高中数学-正弦定理和余弦定理的应用举例教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

一、教材分析

本节课选自高中数学人教B版必修五第一章第二节第一课时。

本章的主要内容是正弦定理、余弦定理及其应用，全章分为两大节，

第一大节是正弦定理和余弦定理；这一大节，是在学生学习完正弦定

理和余弦定理之后，对前面所学知识的运用和拓展，通过运用正弦定

理、余弦定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题，一方面使学

生更加熟练的运用正弦定理和余弦定理解决有关斜三角形的问题，另

一方面使学生进一步体会数学在实际问题中的应用，激发学生学习数

学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。

二、教学目标

1.知识与技能

初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的

实际问题。

2.过程与方法

通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平

面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题

转化为解斜三角形问题的方法，进一步提高应用正弦定理、余弦定理

解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感、态度与价值观

通过解决“测量”问题，体会如何将具体的实际问题转化为抽象

的数学问题。培养学生的数学应用意识和探索问题、解决问题的能力，

学习用数学的思维方式去解决问题，认识世界。

三、学情分析

在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系，全等三角

形等、相似等与三角形有关的基础知识，在必修4中学生也学习了三

角函数、向量三角恒等变换等内容，再加上学生刚刚学习了正弦定理

和余弦定理，这些都为本节课学生学习正余弦定理的应用打下了坚实

的基础，学生对解三角形也并不陌生；但学生对三角形知识的应用，

还仅仅局限在纸面知识上，并没有实际应用到生产和生活中，所以,

把实际问题抽象出解斜三角形的问题，对于学生来说可能是第一次接

触，需要将实际问题的解决方案与简单的解三角形区分好。这就要求

教师加以引导，使学生成功的将实际问题抽象成数学问题，培养学生

分析问题，解决问题的能力。

我所教的班级是重点文科班，基础较好，情感丰富，喜欢大自然

的美和古建筑深厚的文化底蕴，这很符合本节课的研究能容，既有山

川河流，又有故宫角楼，从而，可以很好的激发学生的学习兴趣。

四、教学方法

本节课采用问题探究式教学模式，循序渐进，用问题驱动课堂教

学，在老师的引导下，让学生探究、合作、交流、展示，尽可能多的

质疑、探究、讨论，多参与课堂知识的生成和发现的过程，形成思维。

五、重难点分析

本节课的重点是：如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜

三角形的方法予以解决;

本节课的难点是：分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题

的思路。

六、教学准备

制作多媒体课件；

七、教学过程分析

(1)复习引入，做好铺垫

复习提问正弦定理和余弦定理的内容，以及正弦定理和余弦定理

分别适合解什么样的三角形，分别找学生来回答。特别强调一下已知

两边及一边对角的情况，根据学生的回答及时进行补充，为下面运用

正余弦定理解决实际问题做好铺垫。

(2)运用工具，解决问题

问题一：如何测量底部不可到达的塔楼的高度？

在R/A4BC中，要想知道塔楼AB的高度，根据初中所学的知识，

只要知道BC或AC的长度就可以了(由于BC是不可同时到达的两个

点，所以，没办法直接测量)。所以，就变成如何测量BC和AC长度

的问题了。

问题设计意图:将这一个问题与初中所学的解直角三角形相结合,

立足学生的认知层面,可以让学生很好的融入进本节课的学习中,也

为本节课的学习定了两个大方向,一个是如何求BC的长,另一个是

如何求AC的长。

问题二：如何求BC的长？(一个不可到达点的距离问题)

由于BC间不可以直接测量距离，那么我们要运用所学的知识解决

这一个问题，请同学们分小组进行讨论，最后一起来交流结果。

问题设计意图:将高度测量问题转化为测量到一个不可到达点的

距离测量问题，通过小组讨论,引导学生朝着解斜三角形的方向思考。

最终,通过解斜三角形,将这一问题解决。

学生有可能出现很多意想不到的结论,需要耐心加以引导和发散,

最终引导学生学会通过解斜三角形来解决这一问题。

(3)抽象模型，代数演练

分析：如图，通过测量，可以得到如图所示的两个角的a,

的大小，还可测得CD的长。

在ABC。中，由正弦定理

BCCD

sinPsin(〃一a一尸)

CDsin/?

