为a

13.答案：①②③④

解析：

本题考查了空间位置关系的判定、三棱锥体积计算公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与

计算能力，属于中档题.

如图所示，

①公当与平面BCD14所成的角为乙8通潭，求出即可判断出正误；

②利用三棱锥的体积计算公式即可得出A-4BD的体积V,三棱锥6-AiBD的体积=I3-4V,即

可得出体积比；

③存在唯一平面a,使得平面a〃平面&BD且a截此正方体所得截面为正六边形，如图所示EFGHKL,

E,F,G,H,K,£分别为各棱的中点；

④满足条件的平面a有且只有一个，是经过点A且与直线力G垂直的平面.

解：如图所示，

①与平面BCD1&所成的角为NB1&B=45°,正确；

②三棱锥A—4BD的体积=?x；xl2=g三棱锥的体积=13—4X：=；,因此体积比

=1：2,正确;

③存在唯一平面a,使得平面a〃平面且a截此正方体所得截面为正六边形，

如图所示平面EFGHKL,E,F,G,H,K,L分别为各棱的中点，正确；

④过点A作平面a,使得棱AB,AD,在平面a上的正投影的长度相等，

则这样的平面a有且只有一个，是经过点4且与直线AC1垂直的平面，正确.

上述四个命题中，正确命题的序号为①②③④.

故答案为：①②③④.

14.答案:随

4

解析：

本题考查棱锥体积的求法和组合体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是

中档题.

由题意画出图形，求解三角形可得正三棱锥0-ABC的底面边长，再由棱锥体积公式求解.

I2I2

解：设等边△ABC的边长为〃I,则Jm2屋m)x|+#=22,所以m=-3(舍)或m=3,所以

V

-:^O-ABC=|xgx3x3xsin60。)x1=乎

故答案为出

4

15.答案：瞿

解析：

本题考查抛物线的标准方程和性质，以及球的体积公式，属于基础题.

由题意和抛物线方程可得焦点坐标，进而推出直线过焦点，由抛物线的定义和性质易得|FB|,代入

球的体积公式计算可得答案.

解：由抛物线方程可得p=右抛物线的焦点F(0,1),

所以直线y=kx+；过抛物线的交点尸，

因为4为8尸的中点，点8在x轴上，

所以由中点坐标公式可得力=j

O

又因为A在抛物线上，

所以|尸川|FB|=2|FA|=：,

故以线段FB为半径的球的体积为U=?兀x©3=工.

故答案为答

1O

16.答案：18

解析:解:从A点出发有3种方法,(儿B,D),假如选择了4】，则有2种选法到G，再从G出发，若

选择了(B「或5)，则只有一种方法到A,若选择了C,则有2种方法到A,

故“最佳路线”的条数为盘6(1+2)=18种，

故答案为：18

根据分步计数和分类计数原理即可求出答案

本题考查排列、组合的应用，涉及棱柱的结构特征，关键掌握分部和分类计算原理，属于基础题.

17.答案：V3

解析：

本题考查了球的表面积，几何体的外接球，属于中档题.

设球心为。，则M。1面ABC,可得球半径R=V5-R2=6BC)2+d2,d=遮即可.

解：AB2+AC2=BC2,.•.△ABC的夕卜心是5c中点M

设球心为0,则M。，面48C,

・•,球的表面积为20兀，球半径R=V5

R2=(|BC)2+d2,d=

故答案为

18.答案：(1)证明：取尸8的中点G,连结EG,HG,

则EG〃力B,且EG=1.

因为FH〃DM,交PM于H,且FH=1,AB//DM,

所以4B//FH,因止匕EG//FH且EG=FH,

即四边形EFHG为平行四边形，

所以EF//GH.

又因为EF仁平面PBM,GHu平面PBM,

所以E/V/平面PBM.

(2)解：因为EF_L平面尸CD，COu平面PCD,所以EF1CO.

又因为四边形ABC。是边长为2的正方形，所以4D1CC.

又因为直线E尸与4D显然相交，EFu平面PAD,2Du平面PAD,

所以CD_L平面PAD,

而COu平面ABCD,因此平面ABC。1平面PAD.

取4。的中点0,连结P。，因为P4=PD,所以PO1/4D.

又因为平面4BCDn平面P/W=40,POc®PAD,

所以P。J_平面4BCD,ABu平面ABC。，PO1AB,

在等腰△P40中，因为P4=PD=g,AD=2,

所以P。=>JPA2-AO2=V17-1=4.

又因为4B_L4D,POLAB,ADQPO=0,

ADu平面PAD,POu平面PAD,所以AB1平面PAD.

