高中数学《对数函数的定义及简单性质》导学案

2.2.2对数函数及其性质

第1课时对数函数的定义及简单性质

卜课前自主预习

1.对数函数的概念

UI函数y=logoX(a>0,且aWl)叫做对数函数，其中％是自变

量，函数的定义域是(0,+°°).

2.对数函数的图象与性质

定义3，=loga7(a＞0,且aWl)

函数⑼3=log/与回3=logLi的图象关于1轴

对称性---------...........—

对称

在彳=1右侧，血a值越在1=1右侧，眼。值

趋势-------------

大图象越靠近彳轴越小图象越靠近?轴

3]自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(l)y=10g4与y=logC都不是对数函数.()

(2)对数函数的图象一定在y轴右侧.()

⑶当0＜a＜l时，logd在定义域上单调递增.()

答案(1)7(2)V(3)X

2.做一做

(1)若函数＞=(。2—4a+4)logd是对数函数，则a=.

(2)(教材改编P73T2)对数函数y=log/的定义域为.

(3)(教材改编P72T8)若对数函数产10g(.24)X，X£(0,+8)是增函

数，则a的取值范围为.

答案(1)3(2)(0,+8)(3)(-oo,0)

卜课堂互动探究

『释疑解难』

(1)讨论对数函数的性质时，若底数。的大小不确定，必须分。＞1

和0＜。＜1两种情况进行讨论.

(2)根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点—1]

(1,0),且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数

函数y=\ogax的草图.

(3)在对数函数)，=log“x(Q>0,且aWl)中，①若0<。<1且04<1,

或a>l且％>1,则有y>0;②若0<a<l且%>1,或a>l且0a<1,则

有y<0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负.有了这个规

律，我们判断对数值的正负就很简单了.

(4)要作出由对数函数组成的复合函数的图象，应注意变换作图

法的灵活运用，即先作出基本函数(对数函数)图象，再由平移、对称、

旋转、伸缩等变换作出所求函数图象即可.

(5)两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线％=1右

因此，若设y=log“％,y2=log/优，其中或0<<7<1,0</?<1),

当%>1时，“底大图低"，即若Q〉。，则V勺2；当0<X<l时，“底大

图高“，即若。>匕，则yi>y2.

探究1对数函数的概念及对数函数的定义域

例1指出下列函数哪些是对数函数？

(l)y=31og2%;(2)y=log。；

(3)y=logx3；(4)y=log“+l.

解(l)logM的系数是3,不是1,不是对数函数.

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数.

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数.

(4)对数式logu后又加1,不是对数函数.

拓展提升

判断函数是对数函数的条件

判断一个函数是对数函数必须是形如y=logd(a>0,且aWl)的

形式，即必须满足以下条件：

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数.

(3)对数的真数仅有自变量%.

【跟踪训练1】若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数

的解析式为()

A.y=\og2X

B.y=21ogd

C.y=logM或y=21og4X

D.不确定

答案A

解析设对数函数的解析式为y=log/(a>0,且。。1),由题意可

知log(z4=:2,.•tz^2.

.•.该对数函数的解析式为y=logx

例2求下列函数的定义域：

(i)y=dig(2一%)；

(2)'-log3(3%—2)；

(3)y=log(2x-i)(—4x+8).

解⑴由题意得；Ig;(21%)20,即[。2~x^1,

[2—x>0,[2—x>0.

即y=[lg(2—x)的定义域为1}.

⑵由丁-2）孙3%—24,

得

〔3%—2>0,3x>2,

2

解得介孕且xWl.

1[2

-'-y=\—不—有的定义域为《％%>々，且

•log3（3%—2）I3

X2

—4尤+8>0,1

-

（3）由题意得<2x—1>0,解得《X2

12%—1到，

.“=log（2x-i）（—4x+8）的定义域为]<r<2,且xWl

拓展提升

求函数的定义域应考虑的几种情况

求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值

范围.经常考虑的几种情况：①六中八x）WO;②之砺（〃£N*）中

J\x）

危）20；③log,於）（。>0,且aWl）中."）〉0；④10扇避3〉0）中危）>0且

八%）》1；⑤四%）]°中;（x）wo；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需

正确理解函数的符号及其定义域的含义.

