中考初中数学复习考点精讲第40讲解直角三角形

第40讲解直角三角形

【考题导向】

本部分主要把握用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的

实际问题.正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，

工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键.

注意：（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角.

（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形.（3）在一些

问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，•从而转化为解直角三角形

的问题

【考点精练】

考点1：解直角三角形

【典例】（2018•无锡）已知AABC中，AB=10,AC=2J%/B=30°,则AABC的面积等于.

【同步练】（2018•香坊区）如图，在AABC中，AB=AC,tanZACB=2,D在aABC内部，且

AD=CD,ZADC=90°,连接BD,若4BCD的面积为10,则AD的长为.

考点2：解直角三角形——仰角、俯角问题

【典例】（2018•遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊

臂AB与水平线的夹角为64°,吊臂底部A距地面1.5m（计算结果精确到0.1m,参考数

据sin64°弋0.90,cos64°七0.44,tan64°弋2.05）

（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m.

（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊

钩的长度与货物的高度忽略不计）

：D

【同步练】(2018•资阳)如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的

风筝线(整个过程中风筝线近似地看作直线)与水平线构成30°角，线段AAi表示小红身高

1.5米.

(1)当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；

(2)当她从点A跑动9我米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达

点E处，风筝的水平移动距离CF=10遮米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原

来的高度GD.

考点3：解直角三角形——方向角问题

【典例】（2018广西桂林）（8.00分）如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在

B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45。方向上,

且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A,恰好位于B

处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问

渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：加-1.41,8

1.73,加心2.45结果精确到0.1小时）

北|

西___________________东

南

【同步练】（2018湖南湘西州）（8.00分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路1经过A、

B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60°的方

向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km.

（1）求景点B与C的距离；

（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路1修一条距离最短的公

路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长.（结果保留根号）

考点4：解直角三角形——坡比问题

【典例】（2018•徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和

坝底宽（精确到0.1m）参考数据：72^1.414,、行Q1.732

【同步练】（2018古呼和浩特）（7.00分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，

且这段斜坡的坡度i=l：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）.已

知在地面B处测得山顶A的仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A

到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

B

考点5：解直角三角形一其它实际问题

【典例】（2018•绍兴）如图1,窗框和窗扇用“滑块钱链”连接，图3是图2中“滑块钱

链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块,

滑块可以左右滑动，支点B,C,D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.己知AC=DE=20cm,

AE=CD=10cm,BD=40cm.

（1）窗扇完全打开，张角NCAB=85°,求此时窗扇与窗框的夹角/DFB的度数；

（2）窗扇部分打开，张角NCAB=60°,求此时点A,B之间的距离（精确到0.1cm）.

（参考数据：73^1.732,76^2.449）

【同步练】（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC,ZA=30°,ZC=45°,AC=2（yfj

+1）＞n.请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.Im的圆形门？

B

【真题演练】

1.（2018•绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°

方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛

B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：«七1.732,V2

«=1.414）

A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里

2.（2018•长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一

水平面上）.为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米

到达C处，在C处观察B地的俯角为a，则A、B两地之间的距离为（）

A.800sina米B.800tana米C.邈米D.颜，米

sinQtana

3.（2018•重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂

直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角NAED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离

DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=l：0.75,坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距

离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°^0.85,cos58°心0.53,

tan58°21.6）

A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米

4.（2018•重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先

沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度（或坡比）为i=l：0.75、坡长为10

米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A,B,C,D,E均在同

一平面内）.在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为（参考数据：

sin24°*0.41,cos24°々0.91,tan24°=0.45)()

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

5.（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形

的顶点上，AB、CD相交于点0,则tan/A0D=.

6.(2018•齐齐哈尔)四边形ABCD中，BD是对角线，ZABC=90°,tanZABD=—,AB=20,

4

BC=10,AD=13,则线段CD=.

7.（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员

在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点

11,A,B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）.

8.（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行

改建.如图，A、B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，

现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米，NA=45°,ZB=30°.

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参

考数据：我七141,6-1.73）

9.（2018•随州）随州市新源水一桥（如图1）设计灵感来源于市花--兰花，采用蝴蝶兰

斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车.斜拉桥

又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔

AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在

水平桥面上.已知/ABC=NDEB=45°,ZACB=30°,BE=6米，AB=5BD.