设点M到平面ABP的距离为h,利用体积等量得VMYBP=VP-ABM'

即2x工x2xV17xh=-x-x2x2x4,

3232

解得仁得=萼，

因此点M到平面PAB的距离为亚亘.

17

解析：本题主要考查了空间中的距离，三棱锥的体积，线面平行的判定，线面垂直的判定，属于中

档题.

(1)取PB的中点G,连结EG,HG,利用平面几何知识得EF〃GH,再利用线面平行的判定得结论;

⑵利用线面垂直的性质EF_LCD,可证CDJ■平面以力，再证平面ABCDJ•平面PAD取4。的中点

O,连结P。，可得P。_L平面ABCD,可得4B平面PAQ,设点加到平面A8P的距离为人，利用

^M-ABP=^P-ABM9计算得结论•

19.答案：解：(1)记OP与8C相切与点M,记OP,OQ的半径为r,则48=8-4r,0M=4-2r,

BM=274丫一广，要想围成圆柱，则BCW2BM,即2仃忘4/^不，解得rW71L

即OP半径的取值范围为(0.1冬.

(2)V=OT2(8-4r)=47r(2/—J),记f(r)=2,-r€(Q,,

r(r)=4r-3r2,令0(r)=0,解得以=0"2=/所以当re(0彳)时，尸")>0,f(r)递增，

3-YE=4M=y-？>(),所以在定义域上，体积随着厂的增大而增大，

珀。2

344-TT23(4+7T)3(4+TT2)

所以r,时，体积最大.

4+7T-

解析：本题考查直线与圆的位置关系、导数在解决实际问题中的应用.

(1)记0P与BC相切与点M,记。P,0Q的半径为r,则AB=8-4r,0M=4-2r,

BM=2V4r-r2.要想围成圆柱，则BCW2BM,即2TTT《4，一—产，解得即可求出OP半径的取

值范围；

⑵V=7n-2(8-4r)=47r(2尸—J),记f(r)=2--r».r€((),,对f(r)进行求导得当

\4+7T-

re(0,9时，f(r)递增，即有1,16vX),所以在定义域上，体积随着/•的增大而增大，所以

\3/34.77~

r,1(，，时，体积最大.

4+7T・

20.答案：(1)证明：取4c的中点E,连接BE.

因为AB=BC,所以BE_LAC.

又因为平面ABC_L平面AC。，平面ABCn平面AC。=AC,

所以BEJL平面ACD.

因为CDu平面AC£»,

所以BE1CD.

又因为BC1CD,RBEDBC=B,

所以CD，平面ABC.

因为力Bu平面ABC,

所以AB1CD.

(2)解：以C为坐标原点，DC，就的方向分别为x轴、y轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系

C—xyz.

则C(0,0,0),。(一2,0,0),8(0,-2,0),7l(0,-3,V3).

AB=(0,1,-V3),BD=(-2,2,0).

平面ABC的法向量为而=(-2,0,0).

设为=(x,y,z)为平面ABD的一个法向量，

则|为,通=0,即jy—百z=。，

lnx-BD=0,1—2%+2y=0,

取z=1,得五i=(73,73,1),

cos体，助=W=一苧，sin伍1，西=§

所以二面角C-AB-。的正弦值为空.

7

解析：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，以及用空间向量求二面角，属于中档题.

(1)利用等腰三角形的性质得出BE_LAC,利用面面垂直的性质得出BE1CD,从而利用线面垂直的

判定定理得出CD_L平面ABC,由线面垂直的性质定理得出AB1CD；

(2)以C为坐标原点，泥，团的方向分别为x轴、y轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系C-xyz,

然后写出坐标进行求解即可得.

21.答案：证明：(1)连接AC,设ACCiBD=。，连接EO,

•••四边形ABC。为矩形，；.。为AC的中点.

0E为△PAC的中位线.PA//OE,

而OEU平面EDB,PA仁平面EBD,PA〃平面EDB.

(2)AD//BC,

NCBE就是异面直线AD与BE所成的角或补角.

VZPDA=NPDC=：,即PD，DA.PD_LDC.

DAHDC=D,DA,DCu平面ABC。，

PD±平面ABCD,

BCu平面ABCD,

•••BC1PD.

又四边形ABC。为矩形，

•••BC1DC.

又因为PDnDC=D,PD,DCu平面尸。C,

所以BC_L平面PDC.