DJ—

sinQr.a

AB=BCtan/

A

解：如图，设AB表示角楼的高度，通过测量，可以得到如图所示的

生工兀

三个角的大小分别为4?,还可测得CD的长为60m。

由教师进行板演，规范解答步骤。

问题二：如何测量AB的长？

分析：如图，通过测量，可以得到如图所示的两个角的a4

的大小，还可测得CD的长。

AB=ACsin/3

在AACO中，由正弦定理

ACCD

sinasin（4一a）

“CDsma

AC=-------------

sin（方一①

解：如图，通过测量，可以得到如图所示的两个角的a夕的大

冗7V

小分别为7不，还可测得CD的长为20m。

A

由学生进行计算并板演,教师进行指导、纠正和规范,多多进行鼓励。

(4)课堂小结

由学生讨论并思考这节课学到了哪些知识点？都有哪些收获？

这节课我们解决了哪几个问题？

(5)学以致用，解决问题

课外探究：怎样测量两个不可到达点间的距离？

(6)作业设计

必做题：课本14页A组第1、2、3题，B组第1题

选做题：课后评测训练

设计意图:课后查阅资料,了解正余弦定理的其他应用,让课内

知识延伸到课外,通过这样的方式促进学生可以获取更多的与本节课

相关的知识,拓宽知识面。预留一个探究作业,对于学生下节课的学

习起到一个承上启下的过渡作用。

点评

本节课以实际问题作为驱动，创设了问题情境，明确了学习目标。

建立在学生已有的认知基础之上，将高度问题最终转化为距离问题,

将整节课的内容归结到如何测量和计算两点间距离的问题，加大了知

识之间的联系，让学生更容易掌握和理解，使学生可以更好的解决实

际问题。

课堂教学中，使用多媒体课件和动态演示，以及通过复杂的计算，

使学生手脑并用，两者结合的恰到好处。

从整体上看，本节课以问题作为知识产生之源，在猜想证明中分

析问题解决问题，在变式训练中巩固知识。从数学知识掌握的连续性

上看，老师很善于做数学的“减法”，用已有的知识解决新的知识。

提出问题是一门学科的真正进步。从育人的角度而言，本节课在问题

作为引领的前提下，让学生充分参与课堂教学，经历探索、发现、解

决问题的过程，从而体会数学的价值，享受数学学习的乐趣。可以看

出本节课设计的理念是新的，符合新课程标准的理念倡导，是一节优

秀的示范课。

学情分析

在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系，全等三角

形等、相似等与三角形有关的基础知识，在必修4中学生也学习了三

角函数、向量三角恒等变换等内容，再加上学生刚刚学习了正弦定理

和余弦定理，这些都为本节课学生学习正余弦定理的应用打下了坚实

的基础，学生对解三角形也并不陌生；但学生对三角形知识的应用，

还仅仅局限在纸面知识上，并没有实际应用到生产和生活中，所以,

把实际问题抽象出解斜三角形的问题，对于学生来说可能是第一次接

触，需要将实际问题的解决方案与简单的解三角形区分好。这就要求

教师加以引导，使学生成功的将实际问题抽象成数学问题，培养学生

分析问题，解决问题的能力。

我所教的班级是重点文科班，基础较好，情感丰富，喜欢大自然

的美和古建筑深厚的文化底蕴，这很符合本节课的研究能容，既有山

川河流，又有故宫角楼，从而，可以很好的激发学生的学习兴趣。

效果分析

总体感觉本节课安排的内容完整，较好的完成了教学任务，时

间安排合理，学生小组讨论较积极，回答问题踊跃。本人能做到教态

自然，语速适中。通过具体情境，让学生在具体情境、小组讨论中获

得了新的知识，使学生树立了自信心，能够运用课堂所学知识解决生

活中遇到的实际问题，增强了对数学的学习兴趣。

不足:

一是觉得自己在调动学生积极性这一方面，没做到最好，在以后

的课堂上进一步提高。

二是在课堂的时间把握上没恰到好处，在课堂最后，设计的是由

学生来进行课堂回顾和方法总结，同时分享一下本节课的收获，但由

于时间关系没有实现，以后的教学中仍然需要改进和提高。

教材分析

本节课选自高中数学人教B版必修五第一章第二节第一

课时。本章的主要内容是正弦定理、余弦定理及其应用，全

章分为两大节，第一大节是正弦定理和余弦定理；这一大节,

是在学生学习完正弦定理和余弦定理之后，对前面所学知识

的运用和拓展，通过运用正弦定理、余弦定理解决测量、工

业、几何等方面的实际问题，一方面使学生更加熟练的运用

正弦定理和余弦定理解决有关斜三角形的问题，另一方面使

学生进一步体会数学在实际问题中的应用，激发学生学习数

学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决

的能力。

评测练习

（限时30分钟）

一、选择题

1.如图，D,C,4三点在地面同一直线上，DC=a,从C,〃两点测

得A点仰角分别是£,。（aV£）,则4点离地面的高度AB等于

（）.

asinasinB

sin£-a

asinacosBacosasinB

C.

sin£-acosa-B

2.

如图，为了测量障碍物两侧A,夕间的距离,给定下列四组数据.为

了简便，测量时应当用数据（）

A.a,a,bB.a,j3,y

C.a,b,YD.a,b,B

二、填空题

3.已知两座灯塔A和夕与海洋观察站。的距离都等于akm,灯塔A

在观察站。的北偏东20°,灯塔8在观察站。的南偏东40°,则灯

塔A与灯塔B的距离为.

।A

1\

40°

4.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看

台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的

仰角分别为60。和30。，第一排和最后一排的距离为5m米（如图所

示），旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升

旗手应以米/秒的速度匀速升旗.

C

三、解答题

5.如图，A,B,C,〃都在同一个与水平面垂直的平面内，B,〃为两

岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得夕点和〃点的仰角分

别为75°,30°,于水面。处测得夕点和〃点的仰角均为60°,AC

=0.1km.试探究图中区〃间距离与另外哪两点间距离相等，然后求

B,〃的距离.

答案与解析

1.A

DCAC

解析：在中，由正弦定理得一一（A〃一一’：，所以然

sinp—a）sina

_Z?6sinaasina

sin(£—a)sin(尸一a)'

,,八asinasinB

在RtZA^4%'中，AB=ACsin£=一一-----故选A.

sin(£—a)

2.C

解析：测得a,b,丫后，由余弦定理即可计算A、B间的距离.

3.km

解析：由已知，AC=BC=a,

ZACB=180°-(20°+40°)=120°,

：.A^=a+a-2,acos120°=3才.

.•.48=q5a(km),即4与夕的距离为《akm.

4.0.3

解析：在△阳9中，ZBDC=45°,/CBD=3G°,5=5m米，

,./口CDsixi450厂八1八

由正弦定理，得比三.工八。一=10美(米)；

sin30v

在中，AB=BCsin60°=1琢*^=15(米)，

AR15

所以