（1）求最短的斜拉索DE的长；

（2）求最长的斜拉索AC的长.

10.（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即

AB=CD）,将左边的门ABBA绕门轴AAi向里面旋转37°,将右边的门CDDC绕门轴DD向外

面旋转45°,其示意图如图2,求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数

据：sin37°弋0.6,cos37°七0.8加F.4)

图1图2

11.（2018辽宁抚顺）（12.00分）如图，BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡，

在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角

NDAN和NDBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM〃AN）.

（1）求灯杆CD的高度；

（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）.（参考数据：73=1.73.sin37°-060,cos37°

弋0.80,tan37°弋0.75）

【拓展研究】

（2018•嘉兴）如图1,滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB,P为立柱上的滑动调节

点，伞体的截面示意图为aPDE,F为PD的中点，AC=2.8m,PD=2m,CF=lm,ZDPE=20°,

当点P位于初始位置P。时，点D与C重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与PE垂直

时，遮阳效果最佳.

（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3）,为使遮阳效果最佳，点P

需从P。上调多少距离？（结果精确到0.1m）

（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4）,为使遮阳效果最佳，点P在（1）的

基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°^0.94,cos70°弋

0.34,tan70°g2.75,M心1.41,正七1.73）

第40讲解直角三角形（解析版）

【考题导向】

本部分主要把握用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的

实际问题.正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，

工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键.

注意：（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角.

（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形.（3）在一些

问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，•从而转化为解直角三角形

的问题

【考点精练】

考点1：解直角三角形

【典例】（2018•无锡）已知AABC中，AB=10,AC=2J%/B=30°,则AABC的面积等于.

【分析】作ADJ_BC交BC（或BC延长线）于点D,分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况,

先在RtAABD中求得AD、BD的值，再在RtAACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种

情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得.

【解答】解：作ADLBC交BC（或BC延长线）于点D,

①如图1,当AB、AC位于AD异侧时，

在Rt/XABD中,VZB=30°,AB=10,

；.AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5b，

在RlaACI）中，

•••CD=VAC2-AD2=V（2VT）2-52=0

则BC=BD+CD=6«,

S,BC•AD=X6<^3X5=15<>y3'

②如图2,当AB、AC在AD的同侧时，

图2

由①知，BD-5^3，CD=，5，

则BC二BD-CD=4遂，

.1.S&**•BC•AD弓X4«X5=10

综上，△ABC的面积是156或10«,

故答案为156或1()

【同步练】(2018•香坊区)如图，在△ABC中，AB=AC,tan/ACB=2,D在aABC内部，且

AD=CD,ZADC=90°,连接BD,若4BCD的面积为10,则AD的长为.

【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH,设CM=a,根据等腰直角三角形的性质和三

角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADGZ/XCDH(AAS),可得

DG=DII=MG^—,AG=CH=ai—,根据AM=AG+MG,列方程可得结论.

aa

【解答】解：过D作DH_LBC于H,过A作AM_LBC于M,过D作DG_LAM于G,

设CM=a>

VAB=AC,

ABC=2CM=2a,

VtanZACB=2,

.AM_9

CM

；.AM=2a,

由勾股定理得：AC=Jga,

SABDC==BC•DH=10»

2

y*2a*DH=10'

DH=—,

a

,/ZDHM=ZHMG=ZMGD=90°,

四边形DIIMG为矩形，

AZHDG=90°=/HDC+NCDG,DG=HM,1)H=MG,

VZADC=90°=/ADC+NCDG,

ZADG=ZCDH,

在AADG和中，

'NAGD=/CHD=90°

ZADG=ZCDH，

AD=CD

.,.△ADG^ACDH(AAS),

；.DG=DH=MG=W,AG=CH=a+—,

aa

；.AM=AG+MG,

BP2a=a+—i—,

aa

a2=20,

在RtZkADC中,AD2+CD2=AC2,

VAD=CD,

.,.2AD2=5a2=100,

.•.AD=50或-50(舍)，

故答案为：572--

【点评】综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形.