又PCU面PDC,

•••BC1PC,

在RtABCE中BC=/，EC=[PC=e,

ZCBE=

I

即异面直线AD与BE所成角大小为*

解析：本题考查线面平行的判定定理和异面直线的夹角，属于中档题.

(1)利用线面平行的判定定理证明PA//平面EDB.

(2)利用AD〃BC,将异面直线A。与BE所成的角，转化为平面角.

22.答案：证明：(I)、•四边形EFGH为平行四边形，

EF//GH,

•••EFC平面BCD,GHu平面BCD,

EF〃平面BCD,

又EFu平面ACD,平面BCDn平面ACC=CD,

EF//CD,

•：EFu平面EFGH,CD，平面EFGH,

C。〃平面EFGH；

(2)由(1)可知EF//CZ),EF//GH,可得CC〃GH,同理可证GF〃AB,

二ZEFG就是异面直线48、CD所成的角

•••四边形EF”G是一个矩形，可得NEFG=90°,

••・异面直线A3、8所成的角为90。.

解析：本题考查线面平行的判定，异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面的

位置关系，属于基础题.

(1)利用线面平行的判定定理，结合矩形性质，证出EF〃平面88,再利用线面平行的性质定理证

出EF//CD,由此即可证出CD〃平面EFGH;

(2)由(1)的结论可证出/EFG就是异面直线AB、CD所成的角，然后再在矩形EFG”中根据

乙EFG=90。即可得解.

23.答案：解：(1)设圆锥的母线长及底面半径分别为/,厂，

X2Tti=2nr,

4

I+r+V2r=V2,

5V2-2

V----------.

解得六B

.20V2-8

所以圆锥的母线长及底面半径分别为变已分米，这二分米.

2323

(2)设被完全覆盖的长方体底面两边长分别为x,y,高为z,

则^^3,解喉I1.

则长方体的体积为

V=xyz=尤(x-(1-x)

=—/+/_",|<x<l.

所以V(x)=-3x2+3x-j.

令V(x)=O,得％或x=［一?(舍去).

列表如下：

1,V3

X职+粉I+T&+》)

%)+0—

U(x)7极大值

所以当％=工+或时，vmax=—.

26max36

所以长方体体积的最大值为里立方分米.

36

解析：本题考查圆锥的结构和表面积公式及利用导数研究函数的最值，属中档题.

(1)设圆锥的母线长及底面半径分别为/,/•,则卜x2ti1=271「解得圆锥的母线长及底面半径即可;

(2)设被完全覆盖的长方体底面两边长分别为x,y,高为z,则解得

列出则长方体的体积为/=xyz=久(x-m(1-X)=—#3+|%2-1<X<1,利用导数研究函

数的最值即可.

24.答案：解：(1)证明：因为底面A3。是正方形，

所以4B〃C。，又因为4B<t平面PC。，COu平面尸CD,

所以4B//平面PCD,

又因为A,B,E,尸四点共面，且平面4BEFCI平面PCD=EF,

所以4B〃EF；

(2)证明：在正方形ABC£>中，CDLAD,

又因为平面PAD1■平面ABCD,

且平面PADn平面力BCD=AD,因为CDu平面ABCD,

所以COJ•平面PA。，又4Fu平面PA。，所以C014F.

由(1)可知4B〃EF,

又因为AB〃CD,所以CD〃EF.

由点E是棱PC中点，所以点尸是棱中点.

在A/MD中，因为PA=AD,所以4F1PD.

又因为PDnCO=O,PD,COu平面尸CD,所以AF_L平面PCD

解析：本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定，考查学生分析解

决问题的能力，属于中档题.

(1)证明：AB〃平面PCD,即可证明4B〃EF；

(2)利用平面R4D1平面ABCD,证明CD1AF,PA=AD,所以AF1PD,即可证明”JL平面PCD.

25.答案：解：（1）证明：取PA的中点R连接FE、FB,如图,

则尸E//40,SLFE=\AD,

•••BC//AD,且BC=^AD,则EF=BC，

•••BCE尸是平行四边形，CE//BF,

而BFu平面PAB,CE,平面PAB,

二CE〃平面PAB；

(2)取AO的中点G,连接EG,

・••E为PC的中点，

EG//AP,

・•・EG与平面ACE所成的角的正弦值即为PA与平面ACE所成角的正弦值，

连接3G交AC于。，连接0E,

•••PA1底面ABCD,ACu底面ABCD,

：.PA1AC,

：.AC1EG,

又：直角梯形A8C。中，/.DAB=/.ABC=90°,BC=AB=1,PA=AD=2,G为A£>的中点,

•••四边形BCGA为正方形，故ACLBG,

•••EGCBG=G,EG、BGu平面OEG,

■.AC_L平面OEG,

"ACu平面ACE,

平面ACE，平面OEG,

过G作GH1OE,交OE于H,

•••平面ACECl平面OEG=OE,GHu平面OEG,

：.GH，平面ACE,

.•.NGEH为EG与平面ACE所成的角，即NGEO,

由EG=；P4=1,GO=-1可得EO=渔，

222

可得sinNGE。=—=—,

EO3

则PA与平面ACE所成角的正弦值为隹.