【跟踪训练2]求下列函数的定义域:

⑴y=kg（1-1）；⑵尸加（%—3）；

（3）y=log2（16一甲）；（4）j=log（x-i）（3-x）.

x—1>0,

解（1）要使函数式有意义，需（/一八

[10g2（X—1）^0,

解得%>1,且xW2.

，函数产]og2(1_])的定义域是{小>1,且lW2}.

%—3〉U,

(2)要使函数式有意义，需।,。、〜八

Ug(x—3)^0,

x—3>0

即Q>；解得％14.

、X—3与1,

二.所求函数的定义域是{X以24}.

(3)要使函数式有意义，需16—4、〉0,解得x<2.

二.所求函数的定义域是{X|x<2}.

’3—%>0,

(4)要使函数式有意义，需在T>0,

、%—1W1,

解得14<3,且％02.

二.所求函数的定义域是且％W2}.

探究2对数函数的图象与性质

例3如图所示的曲线是对数函数y=\ogclx,y=logmy=log<%,

y=log〃x的图象，贝ija,b,c,d,1,0的大小关系为.

解析由题图可知函数y=log“x,y=log&x的底数Q>1,b>l,函

数y=log,x,y=logd的底数0<c<l,0<tZ<l.

过点(0,1)作平行于x轴的直线/(图略)，则直线1与四条曲线交点

的横坐标从左向右依次为c,d,a,h,显然h>a>l>6/>c>0.

答案b>a>\>d>c>0

拓展提升

根据对数函数的图象判断底数大小的方法

作直线y=l与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依

据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大,

可比较底数的大小.

【跟踪训练3】已知函数与y=log“(一%)的图象

可能是()

答案D

解析所以单调递减，y=log“x单调递减，而y

=loga(—%)与y=logax关于y轴对称，所以选D.

例4若函数＞=108”(%+份+4”〉0,且。71)的图象恒过定点(3,2),

则实数4c的值分别为.

解析函数的图象恒过定点(3,2),.•.将(3,2)代入y=log，G+b)

+c,得2=loga(3+b)+c.又当。＞0,且存1时,logj=0恒成立，

=2,由log“(3+3=0,得3+Z?=l,.•北=一2.故填一2,2.

答案一2,2

拓展提升

画对数函数图象时要注意的问题

(1)明确对数函数图象的分布区域.对数函数的图象在第一、四象

限.当％趋近于。时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y

轴相交.

(2)建立分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数

的底数。的取值范围是。>1,还是

(3)牢记特殊点.对数函数y=log«x(a>0,且aWl)的图象经过点：

(1,0),(al)和&-1)

【跟踪训练4]函数y=loga(x+l)—2(“>0,且qWl)的图象恒

过点•

答案(0,-2)

解析因为函数y=logd(”>0,且的图象恒过点(1,0),则令

x+l=l,得X=0,此时y=loga(%+l)—2=—2,所以函数y=loga(x

+1)—23>0,且“W1)的图象恒过点(0,-2).

探究3有关对数函数的值域问题

例5求下列函数的值域：

(1)^=10§2(^+4)；(2)y=logj_(3+2%—x2).

2

解(l)y=log2(%2+4)的定义域是R.

因为f+424,所以log?(A：2+4)logz4=2.

所以y=log2a2+4)的值域为[2,+co).

(2)设“=3+2%—/=一(%—I>+4W4.

因为〃>0,所以0<〃W4.

又y=logj_u在(0,4J上为减函数，

2

所以logx〃21ogj_4=—2,

22

所以y=logj_(3+2x—%?)的值域为[―2,+oo).

2

拓展提升

(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键

是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围.

(2)对于形如y=log/>)(a>0,且的复合函数，其值域的求

解步骤如下：

①分解成y=loga〃，两个函数；

②求加)的定义域；

③求〃的取值范围；

④利用y=loga〃的单调性求解.

【跟踪训练5]函数y=lg(l+32—%2)的值域为()

A.(一8,1)B.(0,1]

C.[0,+°°)D.(1,+8)

答案B

解析V2-x2^2,.\0<32-x2^9,1<1+32-%2^10,/.0<lg

(l+32—x2)Wl,，y=lg(l+32-%2)的值域为。1].

(-----------------------1网套提加---------------------------

1.对数函数定义的理解

(1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如>=

2k)gK,y=log"等都不是对数函数，只有y=logd(Q〉0,且QNI)

才是.