考点2：解直角三角形——仰角、俯角问题

【典例】（2018•遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊

臂AB与水平线的夹角为64°,吊臂底部A距地面1.5m.(计算结果精确到0.1m,参考数

据sin64°g0.90,cos64°七0.44,tan64°^2.05)

(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m.

(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊

钩的长度与货物的高度忽略不计)

【分析】(1)根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；

(2)过点D作DHL地面于H,利用直角三角形的性质和三角函数解答即可.

【解答】解：(1)在RtZ\ABC中，

VZBAC=64°,AC=5m,

AC

'AB=---中—-5+0.44—11.4(m);

cosb4

故答案为：IL4；

(2)过点D作DHL地面于H,交水平线于点E,

VAD=20m,ZDAE=64°,EH=1.5m,

.,.DE=sin64°XAD^20X0.18(m),

BPDH=DE+EH=18+1.5=19.5(m),

答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m.

【同步练】(2018•资阳)如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的

风筝线(整个过程中风筝线近似地看作直线)与水平线构成30°角，线段AAi表示小红身高

1.5米.

(1)当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；

(2)当她从点A跑动90米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达

点E处，风筝的水平移动距离CF=10遥米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原

来的高度CD

【分析】(1)在RtAACD中，由AD=—嚓7k可得答案；

cosZCAD

(2)设AF=x米，则BF=AB+AF=9亚+x,在RtaBEF中求得AD=BE=——5——=18+亚x,

cosNEBF

山cosNCAD=坐可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据

AD

CD=ADsinZCAD求得CD从而得出答案.

【解答】解：(1)•.•在RtZ\ACD中，cosZCAD=—,AC=18,ZCAD=30°,

AD

•••AD=缶r*亭21米)，

答：此时风筝线AD的长度为12f米；

（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9«+x（米），

M+x

在RtZ\BEF中，BE-————=Jo=18+打（米），

cosZEBF

2

由题意知AD=BE=18+J^x（米），

VCF=10V3.

.,.AC=AF+CF=10«+x,

由cMA端可得醇黯,

解得：x=3j分2«,

贝l」AD=18+«（3亚+2«）=24+3加,

.\CD=ADsinZCAD=（24+3加）X既竺粤2

则CiD=CD+C£=2牡3遍+2=27+3&,

222

答：风筝原来的高度3D为27+3遍米.

2

【点评】1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是构造直角三角形，把实际问题

转化为数学问题，即利用解直角三角形的知识去解决.2.解题时注意仰角、俯角概念的含

义.

考点3：解直角三角形——方向角问题

【典例】（2018广西桂林）（8.00分）如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在

B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上,

且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A,恰好位于B

处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问

渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：V2^1-41,G

1.73,、后-2.45结果精确到0.1小时）

北|

【分析】延长AB交南北轴于点D,则ABLCD于点D,根据直角三角形的性质和三角函数解

答即可.

【解答】解：因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D,则AB1CD于点D

VZBCD=45°,BD±CD

；.BD=CD

在RtZ\BDC中，；cos/BCD=里，BC=60海里

BC

即cos45°=CD解得CD=30\历每里

60-2

.-.BD=CD=30&海里

在RtZSADC中，：tan/ACD=坦

CD

即tan60°=」%=«,解得加=3丽海里

3072

VAB=AD-BD

••-AB=30A/6-3072-30（遍飞）海里

••,海监船A的航行速度为30海里/小时

则渔船在B处需要等待的时间为现3U（W）=&3=2.45-1.41=1.04比1.0小

3030

时

渔船在B处需要等待1.0小时

【同步练】（2018湖南湘西州）（8.00分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路1经过A、

B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60°的方

向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km.

（1）求景点B与C的距离；

（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路1修一条距离最短的公

路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长.（结果保留根号）

【分析】（1）先根据方向角的定义得出NCAB=30°,ZABC=120°,由三角形内角和定理求

出NC=180°-ZCAB-ZABC=30°，则/CAB=/C=30°，根据等角对等边求出BC=AB=10km.；

（2）首先过点C作CELAB于点E,然后在Rtz^CBE中，求得答案.