3

解析：本题考查了线面平行的判定，考查了求线面角的方法，解答的关键是通过线面垂直求得线面

角，属于中档题.

(1)要证CE〃平面PAB,只要证明CE平行于平面PAB内的一•条直线即可，由£为的中点，可联

想找PA的中点F,连接EF、BF后,证明BCEF是平行四边形即可证得答案；

(2)取A。的中点G,连接EG,则EG〃4P,问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦值.连接

8G交AC于O,连接0E,证得平面ACE_L平面OEG,两平面交于直线0E,过G作GH10E,交

0E于H,可得NGEH为EG与平面ACE所成的角，即NGEO,运用解直角三角形，即可得到所求值.

26.答案：(1)证明：因为底面A8CQ为棱长力B=2,且NB=60。的菱形，

所以△40C为正三角形，

又RPAD也为正三角形，且平面4BCC，平面PAD,

M,N分别是AO与的中点，

所以PM_L4D,CMLAD,PM1CM,

以M为原点MC为x轴，MD为y轴，MP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则4(0,T,0),B(VI,-2,0),C(V3,0,0),D(0,l,0),M(0,0,0),N(0祗冷,

P(0,0,V3)，

又荏.而得E(0,Vf),

二碇=(°，4吗，祝=(祗°，°)，而=(%当，

砒•前=0,而•丽=0，

MC1ME,MN1ME,

MCCMN=M,

ME_L平面MNC；

(2)设F(0力，c),又F为PA上一点，则设两=tb?,0WtW1,

(0,b,c—V3)=(0,—t,-V3t)>

F(0,-t,V3-V3t),CF=(-V3,-t,V3-V3t)，CN=(-V3,1,y)>

设平面CNF的法向量元=(x,y,z),

1ml伍•CN--V3x+、+fz=0

n-CF=-V3x-ty+(V3-V3t)z=0

取x=l,则卜8+1+枭=。①

-V3-ty+(V3-V3t)z=0②

①X2t+②可得z=2t+l,进而y=W-2遮t,

得有=(l,V3-2V3t,2t+l),

vME1平面CMN,

平面CMV的法向量为诟=(0,一：,?)，

•••二面角F-CN-M为直二面角，

n•=1x0+(V3-2V3)X(--)+(2t+1)X—=0,

解得t=：,故F(0,-斗)，

丽=(一遍平)，

又由MP_L平面A8C£>得平面ABCD的法向量和=(0,0,73).

故直线B尸与平面ABCD所成角为a,

则有sina=|cos<MP,^F>

解析：本题考查线面垂直的判定及线面夹角与二面角，考查空间思维能力及计算求解能力，属于中

档题目.

(1)根据题意建立空间直角坐标系，由荏=：而得出E点坐标，得出而•祝=0,而•丽=0，即

可得到MEJ_平面MNC；

（2）设出尸（0力，c）,设方=t瓦?,04t〈1得出F（0,-t,我一遮t）,而=百一百t）及

CN=（一6彳,与），求出平面CNF得法向量，再由（1）得出平面CMN的法向量，由二面角F-CN-M

为直二面角得出关系式求出/,得出F点坐标，进而求出直线8尸与平面A8CO所成角的正弦值.

27.答案：解：（I）证明：•••底面488为菱形，""=60。

•••AB=AD=AC=1,

•.•在中，PA=AB=1,PB=五,

PA2+AB2=PB2,

：.PA1AB

同理，在△PAD中，可证P力_L4D,

"ABdAD=A,ABu平面ABC。，ADABCD,

PA1平面ABCD.

（H）以A为原点，过A点垂直于平面PAQ的直线为x轴,

直线A。、AP分别为y、z轴建立空间直角坐标系，如图,

则4(0,0,0),8(，,—0),0),

0(0,1,0),P(0,0,1),E(o,沾71，

则前=（苧g,0）,荏=（0,|》

设平面EAC的法向量为五=（x,y,z）,

佟%+1=0

＜：5：o得[|y+]=o

令x=1,则y=-V3,z=