人教版九年级上册数学《正多边形和圆》教学案

24.3正多边形和圆

卷菊醐

1.了解正多边形和圆的有关概念.

2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.

3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.

一、情境导入

如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多

少？你能想办法知道吗？

二'合作探究

探究点一：正多边形的有关概念和性质

［类型一］求正多边形的中心角

@D已知一个正多边形的每个内角均为108°,则它的中心角为—

度.

解析：每个内角为108°,则每个外南为72°,根据多边形的外角和等于

360°,二正多边形的边数为5,则其中心为360°4-5=72°.

［类型二］正多边形的有关计算

厕❷已知正六边形/优侬'的半径是R,求正六边形的边长a和面积S

解：作半径物、OB,过。作的1/8,则N4明=岑一=30°,

.,.a=2/〃=/?.由勾股定理可得：/=〃一七而:...7=当7?,•a•rX6=

方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系及有关

计算.

［类型三］圆的内接正多边形的探究题

画❸如图所示，图①，②，③，…，®,M,N分别是。。的内接正三角形

ABC,正方形4?5，正五边形力BCDE,…,正〃边形的边48,a'上的点，且

=CN,连接〃物ON.

(1)求图①中乙姒¥的度数；

(2)图②中AMON的度数是,图③中4M0N的度数是；

⑶试探究/反邠的度数与正〃边形边数〃的关系.(直接写出答案)

解：图①中，连接班，况:•.•正三角形力固内接于。0,...N如"=NOG-

BO。,/BOC=120：又/OCN=30°,ZBOC=12Q°,而BM=CN,OB=OC,：.

△0B340CN,：.ABOM=ACON,：.AMON=ABOC=120°；

(2)90°72°；

(3)ZMON=-----.

n

探究点二：作圆的内接正多边形

画。如图，已知半径为7?的。0,用多种工具、多种方法作出圆内接正三角

解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六

等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分.

解：方法一：（1）用量角器画圆心角乙4加=120°,NBOC=120°；

（2）连接BC,CA,则△/回为圆内接正三角形.

方法二：（1）用量角器画圆心角N8OC=120。；

（2）在。。上用圆规截取忿=忿；

（3）连接儿;，BC,AB,则△48C为圆内接正三角形.

方法三：（1）作直径4。；

（2）以〃为圆心，以见长为半径画弧，交。。于6,3,

（3）连接BC,CA,则△46。为圆内接正三角形.

方法四：（1）作直径4区

（2）分别以4£为圆心，刃长为半径画弧与。。分别交于点。，F,B,3,

（3）连接仍BC,。（或连接牙；ED,明，则△力6。（或△用功为圆内接正三

角形.

（方法-（方法二）（方法三）（方法四）

方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量

法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些

特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形.

三'板书设计

作圆的内接正多痂正多边形的有关标

敷售底题

教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更

多关于正多边形的问题.

24.3正多边形和圆

姓名：班级：组别：评定等级

【自主学习】

（一）复习巩固

1.等边三角形的边、角各有什么性质？

2.正方形的边、角各有什么性质？

（二）新知导学

1.各边,各角的多边形是正多边形.

2.正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做,外接圆的半径叫

做，内切圆的半径做.

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都.正多边形每一边所对的外接圆的

圆心角叫做.正n边形的每个中心角都等于.

3.正多边形都是对称图形，正n边形有条对称轴；正数

边形是中心对称图形，对称中心就是正多边形的，正数边形既是

中心对称图形，又是轴对称图形.

【合作探究】

1.问题：用直尺和圆规作出正方形，正六边形.

【自我检测】

1.正方形ABCD的外接圆圆心。叫做正方形ABCD的.

2.正方形ABCD的内切圆。0的半径0E叫做正方形ABCD的.

3.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是度，半径是

边心距是，它的每一个内角是.

4.正n边形的一个外角度数与它的角的度数相等.

5.已知三角形的两边长分别是方程，一3%+2=0的两根，第三边的长是方程

2X2-5X+3=0的根