【解答】解：（1）如图，由题意得NCAB=30°,ZABC=90°+30°=120°,

,•.ZC=1800-ZCAB-ZABC=30°,

...NCAB=NC=30°,

.".BC=AB=10km,

即景点B、C相距的路程为10km.

(2)过点C作CELAB于点E,

,.,BC=10km,C位于B的北偏东30°的方向上,

?.ZCBE=60°,

冬C=5代km.

在Rt^CBE中,CE=

【点评】1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是构造直角三角形，把实际问题

转化为数学问题，即利用解直角三角形的知识去解决.2.解题时注意方向角概念的含义.

考点4：解直角三角形——坡比问题

【典例】(2018•徐州)如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和

坝底宽(精确到0.1m)参考数据：、回Q1.414,返亡1.732

【分析】利用锐角三角函数，在Rt^CDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF.利

用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽.

【解答】解：在RtZ\CDE中，

...DECE

.sinZC--cosZC=--

DCCD

.•.DE=sin30°X1)C=—X14=7(m),

2

CE=cos30°XDC=2^X14=7遂-12.124-12.12,

•.•四边形AFED是矩形，

•,.EF=AD=6m,AF=DE=7m

在RtAABF中，

•/ZB=45°

DE=AF=7m,

・・・BOBF+EF+EC=7+6+12.12=25.12=25.1(m)

答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m.

【同步练】（2018古呼和浩特）（7.00分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，

且这段斜坡的坡度i=l：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）.已

知在地面B处测得山顶A的仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A

到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

【分析】作DHLBC于H.设AE=x.在RlZkABC中，根据tan/ABC=M•，构建方程即可解决

BC

问题；

【解答】解：作DHJ_BC于H.设AE=x.

VDH：BH=1：3,

在RtZSBDH中，DH'+(3DH)2=6002,

.•.DH=60V10>BH=180V10-

在RtZ\ADE中，VZADE=45°,

ADE=AE=x,

;又HC=ED,EC=DH,

；.HC=x,EC=60V10，

在Rt^ABC中，tan33°=x+60V10

180V10+x

.-18O/lQtan330-60710

.•xv-------------------------•

l-tan330

，AC=AE+EC=18Ch/T5tan33°nrz120VI^tan33°

l-tan330l-tan330

答：山顶A到地面BC的高度AC是12WT^tan330米

l-tan330

【点评】L利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是构造直角三角形，把实际问题

转化为数学问题，即利用解直角三角形的知识去解决.2.解题时注意坡角、坡度等概念的

含义.

考点5：解直角三角形——其它实际问题

【典例】（2018•绍兴）如图1,窗框和窗扇用“滑块钱链”连接，图3是图2中“滑块较

链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块,

滑块可以左右滑动，支点B,C,D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20cm,

AE=CD=10cm,BD=40cm.

（1）窗扇完全打开，张角NCAB=85°,求此时窗扇与窗框的夹角NDFB的度数；

（2）窗扇部分打开，张角NCAB=60°,求此时点A,B之间的距离（精确到0.1cm）.

（参考数据：«-1.732,、后Q2.449）

【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；

（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题.

【解答】解：（1）,/AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,

四边形ACDE是平行四边形，

/.AC//DE,

ZDFB=ZCAB,

VZCAB=85°,

•,.ZDFB=85°；

（2）作CGLAB于点G,

VAC=20,ZCGA=90°,ZCAB=60°,

.".CG=lCh/3-AG=10,

VBD=40,CD=10,

・・・CB=30,

•••BG=7302-(10V3)2=10V6-

AB=AG+BG=10+10A/6^10+10X2.449=34.49=34.5cm,

即A、B之间的距离为34.5cm.

【同步练】(2018•临沂)如图，有一个三角形的钢架ABC,ZA=30°,ZC=45°,AC=2(«

+l)m.请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.Im的圆形门？

【分析】过B作BD_LAC于D,解直角三角形求出AD=«xm,CD=BD=xm,得出方程，求出方

程的解即可.

工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门,

理由是：过B作BDLAC于D,

VAB>BD,BC>BD,AC>AB,

求出DB长和2.1m比较即可，

设BD=xm,

VZA=30°,ZC=45°,

DC=BD=xm,AD=J^BD=,

VAC=2(V3+I)m,

...x+«x=2(遂+1),

.'.x=2,

即BD=2m<2.Im,

工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门.

