高中数学课时作业三十五几种函数增长快慢的比较湘教版必修第一册

课时作业（三十五）几种函数增长快慢的比较

［练基础］

1.下列函数中，增长速度最慢的是（）

A.y=6"B.y=log6X

C.y=xD.y=6x

2.有一组数据如下表：

t1.993.04.05.16.12

V1.54.047.51218.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是

（）

A.r=log2^B.K=logit

2

1

C.v-—-D.v=21—2

3.以下四种说法中，正确的是（）

A.幕函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B.对任意的x>0,x">logaX

C.对任意的x>0,a、>logaX

D.不一定存在刘，当X>Xo时，总有/>x">logaX

4.某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基

本正常（正常体温为37℃）,但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发

烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况的图象是（）

o6121824时O6121824时

CD

5.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销

售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好的反映销售量y与投放市场的月

数x(lWW4,xGN*)之间关系的是()

A.y=100AB.y=50/-50jr+100

C.y=50X2"D.尸100,

6.(多选)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲，乙两城

间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两

个旅行者的如下信息，其中正确的是()

A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h

B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动

C.骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者

D.骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样

7.现测得(x,力的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型，甲：y=/

+1,乙：y=3x—1,若又测得(x,。的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为函

数模型.

8.已知函数/'(x)=3',g(x)=x,当xGR时，f(x)与g(x)的大小关系为.

9.画出函数『5)=正与函数g(x)=x—2的图象，并比较两者在［0,+8)上的大小关

系.

10.某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度〃米）与生长时间乂年）的

相关数据，选择人=加力+6与人=loga（t+l）来刻画人与t的关系.你认为哪个符合？并预测

第8年的松树高度.

X年）123456

尔米）0.611.31.51.61.7

［提能力］

11.下列函数关系中，可以看作是指数型函数y=#a，（"GR,a>0且aNl）的模型的是

)

A.竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关

系（不计空气阻力）

B.我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系

C.如果某人ts内骑车行进了1km,那么此人骑车的平均速度-与时间力的函数关系

D.信件的邮资与其重量间的函数关系

12.（多选）某地一年内的气温0（。（单位：℃）与时间乂月份）之间的关系如图所示.已

知该年的平均气温为10℃,令CG）表示时间段［0,打内的平均气温，不能正确反映CQ）

与力之间的函数关系的图象有（)

13.某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下

表:

强度（J）1.6X10193.2X10194.5X10'96.4X1019

震级（里氏）5.05.25.35.4

（注:地震强度是指地震时释放的能量）地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用

y=algx+从其中a,6为常数）.利用散点图可知a的值等于.（取1g2=0.3进行

计算）

01234〃月

14.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间

寅月）的近似函数关系：y=a（t^0,a〉0且aWl）的图象.

有以下说法：

①第4个月时，剩留量就会低于今

②每月减少的有害物质质量都相等；

③当剩留量为9，",《时，所经过的时间分别是卅t2,t3,贝iJti+-呢

其中所有正确说法的序号是.

15.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在

一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h（不含80km/h）.经多次测试得到，该汽车每小

时耗电量〃（单位：Wh）与速度/（单位：km/h）的下列数据：

V0104060

M0132544007200

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：

M{v）=-^v+bv+cv,欣r）=lOOO."+a,

Mr）=3001ogar+&

（1）当0WK80时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的

函数解析式；

（2）现有一辆同型号汽车从A地驶到6地，前一段是200km的国道，后一段是50km

的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量M单位：Wh）与速度的关系是：M=2^

-10K+200（80^^120）,则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

［培优生］

16.2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2018

年已经上涨到每亩120万元，现给出两种地价增长方式，其中R：f(6=at+b(a,6GR)

是按直线上升的地价，2：g(t)=clog2(d+t)(c,deR)是按对数增长的地价，力是2006年

以来经过的年数.2006年对应的t值为0.

⑴求/tt),g⑺的解析式;

(2)2018年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2022

年的地价相对于2018年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出

最合适的一种模型.(参考数据：log210^3.32)

课时作业(三十五)几种函数增长快慢的比较

1.解析：对数函数的增长速度越来越慢.

答案：B

2.解析：从表格中看到此函数为单调增函数，排除B,增长速度越来越快，排除A和

D.

答案：C

3.解析：对于A,募函数与一次函数的增长速度受辱指数及一次项系数的影响，募指

数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C,当0<a〈l时，显然不成立.当a>l,

〃>0时，一定存在刘，使得当x>x0时，总有a*>x0>logv,但若去掉限制条件"a>l,A〉0"，

则结论不成立.

答案：D

4.解析：观察图象A,体温逐渐降低，不符合题意；图象B不能反映“下午他的体温

又开始上升”；图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那

么发烫了”.综上，只有C是正确的.

答案：C

5.解析：对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大；对于B中的函数，当x=3或

4时，误差也较大；对于C中的函数，当x=l,2,3时，误差为0,当x=4时，误差为10,

误差较小；对于D中的函数，当x=2,3,4时，据函数关系式得到的结果与实际值相差很

远，综上，只有C中的函数误差最小.

答案：C

6.解析：看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所

以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此

B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故C正确，D错误.

答案：ABC

7.解析：把x=l,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好.

答案：甲

8.解析：线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；指数函数增长模型

适合于描述增长速度急剧的变化规律.

答案：/'(x)〉g(x)

9.解析：函数/'(X)与g(x)的图象如图.

根据图象易得：当0Wx〈4时,

f(x)〉g(x);

当x=4时，f(x)=g(x)；

当x>4时,f(x)<g(x).

10.解析：据表中数据作出散点图如图.

由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理.

将（2,1）代入到力=loga（方+1）中，得l=loga3,解得a=3.

即力=log3（方+1）.

当力=8时,力=log3（8+l）=2,

故可预测第8年松树的高度为2米.

11.解析：A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模

型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数.

答案：B

12.解析：由题图知，当方=6时，C（»=0,故C不正确；当方=12时，。（1）=10,故

D不正确；在大于6的某一段时间平均气温大于10℃,故B不正确.

答案：BCD

alg1.6+6=5,

13.解析：由模拟函数及散点图得

alg3.2+6=5.2,

2

两式相减得z(lg3.2—lg1.6)=0.2,alg2=0.2,a=-

o

9

答案：Q

o

14.解析：由于函数的图象经过点（2,勺，故函数的关系式为尸仔

1612142

当方=4时，y=—<-,故①正确；当力=1时，减少不，当t=2时，y=~,减少日

oiuooyy

故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y=；,

10g1-,%3=log/,tl+ti=t3,故③正确.

答案：①③

15.解析：（1）对于〃（。=3001ogaP+6,当r=0时，它无意义，所以不合题意;

对于〃（力=1000《）+a,它显然是个减函数，这与〃（40）〈〃（60）矛盾；

故选择〃（V）,+bv+cv.

根据提供的数据，有

C1

—X103+Z?#102+c>10=1325

b=~2

<]，解得.,

3X4（）3+6・4（）2+。・40=4400c=150

40

当0WX80时，〃(力=，3-2d+150y.

⑵国道路段长为200km,所用时间为迎A

V

所耗电量为/*(0•欣。=空^•(0.025r—2r+150r)=5X(r—80r+6000)

vv

=5X(r-40)2+22000,

因为0WX80,当r=40时，/min=22000Wh；

50

高速路段长为50km,所用时间为一h,

v

所耗电量为g(v)=吊•N{v)='•(2r—10K+200)=100义(^+^^—5)