(2)由于指数函数y=a'(a>0,且的定义域是R,值域为

(0,+8),再根据对数式与指数式的互化过程知道对数函数y=

logaX(«>0,且aWl)的定义域为(0,+8),值域为(一8,4-00).

2.函数y=logd(q>0,且aWl)的底数变化对图象位置的影响

(1)观察图象，注意变化规律

①上下比较：在直线％=1的右侧，。>1时，。越大，图象向右

越靠近％轴，0<〃<1时，。越小，图象向右越靠近光轴.

②左右比较：比较图象与y=l的交点，交点的横坐标越大，对

应的对数函数的底数越大.

(2)对于对数函数图象性质的助记口诀

对数增减有思路，函数图象看底数.底数只能大于0,等于1

来也不行.底数若是大于1,图象逐渐往上升；底数0到1之间，

图象逐渐往下降.无论函数增和减，图象都过(1,0)点.

卜随堂达村;自测

1.下列函数是对数函数的是()

A.y=loga(2%)B.y=log22*

C.y=l0gM+1D.y=lgx

答案D

解析选项A,B,C中的函数都不具有"y=log“x(a>0,且aWl)”

的形式，只有D选项符合.

2.函数y=k)gd的图象如图所示，则实数。的可能取值是()

11

C.e~D.J2

答案A

解析...函数y=log。％的图象逐渐上升，

，函数y=log«x为单调增函数，，a>l,故选A.

3.函数«%)=E+lg(l+x)的定义域是()

A.(—8,—1)

B.(1,+8)

C.(-1,1)U(1,+°o)

D.(—8,+OO)

答案C

1+x>0,

解析由题意知♦jc解得%>—1,且xWl.

」一

4.函数1%)=-5108〃(%—1)+2(4>0,且。/1)的图象恒过定点P,

则点P的坐标是.

答案(2,2)

解析令x—1=1,得％=2,即x2)=2,故尸(2,2).

5.若函数段)为定义在R上的奇函数，且尤£(0,+8)时，於)

=lgU+l),求1%)的表达式，并画出大致图象.

解•.•/(%)为R上的奇函数，.；/(0)=0.又当x£(—8,0)时，一

xG(0,+0°),

.,,X—X)=lg(1—x).

又大一%)=—/(%),

的解析式为

pg(x+1),%〉0,

危)=<0,%=0,

、一lg(l—%),x<0,

八X)的大致图象如图所示.

I课后课时精匆]

A级：基础巩固练

一、选择题

1.若人》=错误!，则/(X)的定义域为()

A(V，0)+8

C.(一/o]u(o,+8)D.(一；,2)

答案C

解析由题可得错误!解得%>一错误!且xWO,故选C.

3PW0),「"Yl

2.已知函数yu)=I/、。、那么j/g的值为()

[logzx(jc>0),LW」

A.27B.^yC.—27D.—

答案B

解析d3=l°g2〃=log22-3=_3,=八_3)=3-3=a.

3.函数_A%)=log2(l—%)的图象为()

答案A

解析该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0),故A正

确.

4.函数旷=能与y=—logox(a>0,且在同一坐标系中的图

象可能是()

匚【JhX

ABCD

答案A

og1％,贝U当a>\时，0<^<1；

解析函数y=ax与y=—log“%=l

当0<Q<1时，:>1,所以图象A正确.

5.函数旷=呼的图象大致是()

C

答案D

解析由函数丫=呼的定义域是支|%70},易得函数为奇函数,

所以函数图象关于原点对称，可排除A,B,当x=l时，y=lg1=0,

故图象与％轴相交，且其中一个交点为(1,0),只有D中图象符合.

二、填空题

6.若函数y=/(x)的定义域是[1,3],则y=/(logix)的定义域是

2

11

答案_8,2.

解析因为函数y=/(%)的定义域是[1,3],则对于函数y=Xlog|

2

x),有lWlogj_%W3,所以;

7.函数兀t)=logj_(―/—2%+3)的值域是

2

答案［—2,+°°)

解析设"=—好一2%+3,则—(x+1>+4W4,

w>0,0<M^4.

又y=k)gj_u在(0,4］上是减函数，

2

「.log】w^logx4=-2,即«x)2—2,

22

二.函数/(x)=k)gj