【点评】1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是构造直角三角形，把实际问题

转化为数学问题，即利用解直角三角形的知识去解决.解答此类问题注意结合实际情况分

析.

【真题演练】

1.（2018•绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°

方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛

B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：73^1.732,如

七1.414）

A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里

【分析】根据题意画出图形，结合图形知NBAC=30°、ZACB=15°,作BDLAC于点D,以

点B为顶点、BC为边，在4ABC内部作NCBE=/ACB=15°,设BD=x,则AB=BE=CE=2x、AD=DE=

«x,据此得出AC=2«x+2x,根据题意列出方程，求解可得.

【解答】解：如图所示，

由题意知，ZBAC=30°、ZACB=15",

作BDJ_AC于点D,以点B为顶点、BC为边，在AABC内部作NCBE=/ACB=15°,

则/BED=30°,BE=CE,

设BD=x,

则AB=BE=CE=2x,A【）=DE=&x,

AC=AD+DE+CE=2bx+2x,

VAC=30,

.*.2«x+2x=30,

解得：XJ5，T）=5.49,

2

故选:B.

2.（2018•长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一

水平面上）.为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米

到达C处，在C处观察B地的俯角为a,则A、B两地之间的距离为（）

A.800sina米B.800tana米C.一迤一米D.一迎一米

sinCItanQ

【分析】在Rt^ABC中，ZCAB=90°,ZB=a,AC=800米，根据tana=星，即可解决问

AB

题；

【解答】解：在RtZ\ABC中,VZCAB=90°,NB=a,AC=800米,

tana

AB

-AC_800

・.AD---------------------------------.

tanatana

故选：D.

3.（2018•重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂

直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角/AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离

DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=l：0.75,坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距

离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°^0.85,cos58°心0.53,

tan58°=1.6）

A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米

【分析】如图延长AB交ED的延长线于M,作CJLDM于J.则四边形BMJC是矩形.在口△

CDJ中求出CJ、DJ,再根据，tanNAEM=粤构建方程即可解决问题；

EM

【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M,作CJ_LDM丁J.则四边形BMJC是矩形.

教

学

楼

在Rt^CJD中，器二万景二?，设@=4k,DJ=3k,

则有9k?+16/=4,

：.k=—,

5

.".BM=CJ=—,BC=MJ=1,DJ=—,EM=MJ+DJ+DE=—,

555

在RSAEM中,tanZAEM=—,

EM

5

解得AB-13.1（米），

故选：B.

4.（2018•重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先

沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度（或坡比）为i=l：0.75,坡长为10

米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A,B,C,D,E均在同

一平面内）.在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为（参考数据：

sin24°g0.41,cos24°«=0.91,tan24°=0.45）（）

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

【分析】作BMLED交ED的延长线于M,CNLDM于N.首先解直角三角形RtZ\CDN,求出CN,

DN,再根据tan24°=粤，构建方程即可解决问题；

EM

【解答】解：作BM±ED交ED的延长线于M,CN1DM于•N.

在RtZ\CDN中，V设CN=4k,DN=3k,

DN0.753

.,.CD=10,

(3k)2+(4k)2=100,

.\k=2,

；.CN=8,DN=6,

•.,四边形BMNC是矩形，

；.BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,

在RtZkAEM中，tan24°,

EM

,,.AB=21.7（米），

故选：A.

5.（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形

的顶点上，AB、CD相交于点0,则tanNA0D=2.

D

【分析】首先连接BE,由题意易得BF=CF,AAC0-ABK0,然后由相似三角形的对应边成比

例，易得KO：CO=1：3,即可得OF：CF=OF：BF=1：2,在RtZkOBF中，即可求得tanNBOF

的值，继而求得答案.

【解答】解：如图，连接BE,

•.•四边形BCEK是正方形，

.,.KF=CF=—CK,BE=—BE,CK=BE,BE1CK,

22

.,.BF=CF,

根据题意得：AC〃BK,

.,.△ACO^ABKO,

AKO：CO=BK：AC=1：3,

AKO：KF=1：2,

.,.KO=OF=—CF=—BF,

22

在RtZXPBF中，tanNBOF=2E=2,

OF

,/ZAOD=ZBOF,

.'.tanZAOD=2.

故答案为：2

6.(2018•齐齐哈尔)四边形ABCD中,BD是对角线,ZABC=90°,tanZABD=—,AB=20,

4

BC=10,AD=13,则线段CD=.

【分析】作AHLBD于H,CG_LBD于G,根据正切的定义分别求出AH、BH,根据勾股定理求

出HD,得到BD,根据勾股定理计算即可.

【解答】解：作AHJ_BD于H,CGLBD于G,

3

VtanZABD=—,

4

...—AH=一3，

BH4

设AH=3x,则BH=4x,

由勾股定理得，(3x)2+(4x)2=20、

解得,x=4,

则AH=12,BH=16,

在RtZ\AHD中，皿=〃口2_人02=5,

ABD=BH+HD=21,

VZABD+ZCBD=900,NBCH+NCBD=90°，

AZABD=ZCBH,

...鳗=s,又BC=10,

GC4

/.BG=6,CG=8,

；.DG=BD-BG=15,

•*«CD=VCG2+DG2=17>

故答案为：17.

7.（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员

在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度C11为1200米，且点

H,A,B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）.

【分析】在RtaACH和RtZ\HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计

算出AB的长.

【解答】解:由于CD〃HB,

.,.ZCAH=ZACD=45°,NB=/BCD=30°

在RtAACH中，；ZCAH=45°

.\AH=CH=1200米,

在Rt/XHCB,VtanZB=—

HB

.I*CH1200

tanNBtan30

1200

=技=]200加（米）.

T

；.AB=HB-HA

=1200«-1200

=1200（“-1）米

故答案为：1200（加-1）

8.（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行

改建.如图，A、B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，

现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米，NA=45°,ZB=30°.

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参

考数据：我2141,遂心1.73）

【分析】（1）过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角4ACD中，解直角三角形求出CD,

进而解答即可；

（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD,再求出AD,进而求出汽车从A地到B地比原

来少走多少路程.

.,.CD=BC«sin300=80义工=40（千米），

2

CD40—c

AC=sin45。=禧-4哂r（千米），

~2~

AC+BC=80+40-72^40XI.41+80=136.4（千米）,

答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米;

（2）Vcos30o=—,BC=80（千米），

BC

亨=40\/^（千米）

.*.BD=BC«cos300=80X

Vtan45°=型，CD=40（千米），

AD

CD

.\AD=~p=40（千米），

tan450

，AB=AD+BD=40+40加心40+40XL73=109.2（千米），

汽车从A地到B地比原来少走多少路程为:AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2（千米）.

答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米.

9.（2018•随州）随州市新源水一桥（如图1）设计灵感来源于市花--兰花，采用蝴蝶兰

斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车.斜拉桥

又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔

AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在

水平桥面上.已知NABC=/DEB=45°,ZACB=30°,BE=6米，AB=5BD.

（1）求最短的斜拉索DE的长；

（2）求最长的斜拉索AC的长.

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；

（2）作AH±BC于H,如图2,由于BD=DE=3y，则AB=3BD=15&,在RtAABH中，根据

等腰直角三角形的性质可计算出BH=AII=15,然后在RtAACll中利用含30度的直角三角形三

边的关系即可得到AC的长.

【解答】解：(1)VZABC=ZDEB=45°,

•••△BDE为等腰直角三角形，

...DE，喙BE=乎X6=3V2.

答：最短的斜拉索DE的长为3&n：

(2)作AH_LBC于H,如图2,

；BD=DE=3也，

.,.AB=3BD=5X3->/2=155/21

在RtZXABH中,VZB=45°，

：.BH=AH=乎AB=掾X15后15,

在RtZkACH中,VZC=3O0,

Z.AC=2AH=30.

答：最长的斜拉索AC的长为30m.

10.（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米,且两扇门的大小相同（即

AB=CD）,将左边的门ABBA绕门轴AAi向里面旋转37°,将右边的门CDDC绕门轴DM向外

面旋转45°,其示意图如图2,求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数

据：sin37°七0.6,cos37°七0.8,加g1.4）

图1